Notiuni de dinamica relativista

I.7.1.Variatia masei cu viteza

În mecanica relativista, pentru a mentine invarianta legilor mecanicii fata de transformarile Lorentz, trebuie admis ca masa depinde de viteza. Legea de variatie a masei cu viteza se poate obtine din legea conservarii impulsului, valabil 555b11f 9; în orice sistem de referinta inertial. Vom arata un procedeu facil de obtinere a relatiei dintre masa si viteza, examinând experienta imaginata de Tolman, de ciocnire între doua corpuri. Consideram doua bile (1) si (2) cu mase egale când sunt în repaus în acelasi referential si doua sisteme de referinta (R) si (R'), cel de-al doilea în miscare rectilinie si uniforma cu viteza v paralela cu Ox fata de primul (fig.I.11).

Presupunem ca cele doua bile sunt aruncate cu viteze egale si opuse v (una catre cealalta ) de-a lungul axei Ox' (sau Ox) si se ciocnesc plastic; valoarea vitezei v este raportata la referentialul (R'). Notând m₀ masa inerta a corpurilor când sunt în repaus si considerând ca masa lor de miscare depinde doar de modulul vitezei, cele doua corpuri vor avea fata de (R') aceeasi masa de miscare dar fata de (R) mase diferite m₁ si m₂.

Dupa ciocnirea plastica, corpul rezultat ramâne în repaus fata de (R'), deci se misca cu v fata de (R).

În procesul ciocnirii masa de miscare a sistemului se conserva:

m₁ si m₂ sunt masele de miscare ale celor 2 corpuri fata de (R) iar m este masa de miscare a corpului rezultat fata de (R)

Corpul (2) va avea fata de (R) viteza:

iar corpul (1) va avea fata de (R) viteza:

Legea conservarii impulsului pentru un observator din (R) se va scrie:

care, prin înlocuirea lui u₁ din (I.60) devine:

Cum corpul (2) este în repaus fata de (R), m₂=m₀ , deci relatia (I.62) devine:

Sa calculam expresia :

Atunci relatia (I.63) conduce la:

adica un corp care are în repaus masa m₀ si se misca cu viteza u₁ va avea masa de miscare m₁ data de (I.65). În general, pentru un corp cu masa de repaus m₀ care se misca cu viteza v se poate scrie relatia:

Se observa ca masa de miscare m creste cu viteza v a corpului. Se observa de asemenea ca formula (I.66) este conforma cu principiul de corespondenta:

Daca masa de miscare a corpului va deveni infinita. Aceasta situatie nu se poate realiza experimental pentru un corp cu m₀ diferita de 0 din doua motive: o accelerare la v=c presupune o forta foarte mare, nerealizabila înca experimental si pe de alta parte o viteza egala cu a luminii ar conduce la o contractie relativista a lungimii la limita l 0, deci la un volum al particulei V 0 , însemnând concentrarea unei mase infinite într-un corp cu volum nul.

Fotonii, care au v=c în vid, au masa de miscare nenula si finita dar masa de repaus m₀=0.

I.7.2.Relatia dintre masa si energie. Energia cinetica relativista

Sa consideram actiunea unei forte F asupra unui punct material în repaus. Energia cinetica pe care o va primi corpul prin actiunea acestei forte va putea fi calculata folosind teorema variatiei energiei cinetice , valabila în orice referential. Atunci:

Expresia fortei va putea fi scrisa din legea fundamentala a dinamicii (nu )

(valorile F, p si t sunt raportate la referentialul fix al laboratorului (R)).

Daca forta este orientata de-a lungul axei Ox:

Aceasta integrala se rezolva prin parti si rezulta

adica

Cantitatea E₀=m₀c² se numeste energie de repaus, astfel ca:

E_c=mc²-E₀

de unde, energia totala relativista este:

Sa verificam ca relatia (I.69) este compatibila cu principiul de corespondenta:

Dezvoltând în serie binomiala

si retinând doar primii doi termeni din dezvoltare obtinem:

adica tocmai formula energiei cinetice din mecanica newtoniana.

Din relatia (I.70) se poate deduce ca într-un proces în care energia totala relativista se conserva si masa de miscare m se conserva, prin urmare în mecanica relativista avem un singur principiu de conservare pentru ambele marimi: energia totala si masa relativista. Masa de repaus nu se conserva.

Variatia energiei totale, , conduce la o variatie a masei relativiste:

relatie foarte importanta în fizica nucleara la calculul energiei de legatura si a energiei dezvoltate în reactiile nucleare.

I.7.3.Relatia relativista între energie si impuls

Consideram relatia (I.70) E=mc² si expresia impulsului relativist p=mv; eliminând masa obtinem:

care înlocuita în expresia (I.70) duce la:

de unde:

care este relatia relativista între energie si impuls.

Particulele cu viteze foarte mari, astfel încât energia lor de repaus este mult mai mica decât cea cinetica se numesc particule ultrarelativiste. Pentru acestea:

Pentru particule cu masa de repaus nula avem p=E/c=mv sau E/c=vE/c², de unde v=c. Deci o particula cu masa de repaus nula se misca cu o viteza egala cu viteza luminii în vid si nu poate exista în repaus în nici un sistem de referinta.