Propagarea undelor electromagnetice in medii neideale

Propagarea undelor electromagnetice in medii neideale

V.1 Propagarea undei electromagnetice in medii disipative

(absorbante/conducatoare)

Consideram ecuatia de propagare a undelor electromagnetice in medii liniare, omogene si izotrope (II.4).

(V.1)

si presupunem un mediu disipativ (absorbant) in care .

Chiar daca in mediu exista sarcina electrica libera () ea va scadea exponential cu timpul la zero. Intr-adevar, sa consideram un punct din mediu in care densitatea de sarcina este r(x,y,z,t) si desitatea de 121c28b curent (x,y,z,t). Conform ecuatiei de continuitate sub forma locala:

(V.2)

Aplicand legea lui Ohm sub forma locala , ecuatia de continuitate devine:

(V.3)

iar cum , obtinem:

(V.4)

Se observa ca rapotul are dimensiuni de timp, asftel incat putem nota:

(V.5)

iar ecuatia (V.4) devine pentru un punct dat:

(V.6)

care prin integrare conduce la solutia:

(V.7)

Timpul t definit prin (V.5) se numeste timp de atenuare si pentru un conductor metalic t este de ordinul , mult mai mic decat perioada undei electromagnetice in domeniul optic . Se observa in acest caz ca variatiile campului sunt suficient de lente isr mediul metalic le urmareste instantaneu si complet (t poate fi interpretat deci ca un timp de raspuns al mediului la excitatiile externe). Din ecuatia (V.7) rezulta ca r scade rapid la zero, astfel incat ecuatia (V.1) se scrie:

(V.8)

Dupa cum am mentionat si in capitolul III, aparitia termenului face ca ecuatia (V.8) sa nu ramana invarianta la modificarea t -t, ceea ce, din punct de vedere fizic semnifica faptul ca propagarea undei electromagnetice in medii conductoare este un proces ireversibil, producandu-se o crestere a entropiei mediului, deci o disipare de energie dQ_irev>0.

Ca solutie a ecuatatiei (V.8) propunem o unda de tip armonic

(V.9)

care inlocuita in (V.8) conduce la ecuatia atemporala a undelor in medii disipative:

(V.10)

Introducand vectorul de unda complex (prin patratul sau)

(V.11)

ecuatia (V.10) capata aspectul ecuatiei Helmholtz din cazul mediilor ideale

(V.12)

Presupunem o unda care se propaga pe directia Oz; atunci ecuatia (V.12) devine

(V.13)

cu solutia

(V.14)

Pentru interpretarea fizica a acestei solutii sa scriem modulul vectorului de unda complex sub forma:

(V.15)

cu a si b marimi reale. Atunci (V.14) devine

(V.16)

care are aspectul undei armonice plane cu modulul vectorului de unda , dar a carei amplitudine scade exponential pe masura ce unda patrunde in metal. Inseamna ca unda se atenueaza, atenuarea fiind descrisa de partea imaginara a marimii complexe .

Intensitatea undei la "adancime" z va fi:

(V.17)

sau

(V.18)

unde I₀ este intensitatea undei la intrarea in mediu (z=0).

Coeficientul b se numeste coeficient de absorbtie.

Se defineste adancimea de patrundere a undei in mediu ca distanta d dupa care intensitatea scade de e ori fata de cea de intrare. Atunci (V.17) devine :

(V.19)

de unde

(V.20)

Solutia completa a ecuatiei undelor in medii disipative (V.9) va fi:

(V.21)

Comparata cu solutia in medii ideale conduce la ideea ca in medii disipative se pot defini doua tipuri de suprafete:

Suprafete echifaza, cu ecuatia care se propaga cu viteza de faza

(V.22)

Suprafete echiamplitudine, cu ecuatia (z=const).

Sa aflam expresia adancimii de patrundere si a vitezei de faza (V.22) pentru un mediu conductor. Vom introduce expresia (V.15) in (V.11) si vom identifica partile reale si partile imaginare din cei doi membri ai relatiei obtinute:

(V.23)

de unde

Din (V.24 b) rezulta care intrdusa in (V.24 a) conduce la ecuatia bipatrata pentru b

(V.25)

Cum b este o marime reala, vom considera doar radacina pozitiva (b >0) a ecuatiei (V.25)

(V.26)

din care rezulta

(V.27)

In principiu, din (V.26) se poate determina adancimea de patrundere d iar din (V.27) viteza de faza v, oricare ar fi marimile de material e m si s si oricare ar fi pulsatia undei w

Sa consideram urmatoarele cazuri extreme:

1) medii aproape dielectrice (s - mic, e - mare). Atunci raportul (V.28)

Radicalul din expresiile (V.26) si (V.27) se poate dezvolta in serie si se pot retine doar primii doi termeni ai dezvoltarii:

(V.29)

iar

(V.30)

(V.31)

In acest caz adancimea de patrundere va fi:

(V.32)

Ea depinde doar de marimile de material Z si s, fiind independenta de pulsatia undei. De exemplu pentru apa pura , e_r=81, m_r=1, rezulta o adancime de patrundere de ordinul 10³m.

2) medii bune conductoare (s - mare, e - mic). Raportul   (V.33)

astfel incat in expresiile (V.26) si (V.27) se poate neglija unitatea, obtinandu-se:

Adancime de patrundere devine:

(V.35)

depinzand atat de caracteristicile de mediu (s m) cat si de frecventa undei electromagnetice. Astfel, pentru unde de inalta frecventa (domeniul optic) adancimea de patrundere este foarte mica. De exemplu, pentru cupru (), o unda radio cu frecventa n=1KHz va avea adancimea de patrundere d 10^-8m (lumina nu patrunde in metale !).

Efectul de absorbtie a undelor electromagnetice de inalta frecventa de catre straturile inguste de la suprafata metalelor poarta numele de efect pelicular. Pentru determinarea vitezei de faza in cele doua cazuri, vom considera expresia (V.22)

sau

(V.36)

Dupa cum am mentionat, marimea se masoara in s^-1 si poate fi interpretat ca o pulsatie caracteristica a mediului (V.37)

Atunci expresia (V.36) devine:

(V.38)

Se observa ca viteza de faza depinde de frecventa deci mediul conductor este dispersiv. Graficul vitezei de faza in functie de raportul este prezentat in figura V.1

v

Fig. V.1

Din figura se observa o crestere a vitezei de faza cu o frecventa w a undei, ceea ce denota ca in medii conductoare apare o dispersie anomala.

In medii aproape dielectrice , iar , adica unda electromagnetica are aceasi viteza de propagare oricare ar fi frecventa sa, deci nu exista dispersie.

In medii bune conducatoare , prin neglijarea unitatii in expresia (V.36) obtinem:

(V.39)

De exemplu, in Cu, o unda cu n=1KHz se propaga cu v=415m/s. In aceste medii in care are loc dispersia anomala putem calcula viteza de grup:

(V.40)

Considerand ca a e dat de expresia (V.34 b) obtinem deci:

(V.41)

O consecinta importanta a valorii complexe a vectorului de propagare este aparitia unui defazaj intre vectorii campului electric si magnetic (), adica in medii conductoare cele doua campuri nu mai oscileaza in faza.

Sa calculam acest sefazaj:

Se stie ca orice numai comple se poate scrie , cu - modulul numarului complex si

In cazul vectorului de unda complex:

;   (V.42)

Folosind relatia

obtinem

(V.43)

din care se observa ca defazajul intre este chiar faza q a lui .

In metode, folosind expresile (V.34) obtinem

(V.44)

adica

Pentru vectorul de unda complex putem scrie:

In dielectrici tgq << 1, deci sunt aproximatic in faza.

(V.45)

Pentru media temporala a vectorului Poyting avem:

Din transversalitatea undei , deci

(V.46)

de unde se observa scaderea exponentiala a intensitatii cu distanta parcursa in mediul absorbant.

In concluzie - in medii disipative (s¹0) propagarea undei electromagnetice este insotita de urmatoarele fenomene:

absorbtia - descrisa de

dispersia - v=v(w) si v_g¹v

aparitia unui defazaj intre (cele doua campuri nu isi mai ating simultan minimele si maximele).

Ca un exemplu de studiu a propagarii undei electromagnetice intr-un mediu disipativ sa consideram o unda progresiva monocromatica cu frecventa n = 1 MHz emisa directionat vertical de o sursa aflata la suprafata apei marii. Presupunem amplitudinea undei emise de sursa si valorile marimilor de material e_r=81, m_r=1, .

Vom arata ca la aceasta frecventa apa marii este un bun conducator. Pentru aceasta vom estima raportul .

In acest caz , de unde viteza de faza iar adancimea de patrundere (spre deosebire de apa pura, care este un dielectric perfect si in care adancimea de patrundere este de ordinul 10³m).

Inductia campului magnetic:

Cum , rezulta