Universul cuadridimensional (Minkowski)

I.6.1.Intervale între evenimente. Clasificarea lor.

Un cuplu de evenimente, considerate în acelasi referential (R), se caracterizeaza prin locul si momentul lor de desfasurare.

Consideram doua evenimente E₁(x₁,y₁,z₁,t₁) si E₂(x₂,y₂,z₂,t₂) în (R), respectiv E₁(x₁',y₁',z₁',t₁') si E₂(x₂',y₂',z₂',t₂') în referentialul (R') care se deplaseaza fata de (R).

Se numeste interval de univers, expresia:

Se verifica usor ca pe baza transformarilor Lorentz rezulta , adica intervalul de univers este un invariant fata de grupul transformarilor Lorentz

Expresia:

se numeste distanta spatiala, iar expresia:

se numeste distanta temporala, astfel încât:

Consideram ca evenimentele E₁ si E₂ din (R) se produc în puncte si la momente diferite si vom arata ca, printr-o alegere potrivita (convenabila) a unui referential (R'), putem face ca în (R'):

a) E₁ si E₂ sa se produca în acelasi loc

b) E₁ si E₂ sa fie simultane

c) E₁ si E₂ sa coincida absolut

a) Pentru ca în (R') evenimentele E₁ si E₂ sa coincida spatial, trebuie ca l₁₂'=0, adica

deci trebuie ca intervalul de univers sa fie real. În concluzie, daca într-un referential, intervalul de univers între doua evenimente este real, exista un referential (R') în care cele doua evenimente coincid spatial. Intervalul de univers real se numeste interval temporal si

Se observa ca daca evenimentul E₁ precede evenimentul E₂ în (R), îl va preceda si în (R'), deci notiunile "anterior" si "posterior" au un caracter identic în (R) si în (R'). Se poate spune ca daca doua evenimente sunt separate printr-un interval temporal, ordinea succesiunii temporale este aceeasi în orice sistem de referinta inertial, adica evenimentele sunt legate cauzal (E₁ este cauza iar E₂ este efect).

b) Cautam un referential (R') în care evenimentele sa fie simultane (t₁₂'=0).

deci intervalul de univers este imaginar.

Un astfel de interval de univers este un interval spatial si

În concluzie, daca într-un referential intervalul de univers între doua evenimente este un interval spatial, exista un referential (R') în care cele doua evenimente sunt simultane. Este clar ca daca în (R) evenimentul E₁ precede evenimentul E₂ iar în (R') vor fi simultane, evenimentele nu sunt legate cauzal. Deci daca doua evenimente sunt separate prin intervale spatiale, notiunile "anterior" si "posterior" sunt relative.

c) Într-un referential (R') în care evenimentele coincid absolut, =0, =0, deci ; din invarianta intervalului de univers rezulta ca si , deci evenimentele se confunda si în (R).

I.6.2.Spatiul cuadridimensional Minkowski. Reprezentari geometrice

În 1908, matematicianul german Minkowski a conceput un spatiu cu patru dimensiuni (x₁=x, x₂=y, x₃=z, x₄=ict), caruia i se spune în mod obisnuit universul Minkowski. Un eveniment se reprezinta în acest hiperspatiu printr-un punct, numit punct de univers. Evolutia unui punct material este descrisa în spatiul Minkowski printr-o curba, numita linie de univers. Orice segment al unei linii de univers este invariant când trecem de la un sistem inertial la altul.

În continuare vom reprezenta acest spatiu în numai doua dimensiuni, pe o axa reunind cele trei coordonate spatiale X(x,y,z) iar pe cealalta produsul ct (fig.I.9).

Exemplificam (fig.I.9) forma unor linii de univers pentru câteva cazuri particulare:

a.  daca un punct material este în repaus fata de un referential, linia sa de univers este axa timpului.

b.  daca un punct material se deplaseaza cu viteza u_x=const. în spatiul fizic, linia de univers este o dreapta înclinata cu unghiul fata de axa timpului, iar

c.  daca u_x=c, atunci linia de univers va fi reprezentata prin prima bisectoare. Principiul al doilea al teoriei relativitatii restrânse interzice linii de univers înclinate cu

Fie un eveniment O(x=y=z=t=0) si hipersuprafata a carei axa coincide cu axa ct, de ecuatie:

(în spatiul tridimensional este o sfera cu raza ct -frontul de unda)

(se observa ca ).

În reprezentarea bidimensionala din fig. I.9, ecuatia (I.56) se scrie:

si este reprezentata în fig. I.10 prin cele doua bisectoare care ar fi echivalente generatoarelor unui hipercon.

Pe generatoarele conului pot fi marcate evenimente corespunzatoare unei viteze egala cu viteza luminii (u = c), deci pânza conului cuprinde linii de univers ale punctelor materiale care la t = 0 erau în origine si se deplaseaza cu u = c. Din acest motiv aceasta hipersuprafata se numeste con luminos.

Conul luminos împarte spatiul Minkowski în patru regiuni:

I) (MON)- cuprinde linii de univers corespunzatoare punctelor materiale care se misca cu v<c (X=vt). Intervalul de univers între evenimentul O si evenimentele din regiunea I va fi:

si este un interval temporal. Toate evenimentele reprezentate prin puncte de univers din regiunea I sunt posterioare evenimentului O (momentul lor t>0), de aceea aceasta regiune se numeste "viitor absolut".

II) (QOP)- cuprinde linii de univers corespunzatoare punctelor materiale cu v<c dar t<0. Intervalul de univers între evenimentul O si evenimentele din regiunea II este pozitiv (), cauzalitatea se pastreaza dar toate evenimentele reprezentate prin puncte din regiunea II sunt anterioare evenimentului O.

Regiunea II se numeste "trecut absolut". Atunci, daca evenimentul O reprezinta prezentul, el este determinat cauzal de evenimentele din regiunea II si determina cauzal evenimentele din regiunea I.

III) si IV) (MOQ si NOP) cuprind evenimente cu v>c, adica : intervalul de univers între evenimentele din III sau IV si evenimentul O este spatial. Evenimentul O nu poate determina cauzal nici un eveniment din III sau IV deoarece între O si un punct din regiunile din III sau IV interactia ar trebui sa aiba loc cu v>c. Se spune ca zonele III si IV cuprind evenimente "absolut îndepartate". Liniile de univers care reprezinta deci evolutii adevarate se gasesc în interiorul conului luminos.