Modelarea matematica a starii de echilibru mecanic al
sistemului mecanic
Vom modela matematic in acest paragraf asa-numita stare de echilibru mecanic a sistemelor mecanice (repausul). Conform si unor discutii anterioare, aceasta stare se defineste in modul urator:
spunem ca un sistem mecanic se afla intr-o stare de echi 323b14d libru mecanic (sub actiunea unui sistem de forte - interactiuni mecanice), daca aceasta nu se modifica in timp.
Sa modelam matematic aceasta stare speciala a sistemelor mecanice aflate sub actiunea unor forte generale.
Fie un sistem mecanic oarecare Q asupra caruia actioneaza un sistem de forte
directe 
si un sistem de
forte de legatura 
(modelele matematice
ale interactiunilor mecanice la care este supus acesta), aflat in starea
de echilibru mecanic notata 
. Unele forte sunt modele matematice ale
reactiunilor unor contacte mecanice directe. Dupa cum am vazut,
aceste doua sisteme se pot reduce mecanic echivalent la doi torsori.
Considerand acelasi punct de reducere O,
ii vom nota cu 
si respectiv 
. Atunci, conform definitiei anterioare, sistemul Q va fi in echilibru mecanic daca
si numai daca suma celor doi torsori este torsorul nul, echivalent cu
zero (torsorul ce modeleaza matematic sistemele de forte
fara nici un efect mecanic):
|
|
Aceasta relatie constitiue conditia necesara pentru ca sistemul Q sa fie in echilibru sub actiunea fortelor considerate. Pentru a fi si suficienta, adica pentru ca starea E sa fie determinata, aceasta trebuie completata cu relatiile de legatura impuse de fortele de legatura (daca impunem numai anularea sumei de torsori, fara relatiile de legatura, putem ajunge intr-o alta stare decat E, care satisface aceste relatii) precum si de inegalitatile de frecare corespunzatoare contactelor mecanice respective. Prin urmare, modelul matematic general al starii de echilibru mecanic al sistemului mecanic Q este dat de urmatorul sistem:
|
|
Ea poate fi explicitata conform consideratiilor anterioare (numai relatiile intre forte) astfel:
intr-un reper cartezian, avem:
relatii vectoriale:
|
|
relatii intre componentele carteziene:
|
|
relatii intre componentele pe o directie si cele pe planul normal la aceasta:
|
|
Acestea sunt relatiile generale de echilibru ale sistemului mecanic supus actiunii unui sistem de forte directe.
Ele suporta particularizari in functie de tipul de sistem mecanic si de sistem de forte, particularizari de care ne vom ocupa in paragrafele ulterioare.
Cu ajutorul acestor ecuatii se pot rezolva urmatoarele categori de probleme specifice staticii:
a) problema directa: cunoscandu-se sistemul de forte (echivalent cu zero) se determina starea de echilibru a sistemului mecanic (pozitia acestuia in reperul considerat);
b) problema indirecta: cunoscand pozitia de echilibru a sistemului mecanic se determina sistemul de forte care actioneaza asupra acestuia.
Astfel de probleme nu sunt in general determinate (se numesc static nedeterminate) decat daca se impun fortelor componente conditii suplimentare care sa reduca numarul necunoscutelor din sistemul anterior (in general mai mare decat al ecuatiilor).
c) problema mixta: cunoscandu-se unii dintre parametrii starii de echilibru mecanic si unele dintre caracteristicile sistemului de forte, se determina ceilalti parametrii si celelalte caracteristici.
Discutii:
In general, datorita numarului mare de necunoscute introduse de fortele de legatura, sistemul de ecuatii este nedeterminat.
Fortele de legatura nu se
cunosc, dar nici nu sunt, in problemele uzuale, necunoscute in totalitate. Sunt
accesibile anumite caracteristici ale
acestora, in functie de particularitatile problemei; de exemplu,
putem cunoaste directia lui 
, caz in care, in loc de cele trei necunoscute din sistem
corespunzatoare acesteia (
) vom avea una singura, anume modulul acesteia, Np.
|
