Proiect Programare Calculator

Nume: BOT GEORGE

Facultatea de Constructii de Masini 

Sectia: Inginerie Economica

Grupa: 1411/1

Universitatea Tehnica Cluj-Napoca

IV. SISTEME DE ECUATII LINIARE

4.1 SISTEME DE DOUA ECUATII CU DOUA NECUNOSCUTE

Deci cuplul (s1, s2) este solutie a sistemului (2), daca

A rezolva sisteul (2) inseamna a-i determina toate solutiile.

Studiul solutiilor unui sistem de ecuatii liniare conduce la trei probleme:

-existenta solutiilor (conditiile in care un sistem admite solutii);

- gasirea unei metode de obtinere a solutiilor;

- determinarea tututror solutiilor.

Un sistem care nu are nicio solutie se numeste incompatibil. Daca sistemul poseda solutii se spune ca este compatibil (determinat cu o soltie si nedeterminat cu mai mult de o solutie).

Metoda de rezolvare a unui system liniar consta in a inlocui sistemul dat (S) printr-un nou system (S') care este echivalent cu primul, dar care oate fi rezolvat mai usor

4.1.1 Transformari asupra ecuatiilor unui sistem

Fie sistemul (S):

In care am notat prin (L1), (L2) rspectiv prima si a doua ecuatie a sistemului.

In idea de a aduce un sistem la altul echivalent, mai simplu de rezolvat, se efectueaza asupra ecuatiilor transformari.

In continuare prezentam principalele transformari care se fac asupra ecuatiilor unui sistem.

Se aduna ecuatiile, membru cu membru, si obtinem ecuatia notata (L1+L2)  (a1+a2)x+(b1+b2)y=c1+c2 (L1+L2)

Se observa ca orice solutie (S1, S2) a sistemului (S) verifica si ecuatia (L1+L2). Intr-adevar avem:

(a1+a2)s1+(b1+b2)s2=(a1s1+b1s2)+(a2s1+b2s2)=c1+c2

Inmultind ecuatia (L1) prin se obtine ecuatia notata  

a1x+b1y=c1.

Orice solutie (s1, s2) a sistemului (S) este solutie si pentru ecuatia (αL1). Avem αa1s1+αb1s2=α(a1s1+b1s2)=αc1.

Observatie. Se pot combina cele doua operatii pentru a obtine ecuatia (L1+αL2) (a1+αa2)x+(b1+αb2y)=c1+αc2

Pentru care orice solutie (s1, s2) a sistemului (S) este solutie si a ecuatiei (L1+αL2).

4.1.2 Sisteme echivaente

Plecand de la sistemul (S) se ajunge in urma uneia din transformarile prezentate mai sus la un nou sistem (S') care este mai simplu de rezolvat. Se cauta prin transformarile enumerate elminarea succesiva a necunoscutelor. Daca sistemul (S') este obtinut din sistemul (S) prin una din cele trei transformari, atunci este usor de vazut ca cele doua sisteme sunt echivalente (egalitatate de multimi de solutii in cazul compatibil sau multimea vida pentru sistme incompatibile). Faptul ca sistemul (S') se noteaza prin (S) (S') (citim: sistemul (S) este echivalent cu (S')).

Este clar ca (S) (S); daca (S) (S'), atunci (S') (S) si in fine din (S) (S'') rezulta (S) (S'').

4.1.3 Metode de rezolvare

Metoda combinatiilor liniare (metoda reducerii)

Fie sistemul (S):

Se formeaza doua noi ecuatii combinand liniar ecuatiile sistemului dat (S), factorii primei combinatii liniare fiind si , iar pentru cea de-a doua si . Acesti factori sunt indicati la dreapta ecuatiilor sistemului

cand se obtine un nou sistem

(S'):

Atunci sistemul (S) (S').

Se aleg factorii si astfel incat ecuatia sa nu contina necunoscuta y ( se spune ca y se "reduce"). Se obtine deci o ecuatie intr-o singura necunoscuta x (Aici luam , ).

Analog, se aleg factorii si astfel ca ecuatia sa nu contina necunoscuta x (se spune ca am "redus" pe x). Se obtine o ecuatie care contine numai necunoscuta y (Alegem , ).

Rezolvand ecuatiile () si () se obtine solutia sistemului (S).

Observatie. Trecerea de la sistemul (S) la (S') poate fi indicata sub forma

Semnificatia scrierii fiind aceea ca se inlocuieste prima ecuatie a sistemului dat () prin combinatia liniara

Exemplu. Sa se rezolve sistemul: (S):

R. Formam combinatii liniare ai caror factori sunt indicati dupa bare verticale (prin primii doi factori reducem pe y, iar prin urmatorii reducem pe x) (S): Se obtine sistemul echivalent (S'):

sau (S'):

De aici care reprezinta solutia sistemului (S).

Observatie. Daca utilizam cealalta scriere atunci avem:

Interpretarea geometrica. Se stie ca ecuatia ax+by=c reprezinta in plan o dreapta. Daca se asociaza fiecarei solutii (x,y) a ecuatiei punctul M(x,y), atunci imaginea solutiilor este o dreapta. La fel doua ecuatii de gradul intai cu doua necunoscute determina o pereche de drepte in plan si solutiile, daca exista, trebuie sa fie punctele de intersectie ale dreptelor. In cazul nostru cele doua drepte sunt concurente in punctul

Metoda substitutiei (facultativ)

Prin aceasta metoda, dintr-o ecuatie se exprima o necunoscuta (sa spunem x) in functie de cealalta (y). Cu aceasta exprimare se inlocuieste x in cealalta ecuatie a sistemului, gasindu-se o ecuatie numai in necunoscuta y. Se rezolva aceasta ecuatie, obtinandu-se y. Cu aceasta valoare pentru y se merge in formula care da pe x si se determina x. Se verifica usor ca sistemul obtinut astfel este echivalent cu cel initial. Se alege acea necunoscuta care are exprimarea cea mai simpla.

Exemplu.   (S):

R. Din prima ecuatie se exprima x in functie de y si avem sistemul echivalent (S'):

Inlocuind x=-2-3y in a doua ecuatie avem sistemul echivalent (S"):sau (S"):

Din a doua ecuatie a sistemului (S") iar din prima ecuatie

Observatie. Aici se poate exprima din a doua ecuatie y in functie de x si avem sistemul echivalent ():

Din prima ecuatie a acestui sistem iar din a doua

4.1.4 Sisteme liniare omogene

Sistemul (S):

in care termenii liberi sunt toti zero se numeste sistem liniar omogen. Intotdeauna acest sistem este compatibil avand cel putin solutia banala (cu toate componentele egale cu zero) x=y=0.

Daca Δ=det(A)≠0, atunci (formulele lui Cramer) sistemul (S) are numai solutia banala. In acest caz sistemul este compatibil determinat.

Daca Δ=det(A)=0, atunci sistemul are si alte solutii diferite de cea banala. Sistemul este compatibil nedeterminat.

Exemplu. Sa se rezolve si discute sistemul:
(S): unde m este parametru real.

R. Sistemul fiind omogen, este un sistem compatibil.

Fie matricea sistemului pentru care

=det(A)=

Daca Δ≠0, adica m-, atunci sistemul are doar solutia banala x=y=0.

Daca m sistemul este compatibil nedeterminat dupa cum urmeaza:

Pentru m=2 sistemul (S) devine

Solutia sistemului depinde de parametrul . In acest caz avem o infinitate de solutii. Sistemul se spune ca este compatibil simplu nedeterminat (solutia sistemului se exprima in functie de o singura variabila ).

Observatie. In , multimea solutiilor acestui sistem este o dreapta de exuatie x+4y=0.

Daca m=3, sistemul (S) este

Si in acest caz sistemul este compatibil si simplu nedeterminat.

Observatie. In acest caz in multimea solutiilor acestui sistem este o dreapta de ecuatie x+3y=0.

4.1.5. Sisteme de trei sau patru ecuatii cu doua necunoscute

1. Sa se rezolve sistemele:

a) b)

R. a) Pentru rezolvare aplicam metoda substitutiei si sistemul se scrie echivalent:

Asadar sistemul este compatibil cu solutia unica x=1, y=3.

Observatii. 1) Se poate rezolva sistemul format din doua ecuatii ale sistemului dat, sa spunem (primele doua ecuatii) cand gasim solutia x=1, y=3. Aceasta este solutie a sistemului dat daca ultima ecuatie a lui, 2x-y+1=0, este verificata de solutia

Se poate da interpretare geometrica rezolvarii acestui sistem.

Fiecare ecuatie este ecuatia unei drepte:

(): 3x+y-6=0, (): x-2y+5=0, (): 2x-y+1=0.

Faptul ca x=1, y=3 este solutie a sistemului inseamna ca punctul A(1,3) (vezi figura de mai jos) este situat pe fiecare dintre cele trei drepte, astfel spus cele trei drepte sunt concurente in punctul A.

b) Primele doua ecuatii ale sistemului coincid cu primele doua ecuatii din sistemul precedent. Procedand ca mai sus, din primele doua ecuatii rezulta solutia x=1, y=3.

Cuplul (1,3) este solutie a sistemului dat daca verifica si cea de-a treia ecuatie a lui, x-4y+2=0. Ori observam ca ≠0.

Asadar sistemul dat nu este compatibil.

Observatie. Interpretarea geometrica este urmatoarea:
Primele doua drepte (): 3x+y-6=0, (): x-2y+5=0 se intersecteaza in punctul A(1,3), in timp ce a treia dreapta (): x-4y+2=0 nu contine acest punct.

Se observa ca () intersecteaza pe () si () in cate un punct, evident diferit de A.

2. Fie sistemul

Sa se determine pentru care sistemul este compatibil determinat.

R. Daca se rezolva sistemul (format din primele doua ecuatii):
se obtine solutia x=1, y=1.

Cuplul (1,1) este solutie a sistemului dat daca este solutie si pentru ultimele doua ecuatii, adica daca avem: si

De aici .

Deci pentru sistemul este compatibil determinat.

Observatie. Cele patru ecuatii liniare reprezinta ecuatiile a patru drepte. Solutia (1,1) reprezinta coordonatele punctului de intersectie a primelor doua drepte. Celelalte doua drepte vor trece prin acest punct daca pentru x=1, y=1 ecuatiile corecpunzatoare acestor drepte se verifica. Pentru a treia ecuatie avem adica α=-2, iar pentru ce-a de-a patra ecuatie sau β=3.

Metoda eliminarii (Gauss)

Aceasta metoda poate fi folosita pentru gasirea unei singure solutii din totalitatea acestora, pentru un sistem de ecuatii liniare dat. Idea de baza a metodei lui este urmatoarea: folosind operatiile descrise mai sus, se aduce sistemul la unul echivalent in care intr-o ecuatie apare o singura necunoscuta. Cu valoarea ei determinata se trece in cealalta ecuatie gasind si cealalta necunoscuta.

Exemplu. Sa se rezolve sistemul:  (S):

R. Sistemul dat il scriem succesiv

Observatii. 1) Uneori acest sistem se reprezinta sub forma unei matrici:

, numita matricea extinsa a sistemului. Matricea formata cu elementele din stanga barei verticale se numeste matricea sistemului. Practic fiecarui sistem (dintre cele echivalente cu cel initial) i se asociaza o matrice extinsa. Lantul de echivalente intre sisteme il reprezentam ca echivalente intre aceste matrici cand avem:

. De aici x=1, y=1.

Dreptele de ecuatii (): 2x+y=3, (): 3x-2y=1se intersecteaza in punctual de coordonate (1,1).

Regula lui Cramer

Pentru sistemul (S):

Aplicand metoda combinatiilor liniare avem sistemul echivalent

(S'):

Notand A= matricea sistemului (formata din coeficientii necunoscutelor din prima ecuatie, iar a doua linie contine coeficientii necunoscutelor din a doua ecuatie), avem

Δ=det(A)= (numit determinantul sistemului) adica coeficientul comun pentru x,y din (S').

Pentru a determina pe x, y trebuie sa impunem conditia

≠0, cand sau

Uneori numaratorul care apare in x si respectiv y se oteaza prin (se obtine Δ inlocuind coloana coeficientilor lui x, prin coloana termenilor liberi ),

si respectiv

(se obtine din Δ inlocuind coloana coeficientilor lui y, prin coloana termenilor liberi ).

Acum solutia sistemului, in cazul Δ≠0, se scrie

Aceste formule care dau solutia sistemului se numesc formulele lui Cramer.

Observatie. Daca , atunci se poate ajunge fie la un sistem compatibil nedeterminat, fie la un sistem incompatibil.

Exemplu. Sa se rezolve sistemul

R.     Calculam determinantul sistemului:

≠0

Avem de asemenea

Formulele lui Cramer dau solutia sistemului

Observatie. Cele doua ecuatii din sistem definesc doua drepte concurente in punctul de coordonate

Metoda matricii inverse.

Sistemul (S): se poate scrie matricial punand (matricea sistemului (S))

(matricea necunoscutelor)

(matricea termenilor liberi)

Sub forma AX=C, (1).

Scrierea (1) reprezinta scrierea matriciala a sistemului (S).

Daca A (matricea sistemului) este inversabila ( det(A)=Δ≠0) atunci in (1) inmultind la stanga cu se obtine

De aici rezulta componentele x, y ale solutiei.

Exemplu. Sa se rezolve sistemul (S):

R. Matricea A a sistemului este

, iar este matricea termenilor liberi si sistemul se scrie matricial sub forma AX=C.

Cum det(A)=2≠0 rezulta matricea A inversabila. Gasim

si

Deci si x=1, .

1. Un teatru al unui oras are trei casierii situate in diferite zone ale orasului. Tabelele de mai jos indica numarul de bilete vandute in cele patru saptamani (1,2,3,4) din doua luni consecutive.

Scrieti rezultatele de mai jos sub forma de table matricial.