Puteri in circuitele de curent alternativ

Puteri in circuitele de curent alternativ

Se considera un EDC cu tensiunea si curentul la borne: u(t) = Usinwt si i(t) = Isin(wt - j). Pentru generatoare (surse) de orice tip u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la generatoare; pentru celelalte elemente de circuit u(t) si i(t) sunt asociate dupa regula de la receptoare. Se definesc urmatoarele puteri:

Puterea instantanee p(t), absorbita de receptor sau cedata de generator este:

p(t)= u(t) i(t) =2UI sinwt sin(wt - j UIcosj - UIcos(2wt - j

Valoarea medie pe o perioada a puterii instantanei care se numeste putere activa P este:

Puterea activa depinde de valorile efective ale tensiunii si curentului si de factorul de putere si se consuma efectiv si ireversibil in rezistoare. Unitatea de masura a puterii active este Wattul, [P] = 1W.

Din definitia puterii active rezulta interpretarea fizica a valorii efective a curentului si a tensiunii. Daca se considera un rezistor cu rezistenta R prin care trece curentul i(t) = Isinwt rezulta u(t) = Ri(t) = RIsinwt si . Deci valoarea efectiva a unui curent sinusoidal este numeric egala cu valoarea unui curent continuu care, trecand prin aceeasi rezistenta ca si curentul sinusoidal produce aceeasi putere prin efect Joule.

Puterea reactiva Q, este Q = UI sinj avand unitatea de masura [Q]=1VAR (volt-amper reactiv).

Puterea aparenta S, este S = UI si are unitatea de masura [S] = 1VA. Evident .

Puterea aparenta complexa (puterea complexa) este S = U I^*=UIe^{j j} =Uicosj +jUIsinj=P+jQ.

Puterile absorbite sau debitate de elementele ideale de circuit sunt:

- rezistorul ideal absoarbe puterea activa P=RI² si, deoarece j=0, puterea reactiva absorbita este Q=UIsinj=0 deci puterea complexa absorbita este S_a =RI +j0.

- bobina ideala parcursa de curentul i(t)=Isinwt are tensiunea la borne u(t)= wLIsin(wt + p/2) deci j p/2 si rezulta Q=UIsinp wLI =U wL > 0, P = UI cosp/2 = 0, deci bobina absoarbe puterea complexa S_a=0+jwLI . Media pe o perioda a energiei acumulate in bobina este .

- condensatorul ideal cu tensiunea la borne u(t) = Usinwt este parcurs de curentul i(t)= wCUsin(wt + p/2), deci j p/2 si rezulta Q = UIsin(-p/2)= = - U wC < 0, P = UI cos(-p/2) = 0, deci condensatorul absoarbe puterea complexa S_a=0-jwCU . Media pe o perioda a energiei acumulate in condensator este .

Deoarece condensatorul si bobina schimba cu circuitul in care sunt conectate o putere reactiva nenula, ele se numesc elemente reactive.

- sursa ideala de tensiune cu tensiunea electromotoare e(t)= Esinwt parcursa de curentul i(t)= I sin(wt+j) debiteaza o putere complexa S_d=E I = EIe^-jj EIcosj-jEIsinj (U si I sunt asociate dupa regula de la generatoare sau I parcurge sursa in sensul sagetii lui E)

- sursa ideala de curent cu curentul electromotor i_s(t)= I_s sin(wt+j) cu tensiunea la borne u(t)= U sinwt debiteaza o putere complexa S_d = U I = UI_se^-jj = UI_scosj-jUI_ssinj (U si I_s sunt asociate dupa regula de la generatoare)

Observatii

i)puterea activa este absorbita numai de rezistoarele ideale

ii)puterea reactiva este absorbita numai de bobinele si condensatoarele ideale

iii)impedanta complexa Z=R+jX absoarbe puterea aparenta complexa S_a =U I = Z I I = ZI =(R+jX) I =RI + jXI deci P_a=RI si Q_a =XI

iv)sursele debiteaza atat putere activa cat si putere reactiva

4.6. Teorema conservarii puterilor complexe

Plecand de la teorema a II-a a lui Kirchhoff in complex (vezi paragraful 4.4) si de la faptul evident ca curentii conjugati I_k verifica teorema I alui Kirchhoff in complex

) teorema lui Tellegen in complex este:; in aceasta expresie U_k si I_k sunt asociate dupa regula de la receptoare. Separand intr-un membru puterile complexe debitate de surse (pentru care U_k si I_k sunt asociate dupa regula de la generatoare) si in celalat membru puterile complexe absorbite de consumatori (impedante complexe) rezulta:

Teorema conservarii puterilor complexe Suma puterilor complexe debitate de toate sursele dintr-un circuit este egala cu suma puterilor complexe absorbite de toate impedantele din acelasi circuit:

Tinand seama ca :S_d = P_d + jQ_d si S_a = P_a + jQ_a rezulta:

si

adica puterile active si puterile reactive se conserva.

Observatii:

i)puterile aparente S_k nu se conserva

ii)conservarea puterilor complexe poate fi folosita, similar cu consevarea puterilor in circuitele de c.c., la verificarea rezultatelor obtinute prin rezolvarea problemelor de analiza a circuitelor de c.a.

iii)tinand seama ca pentru o bobina Q_a w si pentru un condensator Q_a w rezulta ca deci un dipol RLC are caracter inductiv daca >0, are caracter capacitiv daca <0 si are caracter rezistiv sau este la rezonanta (vezi paragraful 4.9) daca=0

iv)condensatorul nu genereaza putere reactiva chiar daca absoarbe o putere reactiva negativa; asa cum rezulta din teorema conservarii puterilor complexe, puterea reactiva (pozitiva sau negativa) este generata de surse

v)defazajul j intre curent si tensiunea la bornele unui dipol RLC format din elemente de circuit cu R,L,C>0 este cuprins intre -p/2 si +p/2 deoarece UIcosj= deci cosj>0.