Miscarea armonica simpla

Miscarea armonica simpla

1.    Scopul lucrarii

Ne propunem sa determinam constanta elastica a unui resort, sa masuram perioada de oscilatie a unui oscilator armonic simplu si sa verificam relatia dintre perioada de oscilatie, constanta elastica si masa oscilatorului. De asemenea vom verifica legea conservarii energiei oscilatorului armonic simplu si vom urmari cum se transforma periodic energia cinetica in energie potentiala elastica

2.    Materiale necesare

Applet-ul „miscarea armonica simpla” din colectia de programe „Fisica”.

3.    Teoria lucrarii

3.1 Definitie

Putem defini miscarea armonica simpla a unui punct material prin legea de miscare: daca , unde x este elongatia, A este amplitudinea, ω este pulsatia sau frecventa unghiulara, φ este faza initiala iar (ωt+φ) este faza oscilatiilor, avem o miscare oscilatorie liniar armonica.

X

-A 0 x A

Daca derivam de doua ori in raport cu timpul coordonata x obtinem acceleratia: a = - ω²x si apoi obtinem forta care conduce miscarea oscilatorului liniar armonic: F = ma = - m ω²x = - kx, unde k se numeste constanta elastica a resortului capabil sa asigure o miscare oscilatorie punctului material de masa m. Aceasta forta elastica se numeste forta de revenire si impreuna cu inertia punctului material realizeaza miscarea oscilatorie armonica.

Deoarece functia armonica sinus se repeta dupa intervalul 2π, perioada oscilatiilor armonice simple se obtine din: :

T = 2π/ω = 1/υ,

unde υ =1/T este frecventa oscilatiilor (Hz).

3.2     Cinematica miscarii oscilatorii

Pozitia punctului material este definita de functia , viteza se obtine derivand coordonata la timp: iar acceleratia se obtine derivand viteza la timp: .

Exprimand acceleratia ca derivata a doua a coordonatei la timp: obtinem o ecuatie diferentiala omogena, de ordinul al doilea, cu coeficienti constanti: , numita ecuatia oscilatorului liniar armonic, a carui solutie este evident: .

3.3     Conditiile initiale

Ecuatia de miscare contine doua constante necunoscute: A si φ, pentru determinarea carora trebuie sa cunoastem conditiile initiale: pozitia si viteza la un moment dat, fie acesta t₀=0:

x₀ = A sinφ si v₀ = ωA cosφ.

Rezolvand sistemul obtinem faza initiala si amplitudinea:

    si

3.4    

Deoarece forta elastica F = -kx este o forta conservativa energia mecanica totala a oscilatorului E = E_cinetica + E_potentiala se conserva in timp. Calculand:

E_c = (mv²)/2 = [mω²A²cos²(ωt+φ)]/2 si

E_p = (kx²)/2 = [kA²sin²(ωt+φ)]/2 = [mω²A²sin²(ωt+φ)]/2 obtinem ca energia totala: E = (mω²A²)/2 este proportionala cu amplitudinea la patrat si cu pulsatia la patrat si este constanta.

4.    Modul de lucru

Studentul alege valorile constantei elastice k = mω² si ale energiri totale E si apoi apasa butonul Incepe (Empieza). In coltul din dreapta-sus al applet-ului poate observa valorile marimilor t, x, v, E_c si E_p. De asemenea el poate observa miscarea oscilatorului pe axa Ox, forta elastica (marimea si sensul), marimea energiei potentiale (cu albastru) si a energiei cinetice (cu rosu) precum si energia totala (cu negru).

Apasand butonul Continua-Pauza (Continua-Pausa) sau Pas cu Pas (Paso) se vor inregistra intr-un tabel aceste valori, in functie de timp:

a)     Studentul va reprezenta grafic functia x = x(t) pe parcursul unei perioade;

b)     Studentul va reprezenta grafic functia v = v(t) pe parcursul unei perioade;

c)     Studentul va reprezenta grafic functia E_c = E_c(t) pe parcursul unei perioade;

d)     Studentul va reprezenta grafic functia E_p = E_p(t) pe parcursul unei perioade;

e)     Studentul va calcula energia totala E = E_cinetica + E_potentiala la diferite momente de timp, apoi valoarea medie a rezultatelor obtinute si o va compara cu valooarea introdusa la inceputul experimentului virtual;

f)      Studentul va efectua 10 masuratori ale perioadei de oscilatie si va calcula valoarea medie a acesteia. Masurand si amplitudinea oscilatiilor va determina din energia totala produsul mω² adica valoarea constantei elastice a resortului care produce forta elastica;

g)     Studentul va determina, printr-o metoda aleasa de el, masa oscilatorului.

h)     Studentul va determina analitic relatia dintre viteza si coordonata si apoi o va reprezenta grafic cu datele din tabel (traiectoria in spatiul fazelor).

5.    Probleme

a)     Determinati constanta elastica a unui sistem de resorturi legate in serie (in paralel);

b)     Determinati faza initiala si amplitudinea oscilatiilor in functie de conditiile initiale: x₀ si v₀ la t = 0;

c)     Se considera un vector rotitor (fazor) de marime A, al carui punct de aplicatie este fix si al carui varf descrie in sens trigonometric o miscare circulara uniforma cu viteza unghiulara ω. Sa se exprime ca functii de timp proiectiile fazorului pe axele sistemului cartezian cu originea in punctul de aplicatie al fazorului;

d)     Sa se determine forma curbei de-a lungul careia, in camp gravitational uniform, frecventa oscilatiilor nu depinde de amplitudine.