RADIATIA ELECTROMAGNETICA

RADIAtIA ELECTROMAGNETICa

La frecvente suficient de înalte, câmpul electromagnetic variabil în timp se prezinta sub forma de unde electromagnetice care se propaga cu viteza finita. Determinarea unui astfel de câmp implica rezolvarea ecuatiilor lui Maxwell, fara sa se mai neglijeze densitatea curentului de deplasare. Prin inductie electromagnetica, câmpul magnetic variabil în timp produce câmp electric, iar prin efectul curentului de deplasare, câmpul electric variabil în timp produce câmp magnetic. Latura electrica si latura magnetica a câmpului se conditioneaza reciproc, chiar în vid, asigurând existenta undelor electromagnetice, independent de prezenta corpurilor în regiunea considerata. Undele electromagnetice se pot desprinde de corpurile (circuitele) care le-au dat nastere, propagându-se la distante mari si transmitând o parte din energia circuitului, sub o forma specifica câmpului electromagnetic. La frecente înalte apare fenomenul de radiatie, prin care o parte din puterea primita pe la borne de un circuit este transmisa mediului înconjurator sub forma de unde electromagnetice.

În cap. 1 s-a studiat cea mai simpla unda electromagnetica, unda plana, fara vreo preocupare referitoare la modul cum a fost generata o asemenea unda. Aici se vor prezenta problemele radiatiei undelor de catre circuite electrice, pentru cel mai simplu circuit electric radiant, oscilatorul electric elementar al lui Hertz, cu care în 1888 a pus în evidenta experimental undele electromagnetice prevazute teoretic de Maxwell în 1865.

16.1. Potentialele electrodinamice retardate

Studiul radiatiei un 444j93e delor electromagnetice de catre circuite electrice de curent variabil este usurat daca se folosesc potentialele electrodinamice ale câmpului electromagnetic. Aceste potentiale generalizeaza pentru marimile variabile în timp potentialul vector si potentialul scalar, care au fost introduse la studiul câmpurilor statice sau stationare.

Se reaminteste ca ecuatiile lui Maxwell sunt

la care se adauga relatiile constitutive

Legea fluxului magnetic este satisfacuta identic daca se introduce potentialul electrodinamic vector , prin relatia

Pentru a stabili în mod univoc un asemenea potential, mai trebuie impusa valoarea , întrucât un câmp de vectori este caracterizat complet numai daca se da atât rotorul, cât si divergenta lui. Conditia care fixeaza divergenta potentialului vector se numeste conditie de etalonare a potentialelor electro­dinamice. În regim stationar s-a folosit conditia de etalonare . În regim general variabil se va folosi o alta conditie de etalonare.

Introducând în legea inductiei electromagnetice inductia magnetica exprimata cu ajutorul potentialului vector, se obtine relatia

care stabileste caracterul potential al vectorului din paranteza. Se poate deci introduce un potential electrodinamic scalar V_e, prin relatia

Relatiile (16.1-6) si (16.1-7) sunt exprimari sub alta forma a legii fluxului magnetic si a legii inductiei electromagnetice. Ele permit calculul câmpurilor si , daca se cunosc potentia­lele electrodinamice si V_e.

Cu ajutorul celorlalte doua ecuatii ale lui Maxwell se vor stabili ecuatiile pe care le satisfac aceste marimi, în medii omogene, liniare si fara câmpuri imprimate. Ţinând seama de relatiile constitutive (16.1-5), acestea devin

si presupun cunoscute repartitiile sarcinii electrice si a densitatii curentului de conductie

Ţinând seama de relatia vectoriala

se obtin urmatoarele forme ale legii circuitului magnetic

si a legii fluxului electric

Acestea sunt ecuatiile care trebuie rezolvate pentru a determina potentialele electrodinamice. Aceste ecuatii se pot simplifica punând conditia de etalonare a lui Lorentz

Aceasta relatie completeaza definitia potentialului electrodinamic vector si cele doua potentiale electrodinamice satisfac ecuatiile

Acestea sunt ecuatiile undelor neomeogene (tridimensionale).

În regim stationar aceste ecuatii trec în ecuatiile lui Poisson pentru potentialele si V

Daca sursele si ocupa un domeniu marginit din spatiu si potentialele scad suficient de repede la infinit, solutiile au forma "coulombiana"

unde cu R s-a notat distanta dintre punctul sursa, reperat prin vectorul si punctul de observatie, reperat prin vectorul

Se demonstreaza ca solutiile ecuatiilor (16.1-10) se deosebesc de cele ale ecuatiilor Poisson (16.1-11) numai prin argumentul timp al marimilor sursa, fiind

unde cu c s-a notat viteza de propagare a undelor electromagnetice

În expresiile (16.1-13) s-a presupus ca potentialele si câmpul se anuleaza suficient de repede la infinit.

Semnificatia expresiilor (16.1-13) este urmatoarea: potentialele electrodinamice în punctul de observatie P, la un moment dat t, sunt determinate de valorile surselor din puncte P' (fig. 16.1-1), la un moment de timp anterior t', care difera de t prin timpul de propagare R/c pe distanta R a unei unde electro­magnetice

Expresiile (16.1-13) ilustreaza faptul ca actiunile fizice se transmit cu viteza finita: fiecare corp din punctul P', având sarcina electrica sau curent de conductie, contribuie la valorile potentialelor din punctul P cu o retardare (întârziere) egala cu timpul necesar unei unde electromagnetice libere pentru a ajunge din punctul P' în punctul P. De aceea, potentialele (16.1-13) se numesc potentiale electrodinamice retardate.

Cele doua repartitii care determina potentialele electrodi­namice nu sunt independente, din cauza legii conservarii sarcinii electrice

De aceea se foloseste numai una dintre integralele (16.1-13), iar celalalt potential se deduce din conditia lui Lorentz.

Daca pentru t 0 corpul sursa nu avea sarcina electrica si nu era parcurs de curenti, rezulta ca functiunile r_v si se anuleaza

În toata regiunea din spatiu ale carei puncte P satisfac în momentul t conditia

(unde R este distanta de la P la cel mai apropiat punct al corpului D), nu exista înca unde electromagnetice. Se numeste frontul undei suprafata S cu ecuatia

care este locul geometric al punctelor P pentru care cea mai mica distanta la corpul D este egala cu distanta pe care o poate strabate unda în timpul t.

16.2. Rezistenta de radiatie

Ca urmare a radiatiei undelor la frecvente înalte de catre circuite, acestea pierd putere, pe care o transmit undelor radiate. Daca un circuit pasiv, cu efect de radiatie, primeste pe la borne o putere activa P_b, aceasta putere se va regasi sub forma unei puteri P_R disipata prin efect Joule si o putere radiata P_rad: P_b = P_R + P_rad. Daca I este curentul circuitului, se numeste rezistenta de radiatie valoarea

Un exemplu, cu totul particular, ilustreaza faptul ca radiatia este o consecinta a retardarii puse în evidenta în subcapitolul precedent. Fie o spira filiforma (fig. 16.2-1), alimentata în regim sinusoidal cu tensiunea U si care are curentul I.  Din cauza retardarii, inductia magnetica dintr-un punct al suprafetei S_G sprijinite pe conturul G al spirei nu mai este în faza, ci ramâne în urma fata de curent. Ca urmare fluxul magnetic f prin acea suprafata este defazat în urma curentului I cu un unghi d care creste cu frecventa (deoarece retardarile corespunzatoare diferitelor puncte reprezinta fractiuni din ce în ce mai mari din perioada T = 1/f). Acum inductivitatea L a spirei trebuie definita numai în functie de componenta fluxului în faza cu curentul si fluxul magnetic se poate reprezenta sub forma

S-a notat cu l un factor de proportionalitate al componentei fluxului magnetic, defazata cu p/2 în urma curentului.

Ecuatia circuitului este

Puterea activa primita de circuit fiind

se recunoaste cu usurinta ca

este rezistenta de radiatie aparuta ca urmare a întârzierii fluxului fata de curent.

16.3. Radiatia oscilatorului electric elementar

16.3-1. Potentialele electrodinamice ale oscilatorului electric elementar

Se considera un dipol electric, având momentul

variabil în timp, dar cu directie invariabila. Un astfel de dipol reprezinta un model idealizat pentru oscilatorul lui Hertz, compus din doua sfere încarcate cu sarcini q si -q, reunite printr-un conductor scurt (fata de lungimea de unda), întrerupt la mijloc pentru legaturile de alimentare de la un generator de înalta frecventa (fig. 16.3-1a si b).

Daca momentul dipolului si deci sarcina sferelor variaza, în conductorul de legatura apare un curent electric de conductie

Potentialul electrodinamic vector într-un punct cu raza vectoare fata de dipol (fig. 16.3-2) se poate calcula cu (16.1-13'). Pentru R >> l, si l i = dp/dt = , notând cu punct deasupra derivatele în raport cu timpul = df/dt, se obtine potentialul electrodinamic vector sub forma

Potentialul are numai o componenta, dupa axa dipolului, aleasa ca axa Oz (fig. 16.3-2)

unde cu [f] = f(t-R/c) s-a notat valoarea retardata a functiunii de timp f(t).

Potentialul electrodinamic scalar se deduce din (16.3-4) folosind conditia lui Lorentz

Notând cu doua puncte derivata a doua în raport cu timpul se obtine

Aceasta expresie se poate integra în raport cu timpul cu o constanta de integrare nula (întrucât un termen aditiv independent de timp ar fi ca un potential electrostatic suprapus, neasociat câmpului electromagnetic variabil al dipolului). Se obtine

Se observa ca în regim stationar, când , se regasesc expresiile potentialelor dipolului în regim strict electrostatic

16.3-2. Câmpul de radiatie al dipolului oscilant

Cunoscând potentialele si V_e, se poate calcula câmpul electromagnetic al oscilatorului electric elementar, folosind relatiile (16.1-6) si (16.1-7)

Câmpul are componente care scad repede cu distanta R (fiind provenite din derivarea în raport cu coordonatele spatiale a factorilor 1/R si 1/R²) si componente care scad mai încet, având ca factor pe 1/R. Se vor calcula numai ultimele componente, care sunt predominante la distante foarte mari de dipol. Calculele se fac în coordonate sferice . Din motive de simetrie în raport cu axa Oz - marimile nu depind de unghiul de azimut j. Atunci gradientul unei functiuni scalare f va avea expresia

Se va neglija si derivata în raport cu q, care introduce multiplicarea cu 1/R (a unor termeni care contin deja 1/R sau 1/R²) si atunci

la derivare toti factorii 1/R si 1/R² fiind considerati constanti

Neglijând în expresia potentialului scalar primul termen, care are ca factor 1/R² si tinând seama ca

si stiind ca e”c² = 1, la distante mari de dipol se obtine câmpul electric de radiatie

În mod asemanator se calculeaza câmpul magnetic

Pentru câmpul magnetic de radiatie se obtine expresia finala

Se observa ca la distanta mare de dipol, unda radiata este o unda transversala, cu vectorii câmp perpendiculari unul pe altul si pe directia de propagare radiala, de versor . Vectorii formeaza un triedru drept, iar componentele scalare ale celor doi vectori, si sunt în fiecare moment si în fiecare punct proportionale, raportul lor fiind egal cu impedanta de unda a mediului

Vectorul lui Poynting este radial, fiind dirijat în sensul propagarii undei

Se observa ca radiatia energiei este directiva, fiind maxima în planul perpendicular pe dipol si este nula în axul dipolului.

16.3-3. Rezistenta de radiatie a dipolului electric elementar

Aceasta marime se deduce din valoarea puterii radiate. Fie i curentul de alimentare al dipolului în regim sinusoidal cu pulsatia w, considerat ca origine de faza

Însa w pf 2pc/l si atunci

Componentele câmpurilor vor avea forma

Densitatea instantanee a fluxului de energie este

si are valoarea medie pe o perioada

Integrând aceasta expresie pe suprafata sferei de raza R, cu dA = R² sinq dq dj se obtine expresia puterii radiate de dipol

Rezistenta de radiatie a dipolului elementar devine

cu conditia ca l << l, pentru ca dipolul sa poata fi considerat elementar.