Spectrul energetic al oscilatorului cuantic consta dintr-o succesiune infinita de nivele discrete echidistante. În plus, sa observam ca oscilatorul armonic cuantic are chiar si în starea fundamentala (n=0) o energie nenula, . Ca si în cazul gropii de potential infinita, aceasta energie de zero este corelata cu principiul de nedeterminare Heisenberg.

Sa revenim acum la functia de unda . Folosind (12), ecuatia (11) devine:

ale carei solutii sunt polinoamele Hermite de gradul n, . Primele câteva polinoame Hermite sunt

(15)

Polinoamele Hermite satisfac urmatoarele relatii de recurenta

(17a)

(17b)

Sa observam ca functiile proprii

(16)

sunt alternativ pare si impare. În plus, valorile proprii (13) sunt nedegenerate, deoarece pentru fiecare valoare a numarului cuantic n exista o singura functie proprie (16). Aceste observatii sunt în concordanta cu rezultatele amintite anterior pentru groapa de potential infinita

a)      daca , functiile proprii ale energiei au paritatea precizata si

b)      starile legate ale sistemelor unidimensionale sunt nedegenerate.

Impunând conditia de normare functiilor proprii (16) rezulta

(18)

Relatia (17a) poate fi atunci rescrisa sub forma

(19)

Putem atunci calcula

(20)

si folosind conditia de ortonormare a functiilor proprii ale energiei obtinem

(21)

În particular sa observam ca pentru orice functie de unda a oscilatorului armonic valoarea medie a lui se anuleaza

(22)

Cu aceeasi relatie (19) obtinem

(23)

si abaterea patratica medie

(24)

analog, cu (17b) se obtine (25). Calculam , unde si sunt energia chimica si respectiv energia potentiala medie. Cum

(26)

rezulta (27).

Abaterea patratica medie corespunzatoare va fi (28).

Din (24) si (28) se observa ca în orice stare a oscilatorului armonic (29) conform relatiei de nedeterminare Heisenberg.

Din (26) si (27) rezulta ca (30), adica energiile medii - potentiala si cinetica - sunt egale fiecare cu jumatate din energia totala.

Comparatie cu teoria clasica

din cursul litografiat, pagina 102 pâna la formula (3.98) unde se intercaleaza

Probabilitatea ca o particula clasica sa se afle în intervalul este proportionala cu intervalul de timp petrecut de particula în regiunea .

cu C determinat din conditia de normare de unde si atunci .

se continua cu În mecanica cunatica, psi n ia valori diferite de zero... din cursul litografiat pâna la 5.5 (oscilatorul tridimensional)

Problema

Gasiti nivelele de energie si functiile de unda ale unui oscilator armonic unidimensional care se gaseste într-un câmp electric paralel cu directia de oscilatie. Sarcina electrica a oscilatorului este q.

Solutie

Ecuatia Schrodinger atemporala este

Introducem variabila si ecuatia devine . Aceasta este ecuatia unui oscilator armonic unidimensional cu functii proprii si valori proprii , de unde

Treapta de potential

Conform interpretarii statistice a functiei de unda, reprezinta probabilitatea de a gasi particula descrisa de functia de unda , la momentul t, în elementul de volum în jurul punctului .

Din conditia de normare, valabila la orice moment t , de unde