Pachete de unde. Viteza de faza. Viteza de grup.

Pachete de unde. Viteza de faza. Viteza de grup.

Undele electromagnetice de forma (7.6) si (7.7), in care pulsatia a undei este egala cu pulsatia oscilatorului, se numesc unde electromagnetice monocromatice, si se pot obtine numai in ipoteza ca miscarea oscilatorului se petrece pe timp nelimitat. In realitate insa, un oscilator scos din starea de echilibru nu poate oscila decat un interval de timp finit, din cauza faptului ca in procesul de oscilatie oscilatorul pierde in mod continuu energie prin radiatie.

Se poate trage concluzia ca un oscilator constituie o sursa de unde electromagnetice, intr-un interval de timp . In fig.3 este reprezentata grafic in functie de timp intensitatea campului electric, intr-un punct din spatiu, pentru un oscilator care emite unde electromagnetice: 626j93g

(7.23)

Este simplu de aratat ca in acest caz unda electromagnetica nu este monocromatica, intrucat ea contine unde electromagnetice monocromatice de pulsatii , situate intr-un domeniu mai mult sau mai putin restrans in jurul valorii . Confrom teoriei privind dezvoltarea in integrale Fourier, intensitatea campului electric in unda monocromatica de pulsatie este data de relatia:

(7.24)

unde s-au introdus urmatoarele notatii:

(7.25)

Intensitatea undei fiind proportionala cu patratul amplitudinii, se poate scrie:

(7.26)

Dupa cum se stie, functia

(7.27)

Prezinta un maxim principal pentru ; pentru unde , are valoarea zero, iar conditia de maxim secundar se obtine din relatia:

(7.28)

Solutiile ecuatiei (7.28), precum si valorile maximelor corespunzatoare sunt indicate in Tabelul 1.

Tabelul 1. Valorile maxime ale functiei

Forma intensitatii este aratata in fig.4. Se observa ca functia prezinta un maxim principal pentru . Neglijand maximele secundare, erorile comise sunt sub 5%, astfel ca putem considera intreaga intensitate a unei cuprinsa in intervalul de frecvente , unde , sau . Daca luam in considerare si maximele secundare, atunci relatia intre si se va scrie , de unde se observa ca daca durata a radiatiilor cuasimonocromatice este mai mare, intervalul spectral este mai mic.

Daca se tine cont si de maximele secundare, conditia anterioara devine:

(7.29)

astfel ca largimea domeniului spectral este invers proportionala cu intervalul de timp in care are loc oscilatia armonica a sursei de unde.

In cazul , ceea ce inseamna ca numai oscilatiile armonice nelimitate in timp pot genera unde electromagnetice monocromatice. Cu cat intervalul de timp in care se desfasoara oscilatia este mai mic, cu atat domeniul pulsatiilor este mai mare.

S-a aratat ca datorita fenomenului de dispersie, viteza de propagare a fazei undei electromagnetice depinde de pulsatia . Vom studia o unda rezultata in urma propagarii unei perturbatii de durata finita, a carei pulsatie este cuprinsa in intervalul

(7.30)

iar modulul vectorului de unda este cuprin in intervalul:

(7.31)

Pentru se poate dezvolta in serie functia , din care se opreste numai termenul de ordinul intai:

(7.32)

Unda rezultata va fi o suprapunere de unde armonice plane, de forma:

(7.33)

cu pulsatiile cuprinse in intervalul (7.30), si respectiv cu modulul vectorului de unda cuprins in intervalul de valori (7.31):

(7.34)

Pentru un domeniu de pulsatii suficient de ingust in jurul pulsatiei , se poate considera ca este constant si este egal cu :

(7.35)

Expresia (7.35) se simplifica daca se introduc notatiile:

(7.36)

Cu aceste notatii, intensitatea campului electric al undei se va scrie:

Se ajunge astfel la concluzia ca, prin suprapunerea undelor armonice dintr-un domeniu ingust de pulsatii, se obtine o unda armonica plana modulata in amplitudine cu factorul . Aceasta conduce la faptul ca, la un moment dat, amplitudinea undei este diferita de zero numai intr-un domeniu restrans din spatiu. Asadar, suprapunerea undelor cu pulsatii apropiate, cuprinse intr-un domeniu restrans in jurul pulsatiei , conduce la formarea pachetelor de unda sau a trenurilor de unda.

Pentru pachetele de unda se face distinctie intre viteza de faza si viteza de grup , care reprezinta viteza de propagare a suprafetei de egala amplitudine.

Ecuatia suprafetei de faza este:

(7.38)

de unde:

In general, pentru o frecventa oarecare se poate scrie:

(7.39)

Ecuatia suprafetei de egala amplitudine este:

de unde:

(7.40)

Mediul este nedispersiv daca viteza de faza nu depinde de pulsatia .

Din (7.39) si (7.40) se obtine:

(7.41)

Avand in vedere relatiile , se obtine:

(7.42)

Expresie cunoscuta sub denumirea de formula lui Rayleigh.

Pachetul de unde (fig.4) are o largime , care este functie de largimea benzii de pulsatie .

sau

(7.43)

In concluzie, pachetul de unde este cu atat mai larg, cu cat este mai mic. Daca unda este monocromatica, , si , adica unda armonica plana se intinde in intregul spatiu, de la la .

Intr-un interval de timp pachetul de unde se deplaseaza pe o distanta :

, sau   (7.44)

Pe baza formulei (7.29) este adevarata relatia:

(7.45)

sau, in general, se obtine:

(7.46)

Formulele (7.29) si (7.46) reprezinta, de fapt, relatii de nedeterminare.

Exemplul 1

Sa se demonstreze ca intre viteza de faza si viteza de grup exista relatia:

Rezolvare

Folosind formulele (7.39). (7.40) si (7.42), se poate scrie:

(7.47)

deoarece si . In continuare, se poate scrie:

(7.48)

Din (7.47) si (7.48) rezulta:

de unde rezulta relatia care trebuia demonstrata.