Teoreme de conservare în mecanica analitica

II.5.1.Integrale prime ale miscarii

Am mentionat ca integrarea ecuatiilor Hamilton (sau Lagrange) pentru un sistem cu grade de libertate duce la aparitia a constante arbitrare, astfel ca solutiile ecuatiilor Hamilton se vor prezenta sub forma:

Pentru sistemele izolate sau situate în câmpuri de forte constante în timp, toate momentele sunt echivalente, deci se poate lua drept una din constante momentul initial , care poate fi ales arbitrar. Rezulta: 252c25c

Eliminând timpul din aceste relatii, se pot exprima cele constante arbitrare ramase ca functii de variabilele canonice, independente de timp:

Aceste functii de variabilele canonice care îsi pastreaza valoarea constanta în timpul miscarii se numesc integrale prime ale miscarii si satisfac conditiile:

Din relatia (II.51) se deduce:

deci paranteza Poisson a functiei Hamilton cu o integrala prima a miscarii este nula. Reciproca este si ea valabila: orice functie de variabilele canonice care nu depinde explicit de timp si a carei paranteza Poisson cu functia Hamilton este nula, este o integrala prima a miscarii.

În legatura cu integralele prime ale miscarii se poate enunta si demonstra [1], [2], [7] teorema lui Poisson:

Daca doua functii si sunt integrale prime ale miscarii, atunci si paranteza lor Poisson este tot integrala prima a miscarii.

Cunoscând integralele prime ale miscarii - adica marimile fizice care ramân constante în cursul evolutiei sistemului - putem caracteriza comportarea sistemelor în urma interactiilor.

II.5.2.Legea conservarii energiei mecanice totale

Aceasta lege decurge din uniformitatea curgerii timpului. Din aceasta proprietate rezulta ca ecuatiile de miscare pentru un sistem închis sau în câmpuri de forte constante în timp sunt invariante la o translatie în timp, deci functia Lagrange si functia Hamilton nu depind explicit de timp, adica

Cum din (II.51) rezulta ca:

iar (proprietatea 3 a parantezelor Poisson), rezulta:

Aceasta lege poate fi demonstrata si cautând , tinând cont ca nu contine explicit timpul:

Din ecuatiile Lagrange:

iar (II.62) devine:

sau

de unde

Fiindca energia potentiala nu depinde de vitezele generalizate

si folosind relatia (II.47) obtinem:

Atunci relatia (II.64) devine:

sau

II.5.3.Legea conservarii impulsului mecanic total

Aceasta lege decurge din proprietatea de omogeneitate a spatiului. Din aceasta proprietate rezulta ca starea mecanica a unui sistem închis nu se schimba în urma unei translatii infinitesimale cu a tuturor punctelor sistemului. O astfel de translatie va lasa nemodificata hamiltoniana sistemului, deci variatia functiei la translatia cu este nula:

, de unde

Consideram proprietatea 6) b) a parantezelor Poisson în care

Sumând în ambii membri ai egalitatii (II.69) pentru toate particulele sistemului:

Dar - impulsul total al sistemului si din (II.70) rezulta:

Cum pentru sisteme izolate nu depinde explicit de timp, rezulta ca:

II.5.4.Legea conservarii momentului cinetic total

Conservarea momentului cinetic al unui sistem rezulta din proprietatea de izotropie a spatiului: proprietatile mecanice ale unui sistem închis nu se schimba în cursul unei rotatii de ansamblu, în spatiu, a sistemului.

Sa consideram un punct material care efectueaza o miscare de rotatie în jurul axei Oz (fig.II.3)

Fie unghiul de rotatie corespunzator deplasarii elementare .

Se defineste vectorul de rotatie infinitesimala ca vectorul perpendicular pe planul traiectoriei, având sensul dat de regula burghiului si modulul .

Din figura II.3 se observa ca si date fiind orientarile vectorilor si se poate scrie:

Rotatia modifica si vectorul viteza al particulei cu cantitatea care satisface relatia

deci si impulsul va varia cu

Consideram un sistem de puncte materiale care efectueaza o rotatie cu acelasi unghi . Din invarianta la o asemenea rotatie a proprietatilor mecanice ale sistemului rezulta invarianta functiei Hamilton (si a functiei Lagrange), deci:

Folosind proprietatea produsului mixt

obtinem:

Din proprietatile 6) a) si 6) b) ale parantezelor Poisson avem:

iar (II.78) devine:

Proprietatea 5) a parantezelor Poisson scrisa pentru trei functii vectoriale face ca expresia (II.79) sa devina:

sau

În expresie apare momentul cinetic al punctului material si momentul cinetic total al sistemului , deci (II.81) se poate scrie:

si cum pentru un sistem închis momentul cinetic nu depinde explicit de timp , rezulta:

deci momentul cinetic total se conserva.