FUNCTII DE TRANSFER

FUNCŢII DE TRANSFER

9.1. DEFINIŢII

Termenul de "transfer" exprima în general capacitatea sistemelor sau a elementelor de a transmite informatia. În regimul stationar aceasta poate fi exprimata ca fiind raportul (fig.9.1) dintre marimea de iesire y si marimea de intrare u, raport numit 414c25e coeficient de transfer: K_j=, unde j exprima faptul ca la un moment dat capacitatea detransfer poate fi exprimata fata de o anumita intrare. Daca relatia intrare-iesire este constanta coeficientul K este constant.

fig. 9.1

9.2.FUNCTIA DE TRANSFER (FT).

Prin analogie cu definitia coeficientului de transfer, în domeniul complex este definita o notiune analoaga numita functie de transfer ca fiind raportul dintre imaginea operationala a iesirii Y(S) si imaginea operationala a intrarii U(S) în conditii initiale nule ale marimilor de intrare si iesire si în cazul în care functia variabilei de intrare este continua în intervalul t

conditii initiale nule:

y(0)=0, y'(0),.,y^(n-1)(0)

u(0)=0, u'(0),.,u^(m-1)(0)

9.2.1. CALCULUL FUNCŢIEI DE TRANSFER

Daca se considera forma diferentiala al unui MMII al unui sistem în domeniul timpului:

a_nY⁽ⁿ⁾+a _n-1Y^(n-1)+.....a₁Y'+a₀Y= b_mU^(m)+b _m-1U^(m-1)+.....b₁U'+b₀U

si transformata ei operationala:

a_nS⁽ⁿ⁾ Y(S) +a _n-1S^(n-1) Y(S) +.....a₁SY(S) +a₀Y(S)= b_mS^(m) U(S) +b _m-1S^(m-1) U(S) +.....b₁SU(S) +b₀U(S)

de unde expresia functiei de transfer:

Exemplul 1: Sa se determine FT corespunzatoare ecuatiei integrodiferentiala:

Y'+2Y=2U'+4+5U

Imaginea operationala a ecuatiei este:

SY(S)+2Y(S)=3SU(S)+4U(S)+5U(S) de unde:

Exemplul 2: Sa se scrie direct ecuatia diferentiala a sistemului cu FT egal cu:

de unde: 3Y''+2Y'+Y=2U'+3U

9.2.2. RELAŢIA DINTRE FUNCŢIA DE TRANSFER sI FUNCŢIA PONDERE GENERALIZATĂ.

Considerând MMII cu a_nY⁽ⁿ⁾+a _n-1Y^(n-1)+.....a₁Y'+a₀Y= b_mU^(m)+b _m-1U^(m-1)+.....b₁U'+b₀U si ca functie a variabilei de intrare functia Dirac - u(t)=d(t), atunci imaginea operationala a functiei MMII în conditii initiale nule va fi:

a_nS⁽ⁿ⁾ Y(S) +a _n-1S^(n-1) Y(S) +.....a₁SY(S) +a₀Y(S)= b_mS^(m) L[d(t)] +b _m-1S^(m-1) L[d(t)] +.....b₁SL[d(t)] +b₀ L[d(t)]

având în vedere ca: L[d(t)]=1 atunci avem:

observatie: relatia de mai sus arata ca functia de transfer a unui sistem este de fapt imaginea operationala a semnalului de iesire când la intrare se aplica un semnal Dirac, respectiv raspunsul liber al unui sistem  din conditii initiale determinate de u(t)=d(t).

DETERMINAREA FUNCŢILOR DE TRANSFER PENTRU CONEXIUNI TIPICE DE ELEMENTE

9.3.1. CONEXIUNEA SERIE

Pentru ultimul element al unei conexiuni serie formata din n elemente se poate scrie:

Y_n(S)=H_n(S)U_n(S) dar tinând cont de faptul ca Un(S)=Y _n-1(S) vom avea:

Y_n(S)=H_n(S) Y _n-1(S) dar pentru elementul n-1 se mai poate scrie: Y_n-1(S)=H_n-1(S) Y _n-2(S)...

Y_n(S)=H_n(S) H_n-1(S)...H₂(S)H₁(S) U ₁(S) cu U ₁(S)=U(S) deci:

Y_n(S)=H_n(S) H_n-1(S)...H₂(S)H₁(S) U(S) sau:

9.3.2. CONEXIUNEA PARALEL

In acest tip de conexiune iesirea este egala cu suma marimilor de iesie a fiecarui componenta în parte, adica: Y(t)=Y₁(t)+Y₂(t)+...+Y_n(t) sau Y(S)=Y₁(S)+Y₂(S)+...+Y_n(S). De aici vom avea: Y(S)=H₁(S)U₁(S)+H₂(S)Y₂(S)+...+H_n(S)U_n(S).

9.3.3. CONEXIUNEA CU REACŢIE

Structural o schema cu reactie este data în fig. 9.2 .

Din schema vom avea:Y(S)=H_A(S)E(S), E(S)=U(S)±R(S), R(S)=H_B(S)Y(S) de unde rezulta:

fig. 9.2

9.3.4. CONEXIUNI COMPLEXE

Reducerea unei astefel de scheme se face urmarind o serie de etape prezentate în exemplul 3.

Exemplul 3: Sa se determine FT al sistemului din fig. 9.3 în care sunt date FT ale elementelor componente.

fig. 9.3

1. Se identifica conexiunile tipice - avem o conexiune paralel (H₂₃) si una serie H₄₅.

H₂₃=H₂+H₃

H₄₅=H₄H₅

Schema din fig. 9.3 devine schema echivalenta din fig. 9.4

fig. 9.4

H₂₃₄₅=

Conexiunea cu reactie din fig. 9.4 se echivaleaza cu H₂₃₄₅ (fig.9.5).

fig. 9.5

de unde: H=H₁H₂₃₄₅ sau: sau

9.3.5. SCHEMA BLOC CANONICĂ A SISTEMELOR CU REACŢIE MONOVARIABILE

Constituie schema bloc canonica a unui sistem cu reactie monovariabil, schema bloc având structura din fig.9.2. în urma unor transformari corespunzatoare.

Regulile principale de transformare si rearanjare a punctelor de însumare si ramificare în schemele bloc complexe sunt prezentate în fig. 9.6

fig. 9.6

Exemplul 4: Sa se determine schema bloc canonica a sistemului cu reactie din fig.9.7A. Rezultatul este prezentat în fig. 9.7B.

fig. 9.7A

9.3.6. DETERMINAREA FT CÂND ESTE DATĂ SCHEMA BLOC A SISTEMULUI

Exemplul 5. Sa se determine FT ale sistemului cu schema bloc din fig. 9.8A.

fig. 9.8

9.4. DETERMINAREA ECUAŢILOR DE STARE UTILIZÂND FUNCŢIA DE TRANSFER

9.4.1. METODA DESCOMPUNERII ÎN FACTORI A FT A ELEMENTELOR SISTEMULUI.

Metoda se aplica parcurgând urmatoarele etape:

Se descompune FT în factori corespunzatori radacinilor reale si complex conjugate

2. Se simuleaza sistemul cu o legatura de elemente înseriate având fiecare FT egala cu unul din factorii FT.

3.Elementele schemei bloc astfel obtinute se înlocuiesc cu conexiuni echivalente realizate cu elemente sumatoare, integratoare si de înmultire.

Se scriu ecuatile de stare diferentiale.

Se scrie ecuatia intrare-stare-iesire.

Exemplul 6. Sa se determine ecuatile de stare ale sistemului având FT:

, functia de transfer poate fi descompusa în:

ce poate fi simulat cu o conexiune a trei legaturi astfel: (fig.9.9) (vezi si fig. 9.11)

fig. 9.9

Se exprima dependentele marimilor de la intrarea integratoarelor - ec. dif. de stare

q'₁=q₁+ q₂+0q₃+0q₄+0U

q'₂=q₁ q₂+q₃+0q₄+0U

q'₃=0q₁+ 0q₂+2q₃+2q₄+1U

q'₄=0q₁+ 0q₂+0q₃-1q₄+1U

ecuatia intrare-stare-iesire

y=q₁

9.4.2. METODA DESCOMPUNERII IN SUMĂ DE FRACŢII SIMPLE.

1. Se descompune functia de transfer într-o suma de fractii simple tinând seama de poli:

2. Se înmulteste egalitatea de mai sus cu numitorul comun al partii drepte.

3. Se compara termenii de acelasi grad din egalitatea obtinuta.

Exemplul 7: Sa se descompuna în suma de fractii simple functia de transfer:

Conform 9.4.2 -1 se poate scrie:

dar înmultind ambii termeni ai egalitatii cu S(S+1)³ avem,

egalizând coeficientii corespunzatori ai termenilor de acelasi grad din stânga si dreapta identitatii se obtin ecuatile:

0=B+A din care rezulta: A=2

0=3A+2B+C B=-2

1=3A+B+C+D C=-2

2=A D=-1

Atunci vom avea:

Exemplul 8: Sa se determine ecuatile de stare normale corespunzatoare sistemului:

de unde:

A+B=3 rezulta: A=-3 deci:

3A+2B=3 B=6

Schema bloc a sistemului este prezentata în fig. 9.10A si transformata ei fig. 9.10B (vezi si fig. 9.11)

fig. 9.10

din schema din fig. 9.10B se pot scrie urmatoarele ecuatii de stare:

q'₁=-2q₁+U

q'₂=-3q₂+U

iar ecuatia intrare-stare-iesire

y=-3q₁+6q₂

9.4.3. CONEXIUNI ECHIVALENTE TIPICE

fig. 9.11

9.5. PROBLEME