Teorema energiei cinetice

TEOREMA ENERGIEI CINETICE:

forma diferentiala (locala): lucrul mecanic elementar al rezultantei fortelor ce actioneza asupra punctului material este egal in orice moment cu diferentiala energiei cinetice a acestuia: 414i81e

forma integrala (globala): lucrul mecanic al rezultantei ce actioneaza asupra punctului material este egal cu variatia corespunzatoare a energiei cinetice a acestuia: 414i81e

Dem.:

Conform definitiei lucrului mecanic elementar si teoremei impulsului, avem succesiv:

Integrand finit forma locala se obtine forma globala.

Corolar: daca rezultanta fortelor ce actioneaza asupra p.m. este nula, atunci energia cinetica a acestuia se conserva:

Dem.:

Avem imediat:

Discutie:

Teorema energiei cinetice este legata si ea de o proprietate deosebita a spatiu-timpului newtonian, anume de omogenitatea timpului, modelata matematic prin simetria la translatii temporale a ecuatiei fundamentale.

D. Teorema conservarii energiei mecanice

O situatie reala este aceea in care asupra unui punct material actioneaza un camp de forte (gravitational, electric etc.). „Subsituatia” uzuala modelabila matematic este aceea in care functia ce modeleaza acest camp, dependenta de pozitie si timp, are expresia analitica data de gradientul unei functii scalare:

In acest caz campul de forta se numeste camp potential, iar functia scalara U potentialul campului.

Definitia functiei U nu o determina pe aceasta in mod univoc. Intr-adevar, daca luam

obtinem acelasi camp. Spunem atunci ca originea potentialului poate fi aleasa arbitrar, cat mai convenabil.

Daca functia U nu depinde explicit de timp, campul de forte respectiv se numeste conservativ (vom vedea din teorema urmatoare motivatia acestei denumiri), iar U se numeste energie potentiala. Lucrul mecanic efectuat de catre camp pentru a deplasa un punct material intre doua pozitii oarecare , pe o traiectorie data, va fi in acest caz:

Se observa ca acesta nu depinde de traiectoria dintre cele doua puncte pe care a fost transportat punctul material, ci numai de pozitiile initiala si finala ale acestuia.

Nota: in general, lucrul mecanic elementar nu este o diferentiala totala exacta (diferentiala unei functii), motiv pentru care, in definitia sa se foloseste simbolul de element diferential, d, si nu cel de diferentiala, d. In cazul unui camp conservativ se intampla acest lucru, lucrul mecanic fiind diferentiala totala exacta a potentialului campului; intr-adevar, conform definitiei diferentialei, avem:

In acest caz, concluzia anterioara rezulta direct din analiza functionala care ne spune ca circulatia lui intre punctele P₁ si P₂ nu depinde de drum, ci doar de pozitiile acestora.

Suprafetele de ecuatie U = const. se numesc suprafete echipotentiale. Curbele de-a lungul carora este tangent in orice punct al acestora se numesc linii de forta. Ele vor fi deci normale pe suprafetele echipotentiale.

Def. in campul conservativ descris anterior, marimea

se numeste energia mecanica a punctului material aflat in punctul .