Statica sistemelor de solide rigide
1. Consideratii generale
Sunt valabile aceleasi consideratii de la statica sistemelor de puncte materiale (modelare, forte interioare reciproc nule, torsorul rezultant al fortelor interioare echivalent cu zero), cu modificarile corespunzatoare aparitiei conditiilor de rotatie. Mai precis, conditiile de echilibru devin:
|
Avem deci 6n ecuatii ce permit determinarea celor 6n parametri de pozitie ai sistemului global.
Cele doua teoreme nu isi modifica continutul. Numai in ceea ce priveste demonstratiile privind partea de anulare a momentul 313f59d ui rezultant total, de aceasta data se procedeaza la sumarea ecuatiilor de moment de mai sus dupa indicele i, tinandu-se cont ca momentul rezultant al fortelor interioare este zero.
Discutii:
Metodele cel mai frecvent utilizate in studiul echilibrului sistemelor materiale (sisteme de puncte materiale sau de rigide) sunt:
metoda echilibrului fircarui corp;
metoda echilibrului intregului sistem;
metoda echilibrului partilor sau a subsistemelor izolate.
Procedeul de lucru la oricare dintre acestea cuprinde urmatoarele etape:
se alcatuieste modelul geometric al partii a carui echilibru se studiaza, eliminandu-se legaturile acesteia cu celelalte subsisteme si cu sistemele exterioare sistemului dat (se modeleaza matematic aceste legaturi conform consideratiilor de pana acum): se figureaza toate fortele exterioare directe ce actioneaza numai asupra partii izolate, reactiunile legaturilor suprimate si reactiunile subsistemelor cu care partea interactioneaza;
se pun in evidenta toti parametri geometrici (unghiuri sau distante) ce determina pozitia de echilibru pentru portiunea izolata in raport cu un sistem de referinta convenabil ales:
se scriu ecuatiile de echilibru pentru portiunea izolata, admitand ipoteza solidificarii ei si teorema echilibrului partilor.
Conditia ca sistemul de ecuatii obtinut sa fie static determinat este
|
unde
n este numarul de corpuri (sau puncte materiale) in echilibru
l numarul de legaturi la care este supus acesta
e numarul ecuatiilor de echilibru ce se pot scrie (0 e 6n in spatiu si 0 e 3n in plan)
q numarul gradelor de libertate (0 q 6n in spatiu si 0 q 3n in plan)
ni si ne numarul necunoscutelor introduse de reactiunile interioare, respectiv exterioare (0 ni + ne 6l in spatiu si 0 ni + ne 3l in plan).
Dupa rezolvarea si verificarea sistemului de ecuatii obtinut se interpreteaza rezultatele. Daca problema admite matematic mai multe solutii se alege (pe considerente practice) solutia ce corespunde sensului fizic al problemei.
2. Grinzi cu zabrele
Sistemul particular ce il modelam in continuare are o mare utilitate in practica.
Def.: Sistemele de bare articulate se numesc grinzi cu zabrele.
In modelarea matematica a acestor sisteme se considera urmatoarele ipoteze simplificatoare:
barele sunt articulate, articulatiile fiind denumite noduri (pot fi si suduri)
fortele exterioare sunt aplicate in noduri (daca sunt aplicate in afara acestora le putem descompune in raport cu nodurile vecine in forte paralele)
Conform acestui model si a consideratiilor anterioare, fortele actionand doar in noduri rezulta ca o bara oarecare este actionata numai la capete de fortele . Echilibrul acesteia impune conditiile
|
Ultima conditie arata ca pentru realizarea echilibrului acestei bari, forta trebuie sa fie situata in lungul barei; asadar barele sunt supuse numai la eforturi axiale (intinderi sau compresiuni).
Problema ce se pune in constructia acestor sisteme este asigurarea rigiditatii. Pentru ca rigiditatea grintii cu zabrele sa fie asigurata trebuie sa existe o relatie bine determinata intre numarul barelor si numarul nodurilor. Aceasta relatie se deduce pentru grinzile plane plecand de la observatia ca orice grinda cu zabrele plana are la baza un triunghi format din trei bare si trei noduri. Completand triunghiul de baza cu alte doua bare si un nod se obtine o grinda compusa din doua triunghiuri etc.
In final, notand cu b numarul de bare si cu n numarul de noduri, relatia dintre acestea pentru rigidizarea sistemului devine
|
Daca b < 2n – 3 numarul barelor este insuficient pentru formarea unor grinzi rigide, iar daca b > 2n-3 se obtin grinzi cu bare de prisos.
In ceea ce priveste calculul grinzilor cu zabrele, in general se parcurg urmatoarele etape:
se realizeaza modelul geometric al grinzii (graful si fortele de incarcare aplicate in noduri);
se determina reactiunile in legaturile exterioare (reazeme);
se determina fortele interioare ce apar in bare (eforturile);
Daca toate fortele necunoscute ce trebuiesc determinate se pot determina din ecuatiile de echilibru ale staticii, atunci grinda se numeste static determinata. In caz contrar este static nedeterminata si calculul acesteia se efectueaza prin metode speciale, ce tin seama de deformatiile reale ale barelor. Grinda va fi static determinata daca numarul ecuatiilor de echilibru este egal cu numarul necunoscutelor. Dar asa cum am vazut mai sus, in cazul plan, fiecare bara introduce o necunoscuta; in plus, in acest caz, reazemurile de regula sunt o articulatie plana si un reazem simplu, ce introduc 3 necunoscute. In consecinta, avand 2n ecuatii (n numarul de noduri), conditia de determinare statica devine:
|
Se observa ca avem aceeasi conditie ca cea pentru rigiditate. Prin urmare, grinda cu zabrele fara bare de prisos este static determinata.
|