Principiul 2 al actiunii fortelor

PRINCIPIUL II (AL ACTIUNII FORTELOR):

Variatia miscarii unui corp este proportionala cu actiunea mecanica si se realizeaza pe directia si in sensul acesteia.

Discutii si definitii:

a. Notiunea de masa inertiala

Conform modelului matematic de actiune mecanica construit anterior, rezulta ca principiul al II-lea are urmatoarea forma in limbaj matematic:

unde este modelul matematic al unei actiuni mecanice direc 919e47j te (cele de legatura, conform unei discutii anterioare, nu pot produce variatia miscarii punctului material)

Partea mai putin evidenta a acestei relatii este motivul pentru care acceleratia punctului material reprezinta variatia miscarii acestuia. Conform definitiei vitezei, aceasta reprezinta miscarea punctului material tocmai prin aceea ca exprima variatia pozitiei acestuia. Ori acceleratia, exprimand variatia vitezei punctului material, rezulta ca va exprima chiar variatia miscarii, ceea ce ii confera locul din expresia anterioara.

Constanta de proportionalitate din relatia anterioara se noteaza cu m si va fi, din punct de vedere matematic, o marime scalara si pozitiva; astfel relatia devine:

Aceasta constanta a fost introdusa deci “in varful creionului”, din considerente de matematica; se impune gasirea semnificatiei mecanice a acesteia pe care o vom cauta in continuare.

In primul rand, m este o caracteristica intrinseca a fiecarui corp. Intradevar, daca „schimbam” punctul material mentinand aceeasi actiune, acceleratia imprimata acestuia din urma va fi, in general, diferita (experienta ne arata ca nu este posibil ca toate corpurile din univers sa aiba aceeati acceleratie sub actiunea unei forte date); ori, pentru a mentine egalitatea, rezulta ca m trebuie sa se modifice.

In al doilea rand, sa observam ca, in conditiile unei forte constante aplicate unor puncte materiale diferite cu m₁>m₂, acestea vor capata acceleratii cu aceesi directie si acelasi sens, intre modulele acestora fiind relatia inversa ca la mase, adica a₁<a₂. Prin urmare, cu cat masa este mai mare, cu atat acceleratia produsa de o forta data este mai mica; altfel spus, cu cat corpul are masa mai mare, cu atat el se opune mai mult modificarii starii sale initiale de miscare, ce poate fi, in particular, repaus sau miscare rectilinie uniforma. Conform unei definitii anterioare rezulta ca m este modelul matematic al notiunii de masa inertiala.

Notiunea de masa mai apare si in alte 2 contexte:

in chimie, masa corpului este masura cantitatii de materie continuta de acesta si se masoara in moli;

conform legii atractiei gravitationale, orice corp este atras de Pamant (sau de orice alt corp) cu o forta numita greutate. La o anumita distanta de centrul Pamantului greutatea corpurilor este proportionala cu o aceeasi constanta ce nu depinde de corp, ci doar de masa Pamantului si de distanta respectiva. Constanta de proportionalitate respectiva se numeste tot masa, dar de data aceasta este vorba de asa-numita masa gravifica.

S-a pus o problema foarte importanta:

ce legatura exista intre cele doua tipuri de mase fizice?

Experiente celebre si minutioase efectuate de Eotvos (1890) si Zeeman (1897), precum si alteltele recente, de mare precizie, au aratat ca cele doua mase sunt numeric proportionale, respectiv egale daca se aleg in mod corespunzator unitatile de masura.

In mecanica newtoniana (clasica) masa este o marime ce depinde numai de corpul careia ii este asociata, fiind o caracteristica mecanica intrinseca a acestuia.

In teoria relativitatii dezvoltata de Einstein (1905) se arata – si se verifica experimental - ca masa depinde si de miscarea corpului in raport cu alte corpuri (repere), crescand cu viteza dupa legea

In acest caz, relatia matematica ce exprima principiul II, trebuie sa aiba o forma mai generala, care sa includa si posibilitatea variatiei masei, dar care, in limitele mecanicii clasice, sa „revina” la aceasta forma. Singura expresie care sa satisfaca ambele cerinte este urmatoarea:

b. Interpretari si situatii reale

Ecuatia ce constituie modelul matematic al principiului II nu ne spune nimic despre natura fortei; aceasta poate fi gravitationala, centrifuga, de frecare etc. Acest lucru evidentiaza caracterul universal al acestui principiu, acela de lege a naturii.

Forta trebuie determinata insa pentru a putea rezolva aceasta ecuatie si a gasi astfel expresia matematica (modelul matematic) a miscarii corpului. Aceasta determinare se face pur experimental; de exemplu, experienta arata ca forta elastica este proportionala cu deformarea, ca forta de frecare este proportionala cu apasarea normala pe suprafata de contact, ca forta gravitationala este proportionala cu acceleratia gravitationala la sol etc.

In cazul cel mai general „rezolvabil” din mecanica teoretica, avem de-a face cu campuri de forte, ce au o anumita valoare in orice punct din regiunea in care se deplaseaza p.m., si care depind de timp si de viteza acestuia:

dependenta respectiva „postulandu-se”, adica reprezentand, asa cum am discutat, modelul matematic al rezultatelor experimentale. Odata stabilita aceasta expresie, ecuatia principiului II se scrie in forma generala:

Aceasta este o ecuatie vectoriala diferentiala de ordinul doi in , respectiv un sistem de ecuatii diferentiale scalare de ordin doi, si reprezinta ecuatia fundamentala a mecanicii clasice (newtoniene).

Problema fundamentala a mecanicii punctului material – determinarea miscarii acestuia – revine astfel, in modelul matematic construit, la rezolvarea ecuatiei fundamentale, imediat ce a fost stabilita expresia matematica a fortei.

Aceasta rezolvare nu este facila. Tratarea problemei in cadrul adecvat al cursului de ecuatii diferentiale si a celui de analiza functionala, arata ca determinarea solutiilor ecuatiei (integrarea ecuatiei fundamentale) este posibila numai pentru anumite clase „cuminti” de astfel de ecuatii; pentru acestea, metode matematice puse la punct conduc la solutii analitice de forma

Miscarea punctului material este insa unica, astfel ca si solutia ecuatiei fundamentale, care este modelul matematic al acestei miscari, trebuie sa fie unica. Ori, pana acum, avem o infinitate de solutii, determinate de arbitrariul absolut al celor 6 constante de integrare. Aceleasi ramuri ale fizicii matematice numite mai sus arata ca unicitatea impusa solutiei ecuatiei fundamentale este complet asigurata de conditiile initiale ale miscarii punctului material, adica de valorile concrete ale pozitiei si vitezei la momentul considerat initial:

Prin aceasta modelul matematic este pus in acord perfect cu experienta.

Experienta arata, ca si in cazul primului principiu, ca principiul II este valabil numai in repere inertiale ecuatia fundamentala modificandu-se la trecerea de la un SRI la un SRNI. Modul in care se realizeaza aceasta transformare, datorita importantei sale, este tratat intr-un paragraf ulterior, separat (“dinamica miscarii relative a p.m.”).

Principiile I si II ale mecanicii clasice se pot grupa sub forma unui singur principiu echivalent, dar mai putin semnificativ; cu notatiile si discutiile de pana acum, acesta s-ar formula astfel:

- exista cel putin un reper spatio-temporal fata de care este valabila legea .

Din formularea anterioara a principiului echivalent si din discutia anterioara cu privire la universalitate, se deduce imediat un alt „principiu” important al mecanicii clasice, care face diferenta de „alte mecanici”:

legile mecanicii newtoniene sunt aceleasi fata de orice reper inertial

numit principiul relativitatii clasice.