SEMNALE IN TIMP CONTINUU-SEMNALE IN TIMP DISCRET

Prin semnal se intelege orice cantitate sau calitate fizica care variaza cu timpul, spatiul sau oricare alta variabila independenta si transporta sau contine informatie. Metodele folosite in prelucrarea semnalelor depind de natura si caracteristicile semnalelor. Semnalele au natura fizica foarte diversa: biologice, acustice, mecanice, electrice, chimice, video etc.

I. CLASIFICAREA SEMNALELOR

SEMNALE MULTIDIMENSIONALE SI SEMNALE MULTICANAL

Matematic, semnalele sunt modelate ca functii de una sau mai multe variabile independente. Informatia este continuta in modelul adoptat.

Un semnal se numeste monodimensional daca este reprezentat in functie de o singura variabila independenta.

Un semnal se numeste M-dimensional daca valoarea sa este o functie de M variabile independente. Semnalul generat de o singura sursa si care este o functie de una sau mai multe variabile independente se numeste semnal monocanal sau scalar. In unele cazuri semnalele pot fi generate de mai multe surse .

SEMNALE DEFINITE IN TIMP 555e47f CONTINUU SI SEMNALE IN TIMP DISCRET

Semnalele pot fi clasificate dupa caracteristicile variabilei independente si a valorilor pe care le primesc. Variabila independenta poate fi continua sau discreta. Semnalele definite in timp continuu sunt definite pentru orice valoare a variabilei independente dintr-un interval finit sau infinit. Aceste semnale sunt cunoscute si sub numele de semnale analogice.

(1)

unde ,, reprezinta multimile amplitudinilor, frecventelor si fazelor ale sinusoidelor componente si N- numarul de componente.

In figura 1.a.este prezentat un definit in timp continuu. Este posibil ca un semnal definit in timp continuu sa nu fie o functie continua de variabila independenta (fig 1.b.)

Semnalele definite in timp discret sunt acele semnale definite numai pentru valori discrete in timp. Acestea nu trebuie sa fie echidistante, dar, in practica, din considerente de comoditate a tratarii matematica, de cele mai multe ori, se iau uniform distantate. Un semnal in timp discret poate fi reprezentat matematic de o secventa de numere reale sau complexe.

Operatia de discretizare in timp a unui semnal definit in timp continuu se numeste esantionarea semnalului. Esantioanele reprezinta valori pe care le ia semnalul la anumite momente de timp.

SEMNALE CU VALORI CONTINUE SI SEMNALE CU VALORI DISCRETE

Valorile pe care le poate lua un semnal pot fi continue sau discrete. Daca un semnal poate lua toate valorile posibile dintr-un interval finit sau infinit, el se numeste cu valori continue. Atat semnalele analogice cat si cele discrete pot avea valori continue.

Daca un semnal ia valori dintr-o multime finita de valori posibile, el se numeste semnal cu valori discrete. De obicei, valorile discrete sunt exprimate ca multiplu intreg al diferentei dintre doua valori successive posibile. Procesul de transformare a unui semnal cu valori continue intr-unul cu valori discrete se numeste cuantizare. Atat semnalele definite in timp continuu cat si cele definite in timp discret pot avea valori discrete. In figura 2.a. este prezentat un semnal analogic cuantizat cu cuanta q. In prelucrarea numerica a semnalelor, pe langa discretizarea acestora in timp, este necesara si cuantizarea valorilor esantioanelor, deoarece calculatorul accepta la intare numere ce pot fi reprezentate cu un numar finit de cifre binare. Semnalele pentru care atat timpul (variabila independenta) cat si amplitudinea semnalului au valori discrete se numesc semnale numerice sau semnale digitale. In figura 2.b. este reprezentat un semnal numeric. Semnalele definite in timp discret se mai numesc si semnale discrete, indiferent daca sunt sau nu cuantizate.

Procesarea numerica a semnalelor se ocupa cu transformari ale semnalelor care sunt discrete atat in timp, cat si in amplitudine. Procesoarele numerice analizeaza, modifica sau extrag informatii din astfel de semnale.

SEMNALE DETERMINISTE SI ALEATOARE

Pentru analiza si procesarea semnalelor este necesara descrierea matematica a acestora, care se refera la modelul ales pentru semnal.

Un semnal se numeste determinist daca poate fi descris in mod unic de o expresie matematica explicita, o lege sau un tabel de atribuire. Acest termen este folosit pentru a evidentia faptul ca orice valoare trecuta, prezenta sau viitoare a semnalului este cunoscuta precis, fara nici o incertitudine.

In practica exista semnale care nu pot fi descrise de formule matematice convenabile. Un semnal se numeste aleator daca evolutia acestuia in timp imprevizibila. Analiza si descrierea acestor semnale se realizeaza cu ajutorul metodelor statistice.

II. SEMNALE DISCRETE

Un semnal discret x[n] este o functie a carei variabila independenta este un intreg si poate lua orice valoare reala sau complexa. Un semnal discret nu este definit la momente dintre doua esantioane succesive. x[k] defineste al k-lea esantion al semnalului x[n], indiferent daca acesta provine din esantionarea unui semnal analogic sau nu. Un semnal discret este prezentat in figura urmatoare.

 

Un semnal definit in timp discret, , este o functie a carei variabila independenta este un intreg si este reprezentat de obicei printr-o secventa de numere.

Modelul matematic al unui semnal discret poate fi definit ca o aplicatie

astfel incat, pentru secvente unidimensionale

Pe langa reprezentarea grafica a unui semnal discret, mai exista cateva moduri de descriere a acestora :

-reprezentarea functionala;

-reprezentarea tabelara;

- reprezentarea prin secvente de numere;

1. EXEMPLE DE SEMNALE ELEMENTARE DISCRETE

In prelucrarea numerica a semnalelor intervin adesea cateva semnale de baza, care vor fi definite dupa cum urmeaza:

1) Semnalul impuls unitate, care este descris de:

si este reprezentat in figura:

2) Semnalul treapta unitate, care este descris de:

si este reprezentat in figura:

Legatura intre semnalul treapta unitate si impulsul unitate este data de relatia:

care arata ca valoarea treptei unitate la momentul n rezulta prin acumularea valorilor precedente ale impulsului unitate.

3) Semnalul rampa unitate, care este descris de:

si este reprezentat in figura:

4) Semnalul exponential, care este descris de:

si este reprezentat in figura pentru

2. CLASIFICAREA SEMNALELOR DISCRETE

1) Semnale de energie finita si semnale de putere finita:

Relatia urmatoare defineste energia unui semnal.

. Aceasta marime poate fi calculata atat pentru semnale reale cat

si pentru semnale complexe. Daca marimea E este finita, semnalul se numeste semnal de energie finita.

Puterea medie a unui semnal discret x[n] se defineste cu relatia:

Daca E este finit, P=0. Daca energia unui semnal este infinita, puterea poate fi finita sau infinita. Daca puterea este finita si diferita de zero semnalul se numeste de putere finita.

2) Semnale periodice si neperiodice:

Un semnal x[n] este periodic de perioada N daca si numai daca

N intreg.

Perioada fundamentala reprezinta cea mai mica valoare a lui N pentru care este indeplinita relatia anterioara. Daca nu exista nici un N care sa satisfaca aceasta realatie atunci semnalul se numeste neperiodic.

Semnale pare si impare

Un semnal x[n] este par, daca: si impar daca .

Orice semnal discret poate fi exprimat ca suma a doua componente, una para si una impara.

si

3. OPERATII CU SEMNALE DISCRETE

Deplasarea in timp a semnalului

Un semnal x[n] poate fi deplasat in timp prin inlocuirea variabilei independente n cu n-k unde . Pentru k>0, deplasarea in timp are ca rezultat o intarziere a semnalului cu k unitati de timp. Daca k<0, deplasarea in timp determina un avans al semnalului de |k| unitati de timp.

Reflectarea semanlului

Un semnal x[n] poate fi reflectat in timp in raport cu axa ordonatelor prin inlocuirea variabilei independente n cu -n.

Decimarea semnalului

Operatia de decimare a semnalului consta in inlocuirea variabilei independente

n cu Mn unde, adica . Aceasta operatie se mai numeste si operatie de scalare a axei timpului sau subesantionare.

Interpolarea semnalului

Sumarea, multiplicarea si scalarea semnalelor

Suma a doua semnale si este un semnal ale carui valori la un anumit moment sunt egale cu suma valorilor semnalelor implicate in suma in acel moment. Produsul a doua secvente se obtine efectuand produsul esantion cu esantion al secventelor.

Scalarea amplitudinii unui semnal cu o constanta A se realizeaza prin multiplicarea valorii fiecarui esantion al semnalului cu constanta A.

III. DESFASURAREA LUCRARII:

A.     Generarea unor semnale elementare

Semnalele elementare enumerate sunt generate cu urmatoarea secventa de comenzi MATLAB

Impulsul unitate: delta=[1;zeros(49,1)];

Semnalul treapta unitate u=ones(50,1);

Semnal dreptunghiular: d=[ones(1,5), zeros(1,3)];

Semnal sinusoidal: s=sin(2*pi/8*(0:15));

Semnal tip 'sinc' : sc=sinc(0:0.25:8);

6) Semnal exponential e^-n: ex=exp(-(0:15));

7) Semnalul exponential 2^-0,5n : ex1=pow2(-0.5*(0:15));

Semnal exponential 3ⁿ: ex2=3.^(0:15);

Secventa aleatoare normala: ran=randn(1,16).

In continuare sunt prezentate cateva programe simple de generare si vizualizare a unor semnale elementare pentru anumite domenii de valori ale variabilei independente.

Pentru a obtine impulsul unitate centrat pe valoarea 0 a variabilei independente se utilizeaza urmatorul program MATLAB

% Program P1

% Generation of a Unit Sample Sequence

clf;

% Generate a vector from -10 to 20

n = -10:20;

% Generate the unit sample sequence

u = [zeros(1,10) 1 zeros(1,20)];

% Plot the unit sample sequence

stem(n,u);

xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude');

title('Unit Sample Sequence');

axis([-10 20 0 1.2]);

Impulsurile pot fi folosite la construirea trenurilor de impulsuri periodice, de perioada P si lungime MP

Urmatorul program genereaza un tren periodic de impulsuri:

% Program P1a

P=5;

M=6;

x=[1;zeros(P-1),1)];

y=x*ones(1,M);

y1=y(:);

Generarea unei secvente exponentiale complexe:

% Program P2

% Generation of a complex exponential sequence

clf;

c = -(1/12)+(pi/6)*i;

K = 2;

n = 0:40;

x = K*exp(c*n);

subplot(2,1,1);

stem(n,real(x));

xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude');

title('Real part');

subplot(2,1,2);

stem(n,imag(x));

xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude');

title('Imaginary part');

Generarea unei secvente exponentiale reale:

% Program P3

% Generation of a real exponential sequence

clf;

n = 0:35; a = 1.2; K = 0.2;

x = K*a.^n;

stem(n,x);

xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude');

Generarea unei secvente sinusoidale:

% Program P4

% Generation of a sinusoidal sequence

n = 0:40;

f = 0.1;

phase = 0;

A = 1.5;

arg = 2*pi*f*n - phase;

x = A*cos(arg);

clf; % Clear old graph

stem(n,x); % Plot the generated sequence

axis(s0 40 -2 2t);

grid;

title('Sinusoidal Sequence');

xlabel('Time index n');

ylabel('Amplitude');

axis;

Generarea unui semnal netezit prin mediere:

% Program P5

% Signal Smoothing by Averaging

clf;

R = 51;

d = 0.8*(rand(R,1) - 0.5); % Generate random noise

m = 0:R-1;

s = 2*m.*(0.9.^m);  % Generate uncorrupted signal

x = s + d';  % Generate noise corrupted signal

subplot(2,1,1);

plot(m,d','r-',m,s,'g--',m,x,'b-.');

xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude');

legend('d[n] ','s[n] ','x[n] ');

x1 = [0 0 x];x2 = [0 x 0];x3 = [x 0 0];

y = (x1 + x2 + x3)/3;

subplot(2,1,2);

plot(m,y(2:R+1),'r-',m,s,'g--');

legend( 'y[n] ','s[n] ');

xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude');

Generarea unei secvente modulate in amplitudine:

% Program P6

% Generation of amplitude modulated sequence

clf;

n = 0:100;

m = 0.4;fH = 0.1; fL = 0.01;

xH = sin(2*pi*fH*n);

xL = sin(2*pi*fL*n);

y = (1+m*xL).*xH;

stem(n,y);grid;

xlabel('Time index n');ylabel('Amplitude');

C.     Analiza proprietatilor unor secvente elementare

1. Sa se genereze un vector cu 1000 elemente dintr-un semnal sinusoidal

xsin=sin(2*pi*(1:0.1:1000)).

2. Sa se vizualizeze semnalul pentru 200 esantioane

plot(1:200,xsin(1:200)),title('Semnal sinusoidal')

Sa se determine maximul, minimul media, mediana si dispersia semnalului cu ajutorul comenzilor max, min, mean, median, std.

Sa se repete aceste comenzi pentru secventele generate de comenzile square, sawtooth, rand, randn

D.    Tema:

Exercitiul 1. Sa se genereze si sa se reprezinte urmatoarele secvente. Axa orizontala (n) trebuie sa se intinda numai pe domeniul indicat.

x₁[n]=0,9d[n-5], 1£n£

x₂[n]=0,8d[n], -15£n£

x₃[n]=1,5d[n-333], 300£n£

x₄[n]=4,9d[n+7], -10£n£

Exercitiul 2. Sa se genereze si sa se reprezinte in domeniul indicat urmatoarele semnale sinusoidale:

x₁[n]=sin(p/17)n, 0£n£

x₂[n]=sin(p/17)n, -15£n£

x₃[n]=sin(3pn +p £n£

x₄[n]=cos(p/√17)n, 0£n£

Sa se dea o formula mai simpla pentru x₃[n] si sa se explice de ce x₄[n] nu este o secventa periodica.

Exercitiul 3. Sa se scrie un program Matlab care sa genereze o sinusoida de lungime finita, cu o functie cu 5 argumente de intrare: 3 pentru parametrii sinusoidei si 2 pentru a specifica primul si ultimul indice al secventei finite. Functia va returna un vector coloana care va contine valorile sinusoidei.

Exercitiul 4. Sa se modifice functia de la exercitiul 3, astfel incat sa se returneze 2 argumente: un vector al indicilor semnalului si valorile semnalului.