Teorema conservarii energiei mecanice

TEOREMA CONSERVARII ENERGIEI MECANICE:

Energia mecanica a unui punct material supus actiunii unui camp de forte conservativ se conserva.

Dem.:

Avem imediat:

Discutii:

a)    Aceasta teorema ne spune ca, intr-un camp de forte conservativ are loc in tot timpul miscarii punctului material transformarea energiei cinetice a acestuia in energie potentiala si invers, per ansamblu suma acestora ramanand aceeasi.

b)   Pentru un camp de forte neconservativ, numit disipativ, lucrul mecanic depinde, in general, de traiectoria de deplasare a punctului material, precum si de modul de miscare al acestuia. In astfel de campuri nu se poate defini energia potentiala (ca functie a carei diferentiala sa ne dea lucrul mecanic elementar). Energia mecanica se poate considera ca se reduce la energia cinetica si, in acest caz nu se mai conserva. Ea se transforma in alte forme de energie, nemecanice (caldura etc.)

c)    In cazul in care avem suprapus peste campul conservativ considerat un alt camp disipativ , lucrul mecanic efectuat la deplasarea unui punct material va fi dat de

Pe de alta parte, aplicand teorema energiei cinetice, rezulta:

Asadar,

lucrul mecanic al fortelor neconservative este egal cu variatia energiei mecanice a p.m.

2. Observabilele mecanice derivate ale sistemului de puncte materiale. Principiile si teoremele mecanicii clasice ale sistemului de puncte materiale

2.1. Transpunerea consideratiilor similare de la punctul material la sistemul de puncte materiale pe baza aditivitatii clasice

Discutie:

In general, teoria sistemului de puncte materiale,   a solidului rigid si a mediilor continue deformabile reliefeaza modul nostru de gandire aditiv, specific mecanicii newtoniene si lumii pe care noi o putem percepe direct, prin intermediul simturilor noastre: principiul aditivitatii clasice. Acest punct de vedere este cel care a dominat gandirea (cunoscuta a) omenirii pana la descoperirea fenomenelor cuantice si relativiste neaditive (neliniare), precum si a altor fenomene de ultima ora.

Definitoriu acestui mod de gandire este relatia de constructie liniara

si reciproca ei (descompunerea liniara)

Experienta ne-a aratat ca acest model matematic al cuplarii a doua corpuri pentru a forma un sistem ce se poate descompune ulterior in aceleasi corpuri, fara nici o deosebire, este specific doar realitatii percepute de noi direct, si ca aproximatie: se neglijeaza efectele electrice, magnetice etc. ce se produc cu siguranta la contactul celor doua corpuri, dar pe care simturile noastre nu le releva. In realitate, cuplarea oricaror doua sau mai multe corpuri conduce la formarea unui sistem cu proprietati noi, distincte de cele ale componentelor, separarea ulterioara a acestora nemaiconducand la starea initiala – nici chiar cand este vorba de doua particule.

Consecinta acestei gandiri liniare este, in primul rand, modul de definitie a tuturor observabilelor sistemului de puncte materiale si mediului continuu prin insumarea simpla, respectiv integrarea   marimilor corespunzatoare ale particulelor componente. Astfel, daca „a” este o marime specifica particulei componente, marimea corespunzatoare „A” a sistemului va fi:

De exemplu, impulsul sistemului de puncte materiale se defineste astfel:

In cele ce urmeaza vom subantelege aceste definitii, nescriindu-le pe fiecare in parte.

Conform acestui mod liniar de a vedea sistemele mecanice in general, principiile si teoremele corespunzatoare din cadrul mecanicii punctului material „se transpun” practic in cazul sistemului de puncte materiale, solidului rigid si mediilor continue; asupra veridicitatii acestei afirmatii in cazul sistemului de puncte materiale ne vom convinge in consideratiile anterioare.

Evident, cele trei sisteme mecanice fiind „superioare” punctului material din punctul de vedere al complexitatii - al organizarii - vor prezenta si proprietati specifice; in cazul sistemului de puncte materiale, cum vom vedea, centrul de masa, cel de greutate si proprietatile acestora sunt cateva exemple de astfel de proprietati.

In continuare ne vom referi numai la sistemele de puncte materiale discrete. Vom relua modelarea matematica a sistemului de puncte materiale „in lumina” noilor consideratii introduse de principiile mecanicii punctului material.

Fig. 28

- vom nota cu N numarul total de puncte materiale continute de sistemul considerat, cu P₁, , P_N aceste puncte materiale. Daca P_n si P_m sunt doua puncte „curente” ale acestuia, fortele ce actioneaza asupra acestora le notam respectiv cu

- F_n, F_m – fortele externe

- F_nm – forta cu care P_m actioneaza asupra lui P_n

- F_mn – forta cu care P_n actioneaza asupra lui P_m

Conform principiului III vom avea

- vectorii de pozitie ai celor N puncte materiale in raport cu sistemul de coordonate cartezian S considerat pana acum.

- F_n^(e) rezultanta fortelor exterioare ce actioneza asupra lui P_n;

- m₁, m₂, , m_N masele punctelor materiale ce alcatuiesc sistemul considerat.

In general, pentru fortele ce actioneaza asupra lui P_n avem dependentele (expresiile analitice):

A cunoaste miscarea mecanica a sistemului presupune, conform definitiei acestuia, sa cunoastem miscarea fiecarui punct material component al sau, ceea ce, conform modelului matematic dezvoltat pana acum, revine la rezolvarea ecuatiilor fundamentale corespunzatoare. Ecuatia fundamentala pentru particula n se va scrie, pe componente:

Avem de-a face deci, pentru intregul sistem de puncte materiale, cu un sistem fundamental de 3N ecuatii diferentiale de ordin II, termenii nediferentiali avand dependentele analitice de mai sus. Rezolvarea acestuia – atunci cand este posibil - ne conduce la integrala generala a acestui sistem diferential:

cu cele 6N constante reale determinate in mod unic de conditiile initiale:

2.2. Teoremele generale ale sistemelor de puncte materiale

Teoerema 1 Rezultanta fortelor interne si momentul rezultant al fortelor interne in raport cu orice pol sunt nule.

Dem.:

Pentru rezultanta fortelor interne avem succesiv:

Analog, pentru momentul rezultant al fortelor interne, pe baza distributivitatii produsului vectorial fata de adunare, obtinem mai intai:

In suma dubla, termenii apar cuplati in perechi de forma:

ultima egalitate justificandu-se prin coliniaritatea celor doi vectori. Rezulta astfel nulitatea momentului rezultant al fortelor interne, fata de orice pol, intrucat nu am facut referire la vreunul anume (relatiile anterioare sunt scrise in raport cu originea O a sistemului S considerat, dar alegand un alt reper, S’, obtinem si in acesta acelasi lucru).

Teorema 2 Daca sistemul este nedeformabil (solid rigid), atunci lucrul mecanic al fortelor interne este nul.

Dem.:

Conform definitiei lucrului mecanic elementar, avem:

Daca sistemul este rigid, vom avea:

Pentru sistemele deformabile, in general, nu vom avea aceasta anulare; in acest caz rezulta ca fortele interne sunt cele responsabile de deformarea acestora.

Teorema 3 (a impulsului total) Derivata in raport cu timpul a impulsului total al sistemului este egala cu rezultanta fortelor exterioare aplicate acestuia:

Dem.:

Consideram relatia data de teorema corespunzatoare pentru P_n si sumam; obtinem succesiv (tinem cont de teorema 1):

Corolar 1: daca rezultanta fortelor exterioare aplicate sistemului exte nula, impulsul acestuia se conserva.

Corolar 2 (forma integrala):

Teorema 4 (a momentului cinetic) Derivata in raport cu timpul a momentului cinetic total al s.p.m. este egala cu momentul rezultant al fortelor exterioare aplicate sistemului:

Dem.:

Analog, prin insumarea relatiei data de teorema corespunzatoare pentru P_n si tinand cont de partea a doua a teoremei 1, se obtine relatia corespunzatoare sistemului de puncte materiale.

Corolar 1: daca momentul rezultant al fortelor exterioare aplicate sistemului de puncte materiale este nul, impulsul acestuia se conserva.

Corolar 2 (forma integrala):

Teorema 5 (a energiei cinetice) Diferentiala energiei cinetice totale a sistemului de puncte materiale este egala cu suma lucrurilor mecanice ale fortelor interioare si ale celor exterioare:

Dem.:

Insumarea relatiei data de teorema corespunzatoare pentru P_n ne conduce imediat la relatia de mai sus (in acest caz, conform teoremei 2, lucrul mecanic al fortelor interne nu mai este, an general, nul, astfel ca acesta nu va disparea ca termenii corespunzatori din teoremele pentru impuls si moment cinetic)

Corolar 1: daca rezultanta fortelor exterioare aplicate s.p.m. este nula, energia cinetica elementara a acestuia va fi egala cu lucrul mecanic elementar al fortelor interne (nu se mai conserva neaparat!)

Corolar 2 (forma integrala):

Teorema 6 (a energiei mecanice totale) Intr-un camp de forte conservativ energia sistemului de puncte materiale se conserva.

Dem.:

Analog.

2.3. Centrul de masa al sistemului de puncte materiale. Proprietati (teoremele Koenig)

Discutie:

Exista, asa cum vom vedea, o caracteristica deosebita a sistemului de puncte materiale, numita centru de masa. Aceasta si proprietatile ei sunt consideratii specifice, urmare a complexitatii acestui sistem mecanic,  fara corespondent in consideratiile cu privire la punctul material.

Def.: centrul de masa al sistemului de puncte materiale (c.m.) = este punctul din reperul S notat cu G si definit prin vectorul de pozitie

Teorema 7 (a c.m.) Centrul de masa al unui sistem de puncte materiale se deplaseaza ca si cum in el ar fi concentrata toata masa sistemului si asupra sa ar actiona rezultanta fortelor exterioare aplicate acestuia.

Dem.:

Derivand relatia de definitie a centrului de masa de doua ori in raport cu timpul, obtinem:

Conform ecuatiei fundamentale sub forma vectoriala scrisa pentru P_n, membrul drept devine:

Corolar 1: impulsul total al sistemului de puncte materiale este egal cu masa totala a sistemului, M, inmultita cu viteza centrului de masa.

Corolar 2: rezultanta fortelor externe este egala cu masa sistemului inmultita cu acceleratia centrului de masa.

Corolar 3: fortele interne nu pot schimba miscarea centrului de masa (viteza, impulsul sau acceleratia acestuia).

Nota:

Aceste corolare suporta si demonstratie directa, imediata; de exemplu demonstratia corolarului 1 este urmatoarea:

Sa consideram in continuare sistemul de referinta neinertial S’ = [G, x’, z’, z’], avand axele de directie fixa in raport cu S, adica aflat doar in miscare de translatie fata de acesta, numit sistemul centrului de masa (s.c.m.) sau sistemul propriu. Miscarea sistemului de puncte materiale in sistemul propriu se numeste miscare de spin (de la “speen” = fus) sau miscare proprie, iar miscarea centrului de masa in S miscare orbitala. In acest reper important se „petrec” multe aspecte de mare interes; cele mai importante sunt cele cuprinse in urmatoarele teoreme:

Teorema 8 (Koenig I) momentul cinetic al sistemului de puncte materiale, in raport cu originea O a lui S, este egal cu momentul cinetic orbital (al centrului de masa fata de O), plus momentul cinetic de spin (al sistemului de puncte materiale in sistemul centrului de masa):

Dem.:

Conform definitiilor corespunzatoare ale momentelor cinetice din enuntul teoremei, obtinem succesiv:

Pentru particula P_n, conform unor consideratii anterioare, vom avea urmatoarea relatie intre coordonatele din cele doua sisteme:

iar prin derivare, obtinem:

Deoarece sistemul centrului de masa se deplaseaza doar prin translatie, rezulta ca versorii acestuia nu se modifica, astfel ca in derivata de mai sus variaza cu timpul numai conponentele vectorului de pozitie al lui P_n din sistemul centrului de masa si deci, spre deosebire de cazul general tratat la cinematica miscarii relative, vom avea:

Prin urmare, relatia intre vitezele din cele doua sisteme se reduce, in acest caz la:

Inlocuind vectorii de pozitie si vitezele, rezulta:

Sa consideram fiecare termen al sumei in parte:

in primul termen suma este masa totala a s.p.m., deci acest termen, conform corolarului 1 va fi egal cu , care este momentul centrului de masa fata de originea reperului S, adica conform definitiei, chiar .

in al doilea termen suma este nula, deci termenul acesta este nul; intr-adevar, in sistemul centrului de masa viteza centrului de masa va fi nula, , pentru ca acest reper este solidar cu acest punct; atunci, conform corolarului 1, vom avea, relativ la impulsul sistemului in acest reper:

Pe de alta parte, acest impuls este tocmai suma din termenul considerat.

si al treilea termen este nul, pentru ca acesta se scrie

si in sistemul centrului de masa vom avea, evident, , iar pe de alta parte , de unde rezulta ca suma respectiva este nula;

in sfarsit, al patrulea termen este chiar momentul cinetic de spin al sistemului de puncte materiale in sistemul centrului de masa, .

Prin urmare se obtine relatia din enuntul teoremei.

Teorema 9 (Koenig II) Energia cinetica a sistemului de puncte materiale este egala cu suma dintre energia cinetica orbitala (a centrului de masa in S) si energia cinetica de spin (a sistemului de puncte materiale in sistemul centrului de masa ):

Dem.:

Analog demonstratiei anterioare si folosind relatiile intre viteze stabilite in cadrul acesteia, avem:

Primul termen este chiar T_G, iar ultimul T’. Cel din mijloc este

astfel ca din suma vor ramane doar cei doi termeni particulari.