Momente statice. Teorema momentelor statice

În relatiile (4.3) care dau coordonatele centrului de masa al unui sistem de puncte materiale intervin sumele , , dintre masele punctelor si distantele lor la planele de coordonate. Aceste sume se numesc momente statice în raport cu planele de coordonate si se noteaza dupa cum urmeaza:

, , (4.14)

În plus, suma care intervine în relatia (4.2) se numeste moment static polar.

Momentele statice caracterizeaza modul de distribuire a masei unui sistem de puncte materiale. Din (4.2) si (4.3) se obtine ca:

(4.15)

adica:

i)     747j921h ;     747j921h ;     747j921h ;     747j921h ;    Momentul static al unui sistem de puncte materiale în raport cu punctul O este egal cu masa sistemului înmultita cu vectorul de pozitie al centrului de masa în raport cu punctul O;

ii)     747j921h ;     747j921h ;     747j921h ;     747j921h ;   Momentul static al unui sistem de puncte materiale în raport cu un plan este egal cu produsul dintre masa sistemului si distanta de la centrul sau de masa la acel plan.

Enunturile i) si ii) reprezinta teorema momentelor statice.

Observatii: 1) Cele prezentate mai sus ramân valabile si pentru un solid rigid (cu observatia ca sumele se transforma în integrale);

2)   (4.16)

Relatii similare au loc daca si .

4.6. Probleme rezolvate

R 4.1) Se considera sistemul plan de puncte materiale din figura R 4.1 , de mase , situate în puncte ale cercului de ecuatie si hiperbolei de ecuatie . Sa se determine coordonatele centrului de masa ale acestui sistem .

Rezolvare: Coordonatele punctelor în care se gasesc punctele materiale se obtin rezolvând sistemul format din ecuatiile cercului si hiperbolei. Se obtine:

Rezultatele se sintetizeaza în tabelul T 4.1.

Tabelul T 4.1

Gasim astfel ca:

.

Figura R 4.1  Figura R 4.2

R 4.2) Se considera bara omogena având dimensiunile din figura R 4.2 , date în cm. Sa se determine coordonatele centrului de masa.

Rezolvare Bara omogena poate fi considerata ca fiind construita din :

-     747j921h ;     747j921h ;  segmentul de dreapta OA, de lungime 60 cm, aflat pe axa Oz ;

-     747j921h ;     747j921h ;  segmentul de dreapta OB, de lungime 80 cm, aflat pe axa Ox ;

-     747j921h ;     747j921h ;  segmentul de dreapta BC, de lungime 100 cm, aflat în planul Oxy ( BC // Oy ) ;

-     747j921h ;     747j921h ;  semicercul CD, de raza 30 cm, aflat în planul Oxy ( CD // Oy ) :

-     747j921h ;     747j921h ;  segmentul de dreapta DE, de lungime 20 cm, aflat în planul Oxy ( DE // Ox ) ;

-     747j921h ;     747j921h ;  segmentul de dreapta EF, de lungime 40 cm, aflat pe o paralela la Oz.

Cele sase componente vor fi numerotate de la 1 la 6. Coordonatele centrului de masa se calculeaza cu formulele :

unde reprezinta coordonatele centrului de masa pentru bara nr. i iar lungimea acesteia. Se completeaza datele în tabelul T 4.2.

Tabelul T 4.2

Rezulta valorile:

R 4.3) Sa se determine pozitia centrului de masa pentru placa plana omogena din figura R 4.3. Dimensiunile sunt date în cm.

Rezolvare: Pentru determinarea centrului de masa se folosesc formulele :

unde reprezinta coordonatele centrului de masa pentru placa nr. i iar aria sa. S - a considerat o împartire a placii din figura R 4.3 în patru placi elementare ( vezi tabelul care urmeaza ).

Tabelul R 4.3

Observatie : Figurile nehasurate corespund corpurilor introduse artificial pentru completarea la o figura elementara ( aici, la un dreptunghi ) . Ariile lor se considera cu semnul "- ".

Figura R 4.3 Figura R 4.4

R 4.4) Sa se determine pozitia centrului de masa pentru placa plana omogena din figura R4.4 , marginita de parabola de ecuatie si dreapta , unde a > 0 este o constanta data.

Rezolvare: ,

unde iar si sunt solutiile ecuatiei g (x) = f (x) , adica . În urma calculului integralelor se gaseste ca .

R 4.5) Sa se determine pozitia centrului de masa pentru corpul omogen semisferic de raza R din figura R 4.5.

Rezolvare: Axa Oz fiind axa de simetrie putem scrie ca , unde D este domeniul ocupat de corp. Folosind sistemul de coordonate sferice si observând ca :

gasim ca :

astfel încât .

Figura R 4.5 Figura TC 4.1

4.7. Probleme propuse

4.7.1 Teste clasice

TC 4.1) Sa se determine pozitia centrului de masa pentru bara omogena din figura TC 4.1.

TC 4.2) Sa se determine pozitia centrului de masa pentru placa plana omogena din figura TC 4.2.

Figura TC 4.2 Figura TC 4.3

TC 4.3) Se considera corpul din figura TC 4.3, realizat din trei placi plane omogene confectionate din materiale diferite. Placile din planele Oxy si Oyz au densitatea superficiala iar placa din planul Oxz are densitatea superficiala . Cunoscând razele , sa se determine coordonatele centrului de masa.

TC 4.4) Sa se determine pozitia centrului de masa pentru placa plana omogena din figura

TC 4.4.

Figura TC 4.4 Figura TC 4.5

TC 4.5) Determinati centrul de masa al corpului omogen de revolutie din figura TC 4.5

stiind ca legea de variatie a razei (distanta de la axa Oy la suprafata corpului) este

(m).

4.7.2. Teste grila

TG 4.1) Sa se determine abscisa centrului de masa pentru o bara dreapta AB, de lungime L, la care densitatea variaza liniar de la valoarea în capatul A la valoarea în capatul B (figura TG 4.1).

a)     747j921h ;  ; b) ; c) ;

d) .

Figura TG 4.1  Figura TG 4.2 Figura TG 4.3

TG 4.2) Sa se determine abscisa centrului de masa a unei bare omogene AB, de sectiune constanta, în forma de arc de cerc de raza R si unghi la centru , unghiul fiind exprimat în radiani (figura TG 4.2).

a) ; b) ; c) ; d) .

TG 4.3) Centrul de masa al placii plane omogene având forma si dimensiunile din Figura TG 4.3 are coordonatele:

a)     747j921h ;  ; b) ; c) ; d) .

4.8. Indicatii si raspunsuri

TC 4.1) Se împarte bara în patru semicercuri de raze 2r, 3r, 4r si 5r si se procedeaza ca la rezolvarea problemei R 4.2. Se obtine .

TC 4.2) Se completeaza placa pâna la un dreptunghi plin. Partile componente sunt: un dreptunghi de laturi 6a si 4a, un triunghi dreptunghic de catete 2a si a, un sector de cerc de raza 4a si unghi la centru si un sector de cerc de raza a si unghi la centru (vezi si rezolvarea problemei R 4.3). Ariile triunghiului si sectorului de cerc de raza 4a se considera negative. Se obtin coordonatele:

.

TC 4.3) Pentru determinarea coordonatelor centrului de masa se folosesc formulele :

deoarece în cazul unui corp omogen de tip placa are loc relatia .

Se considera ca placa plana din planul Oxz a fost obtinuta dintr-o placa patrata de latura l ( placa 1 ) din care s-a scos un sfert de disc de raza ( placa 2 ) . Aria placii 2 se considera cu semn negativ . Se obtin valorile:

TC 4.4) Placa este formata din patru portiuni: triunghiul dreptunghic si isoscel de catete 3a din cadranul I, interiorul sfertului de elipsa din cadranul II, interiorul arcului de parabola din cadranele III si IV si discul de raza a cu centrul în origine (a carei arie se considera negativa (vezi si rezolvarea problemelor R 4.3 si R 4.4). Se obtin coordonatele :

.

TC 4.5) Se împarte corpul în cilindri infinitezimali de raza r si înaltime dy prin sectiuni cu plane paralele cu planul Oxz. Avem ca: , deoarece:

,

D fiind domeniul din spatiu ocupat de corpul de revolutie.

TG 4.1) Se împarte bara în cilindri infinitezimali de lungime dx. Avem ca , deoarece:

.

Raspuns corect: a).

TG 4.2) Se împarte bara în elemente de arc infinitezimale de lungime . Se obtine ca: , deoarece:

, .

Raspuns corect: d).

TG 4.3) Se împarte placa în doua: dreptunghiul de laturi 2a si 4a si triunghiul dreptunghic si isoscel de catete 2a. Raspuns corect: d)