Programele sunt scrise pentru a instrui masinile sa lucreze cu taskuri specifice sau sa rezolve probleme specifice. O procedura (descrisa pas cu pas) asociata unui task se numeste algoritm. Programarea este activitatea de comunicare (codificare) a algoritmilor in calculatoare. Procesul de programare are (in general) patru pasi:

1. Specificarea task-ului;

2. Descoperirea unui algoritm pentru solutia sa;

3. Codificarea algoritmului in C;

4. Testarea codului.

Un calculator este o masina electronica digitala compusa din trei com 444h73e ponente:

1. procesor (central processing unit sau CPU);

2. memorie;

3. dispozitive de intrare/iesire.

Procesorul lucreaza cu instructiuni care sunt inregistrate in memorie. Pe langa aceste instructiuni, in memorie sunt pastrate si date. Dispozitivele de intrare/iesire iau informatii de la agenti externi catre masina si produc informatii pentru acesti agenti.

Dispozitivele de intrare sunt (de obicei):

1. tastatura;

2. discheta;

3. banda;

4. CD-ROM.

Dispozitivele de iesire sunt (de obicei):

1. ecranul terminalului;

2. imprimanta;

3. discheta;

4. banda;

5. CD-ROM.

Sistemul de operare consta intr-o colectie de programe speciale si are doua scopuri principale:

1. coordoneaza resursele (memoria, procesorul, imprimanta) masinii. De exemplu, daca un fisier este creat pe disc sistemul de operare are grija de detaliile localizarii acestuia si memoreaza numele, lungimea si data creearii;

2. produce instrumente necesare utilizatorilor, multe dintre ele sunt folositoare utilizatorilor C. De exemplu, doua dintre acestea sunt un editor de texte si un compilator de C.

Un cod C se numeste cod sursa, iar un fisier ce contine un cod sursa se numeste fisier sursa. Dupa ce a fost creat un fisier sursa, atunci se invoca un compilator de C. De exemplu, pentru sistemele MS-DOS se poate da comanda:

bc ex1.c sau tcc ex1.c

iar pentru unele sisteme UNIX:

cc ex1.c

Daca nu sunt erori in ex1.c, atunci aceasta comanda produce fisierul executabil asociat (ex1.exe). Acum acesta poate fi rulat (executat) cu numele sau (ex1 sau ex1.exe).

In continuare, vom preciza trei dintre trasaturile procesului de compilare (mentionam ca asupra acestor notiuni, vom reveni cu detalii interesante intr-un capitol viitor):

1. invocarea preprocesorului;

2. invocarea compilatorului;

3. invocarea incarcatorului.

Preprocesorul modifica o copie a codului sursa prin includerea altor fisiere si facand alte schimbari. Compilatorul traduce aceasta in cod obiect folosit de incarcator pentru producerea fisierului executabil final. Fisierul care contine codul obiect se numeste fisier obiect. Fisierele obiect, spre deosebire de fisierele sursa, nu se pot intelege asa usor. Cand spunem deci compilare, de fapt invocam preprocesorul, compilatorul si apoi incarcatorul.

Dupa ce scriem un program, acesta trebuie compilat si testat. Daca sunt necesare modificari, atunci codul sursa trebuie editat din nou. Asadar, partea proceselor de programare consta din ciclul:

editare ---> compilare ---> executie

^^ | |

| |__________ | |

|_____ _______ ______ ________|

Un prim program

O sa incepem cu un exemplu de program C necesar pentru tiparirea unui sir pe ecran.

#include <stdio.h>

main()

Folosind un editor de texte, presupunem ca am scris si salvat acest fisier numit "ex1.c". Cand programul este compilat si rulat atunci va apare pe ecran sirul:

azi am inceput laboratoarele de C

Explicatii:

1. #include <stdio.h>

Liniile care incep cu "#" se numesc directive de preprocesare (precompilare). Acestea comunica cu preprocesorul. Aceasta directiva "#include" determina preprocesorul sa includa o copie a fisierului header "stdio.h" in acest punct al codului. Parantezele unghiulare din "<stdio.h>" indica ca acest fisier se gaseste in biblioteca C (pentru compilatorul Borland 3.1 pentru MS-DOS, acesta se gaseste in subdirectorul BC31/INCLUDE). Am inclus acest fisier deoarece acesta contine informatii despre functia "printf()".

2. main()

Fiecare program are o functie numita "main", care se executa intai. Parantezele ce urmeaza dupa "main" indica compilatorului ca aceasta este o functie.

Observatii:

1. Primul "printf" contine la sfarsit un spatiu.

Variabile, expresii si asignari

In urmatorul exemplu vom ilustra folosirea variabilelor pentru manipularea valorilor intregi. Variabilele sunt folosite sa memoreze valori. Din moment ce diferite tipuri de variabile sunt folosite sa memoreze diferite tipuri de date, tipul fiecarei variabile trebuie specificat.

Pentru a ilustra aceasta idee vom calcula cate ore si minute contin un anumit numar de zile. Algoritmul ar fi:

1. asigneaza un numar de zile unei variabile;

2. calculeaza numarul de ore si memoreaza-l intr-o variabila;

3. calculeaza numarul de minute si memoreaza-l intr-o variabila;

4. afiseaza numarul de zile, ore si minute pe ecran.

Urmatorul program scris in C reprezinta implementarea algoritmului precedent:

#include <stdio.h>

main()

Cand compilam si rulam acest program, pe ecran va apare mesajul:

O saptamana are 168 ore, 10080 minute.

Explicatii:

1. Linia

int zile, ore, minute;

reprezinta o declaratie de variabile. Variabilele zile, ore, minute sunt declarate de tip "int", unul dintre cele mai importante tipuri din C. O variabila de tip "int" poate lua o valoare intreaga intre

-32678 si 32677. Toate variabilele dintr-un program trebuie declarate inainte de a fi utilizate. Declaratiile, la fel ca si instructiunile, au la sfarsit ";".

2. Linia

zile=7;

reprezinta o instructiune de atribuire (sau asignare). Semnul "=" este operatorul de asignare de baza in C. Valoarea expresiei din partea dreapta a simbolului "=" este atribuita variabilei din partea stanga.

3. Instructiunea

printf("O saptamana are %d ore, %d minute.\n",ore, minute);

este similara celei prezentate in exemplul precedent, dar are trei argumente. Primul argument, intotdeauna un sir de caractere, se numeste sir de control. Aici, intalnim specificarea de conversie (care se mai numeste format) "%d". Formatele "%d" determina tiparirea valorilor expresiilor corespunzatoare (al doilea si al treilea argument) in formatul intregilor zecimali. Asadar, primul format "%d" corespunde cu valoarea variabilei "ore", iar cel de-al doilea format "%d" cu valoarea variabilei "minute".

In C, toate variabilele trebuie declarate inainte de a fi utilizate in expresii si instructiuni. Forma generala a unui program simplu este:

directive de precompilare

main()

Un nume de variabila, numit si identificator, consta dintr-o secventa de litere, cifre si "underscore", dar fara a incepe cu cifra. Cuvintele cheie, numite si cuvinte rezervate, nu pot fi utilizate ca nume de variabile. Exemple de cuvinte cheie: char, int, float.

Operatorii binari

+ - * / %

sunt folositi pentru adunare, scadere, inmultire, impartire sau modul.

Exemple: 5 % 2 = 1 si 7 % 4 = 3.

Evident, in expresia a % b, b nu trebuie sa fie zero, din moment ce nu se poate face impartirea cu zero.

Un exemplu de utilizare a variabilelor de tip float

#include <stdio.h>

main()

Pe ecran se va afisa

Suma dintre x si y este 3.000000.

Observatii:

1. Linia

float x, y;

semnifica declararea variabilelor x si y de tip "float" (deci de tip real). In realitate sunt numere rationale din intervalul

[-10^,-10^] U [10^,10^]

2. Linia

printf("Suma dintre x si y este %f.\n", x+y);

are doua argumente si reprezinta o tiparire la ecran. De remarcat, ca spre deosebire de exemplele precedente (unde foloseam formatul %d), aici folosim formatul pentru numere reale, care este "%f".

3. Precizarea tipului variabilelor este esential. De exemplu, daca, sa zicem, ca x=7.0 si y=2.0, sunt declarati ca fiind de tip float, atunci x/y se evalueaza la 3.5. Daca, insa x=7 si y=2, sunt declarati ca fiind de tip int, atunci x/y se evalueaza la 3 (ramane doar partea intreaga).

Initializarea

Initializarea variabilelor se poate face si cand se declara acestea. De exemplu, putem scrie:

char c='A';

int i=1;

Putem astfel modifica programul precedent, inlocuind liniile

int zile, ore, minute;

zile=7;

int zile=7, ore, minute;

Observatii:

1. De obicei, pentru initializarea unei variabile se folosesc constante sau expresii constante. Se pot insa folosi si variabile care au deja valoarea precizata. De exemplu, urmatoarea secventa de program este corecta:

int zile=7, ore=zile * 24, minute=ore * 60;

Folosirea directivei #define

Reamintim ca in procesul de compilare a programelor C, intai este invocat preprocesorul. De exemplu, pot fi incluse fisiere, sau anumite siruri de caractere specificate pot fi modificate in alte siruri. Directivele de preprocesare incep cu caracterul # (in C traditional, acesta trebuie pus pe prima coloana, pe cand in ANSI C poate fi precedat de spatii). Se recomanda scrierea # pe prima coloana, iar a directivelor de precompilare la inceputul programului. Iata cateva exemple de folosire a directivei "#define":

#define LIMIT 100

#define PI 3.14159

Observatii:

1. Daca aceste directive de preprocesare apar la inceputul fisierului, atunci in momentul compilarii preprocesorul schimba toate aparitiile identificatorului LIMIT la 100 si a lui PI cu 3.14159. Singurele care raman neschimbate sunt sirurile constante. De exemplu, preprocesorul va schimba

printf("PI = %f\n", PI); in printf("PI = %f\n", 3.14159);

Deoarece identificatorul PI se va inlocui peste tot (cu exceptia sirurilor constante) in 3.14159, atunci acesta se va numi constanta simbolica.

2. Directiva #define poate aparea oriunde in program, dar ea afecteaza numai liniile care urmeaza acesteia.

3. Prin conventie, identificatorii care trebuie schimbati de preprocesor se scriu cu majuscule.

Avantaje ale folosirii directivei #define

1. Lizibilitate marita. Se refera la citirea si intelegerea rapida a fisierului sursa (PI stim ce inseamna si ne amintim ca este 3.ceva, deci nu trebuie sa scriem de fiecare data valoarea sa);

2. Schimbarile ulterioare ale unor valori constante se face foarte usor. De exemplu, vrem sa modificam valoarea lui LIMIT la 10000. In locul liniei

#define LIMIT 100

scriem

#define LIMIT 10000

Daca nu am fi folosit acest mod de definire a constantei LIMIT, atunci ar fi trebuit sa modificam peste tot in program 100 cu 10000.

Folosirea functiilor printf() si scanf()

Functiile de tiparire, respectiv de citire, "printf()" si "scanf()" au urmatoarele argumente:

sir_de_control si celelalte_argumente

unde sir_de_control este un sir care poate contine specificatii de conversie, sau formate. O specificare de conversie incepe cu caracterul % si se termina cu caracterul de conversie. De exemplu, in formatul %d, litera "d" este caracterul de conversie.

Folosirea lui printf()

Reamintim ca formatul %d este folosit pentru scrierea valorii unei expresii ca un intreg zecimal. In mod similar:

- %c este folosit pentru tiparirea unei expresii ca un caracter

- %f este folosit pentru tiparirea unei expresii reale

- %s este folosit pentru tiparirea unui sir de caractere

Exemplu:: Fie instructiunea:

printf("Multime de argumente: %s %d %f %c%c\n","one",2,2.33,'G','O');

Argumentele lui "printf()" sunt separate de virgula, deci avem sase argumente. Primul argument este sirul de control. Obtinem corespondenta:

%s <---> "one"

%d <---> 2

%f <---> 2.33

%c <---> 'G'

%c <---> 'O'

Cand se executa programul ce contine aceasta instructiune, obtinem:

Multime de argumente: one 2 2.330000 GO

Observatii:

1. Daca instructiunea "printf()" contine prea multe caractere, atunci se poate scrie aceasta pe mai multe linii, separate prin virgula. De exemplu, putem scrie:

printf("%s%s\n",

"Aceasta instructiune se va scrie ",

"pe o linie de text foarte lunga.\n");

Tabelul de mai jos descrie cum caracterele de conversie afecteaza argumentele corespunzatoare.

printf()

|-------- ----- ------ -------- ----- ------ ----- ----- ----|

| Caracter | |

| de | Cum este tiparit argumentul corespunzator ? |

| conversie | |

|-------- ----- ------ -------- ----- ------ ----- ----- ----|

| c | ca un caracter |

| d | ca un intreg zecimal |

| e | ca un numar in virgula flotanta in notatia stiintifica |

| f | ca un numar in virgula flotanta |

| g | in format e sau f (alegand cel mai scurt dintre ele) |

| s | ca un sir |

|-------- ----- ------ -------- ----- ------ ----- ----- -----|

Cand un argument este tiparit, locul unde este tiparit se numeste campul sau, iar numarul de caractere ale acestui camp se numeste lungimea campului. Aceasta lungime poate fi specificata intr-un format ca un intreg plasat intre caracterul % si caracterul de conversie. De exemplu, instructiunea

printf("%c%3c%7c\n", 'A', 'B', 'C');

va tipari

A B C

Pentru numerele in virgula flotanta, putem controla precizia (numarul de cifre zecimale), la fel ca lungimea campului. Forma generala a formatului este

%m.nf

si semnifica ca m este lungimea campului, iar n precizia. Formatul %mf specifica doar lungimea campului, iar formatul %.nf numai precizia. De exemplu, instructiunile:

printf("Numere1: %.1f %.2f %.3f\n", 1.0, 2.0, 3.0);

printf("Numere2: %7.1f %7.2f %7.3f\n", 4.0, 5.0, 6.0);

vor avea ca efect afisarea:

Numere1: 1.0 2.00 3.000

Numere2: 4.0 5.00 6.000

Folosirea lui scanf()

Functia "scanf()" este asemanatoare cu "printf()", dar este folosita pentru intrari in loc de iesiri. Primul sau argument este un sir de control care are formatele corespunzatoare cu variatele moduri de interpretare a sirurilor de intrare. Dupa sirul de control urmeaza adresele variabilelor. Adresa unei variabile este locul din memorie unde este memorata variabila (vom reveni in capitolele viitoare). Simbolul "&" reprezinta operatorul de adresa. De exemplu,

scanf("%d", &x);

formatul %d implica interpretarea caracterelor tiparite la intrare ca un intreg zecimal, si apoi memorarea valorii variabilei la adresa lui x.

Tabelul de mai jos descrie efectele caracterelor de conversie din formate folosite de functia scanf().

scanf()

|-------- ----- ------ -------- ----- ------ -------|

| Caracter | |

| de | La ce caractere se face convertirea ? |

| conversie | |

|-------- ----- ------ -------- ----- ------ -------|

| c | la un caracter |

| d | la un intreg zecimal |

| f | la un numar in virgula flotanta (float) |

| lf | la un numar in virgula flotanta (double) |

| Lf | la un numar in virgula flotanta (long double) |

| s | la un sir |

|-------- ----- ------ -------- ----- ------ -------|

Atentie ! Functia "prinf()" foloseste formatul %f pentru tiparirea numerelor

----------- float si double, pe cand "scanf()" foloseste formatul %f pentru

citirea unui float si %lf pentru citirea unui double.

Exemplu:: Aria unui cerc.

#include <stdio.h>

#define PI 3.141592653589793

main()

Presupunem ca la executia programului introducem raza egala cu 2.333. Atunci vor apare pe ecran:

Acest program calculeaza aria cercului

Dati raza: 2.333

Aria = PI * raza * raza

= 3.14 * 2.33 * 2.33

= 17.09934

Daca am calcula separat (pe hartie), am obtine Aria = 3.14 * 2.33 * 2.33 = 17.046746, numar care nu coincide cu cel furnizat de calculator. Justificarea este aceea ca PI si raza sunt tiparite doar cu doua zecimale, pe cand valorile lor sunt pastrate in memorie cu precizie mai mare.

Instructiunea "while"

Instructiunea while face parte din categoria actiunilor repetitive. Pentru a intelege aceasta instructiune, vom face un exemplu de adunare a numerelor de la 1 la 10.

Exemplu::

#include <stdio.h>

main()

printf("Suma primelor 10 numere este %d\n",suma);

}

Explicatii:

1. La linia

int i=1, suma=0;

se declara variabilele i si sum de tip int si sunt initializate cu 1 si 0, respectiv.

2. Constructia

while (i<=10)

reprezinta o instructiune while (sau iteratie while). Mai intai, se evalueaza expresia i<=10. Cum valoarea initiala a lui i este egala cu 1, rezulta ca se vor executa instructiunile dintre acolade. Astfel, variabila suma va fi asignata cu vechea valoare a lui suma la care se adauga valoarea lui i. Deci, suma se evalueaza la 1. Apoi, variabila I se evalueaza la suma dintre vechea valoare a lui i (i=1) si 1, deci este egala cu 2. In acest moment, executia revine la inceput adica evaluam expresia i<=10. Cum valoarea lui i este 2, rezulta ca se va executa iar corpul lui while. La sfarsitul acestei iteratii, suma este evaluata la 1+2, iar i la 3. Se observa usor ca i<=10 este tot adevarata, deci se va executa din nou corpul lui while. La sfarsitul celei de-a treia iteratii, sum este evaluata la 1+2+3, iar i la 4. Procesul continua pana cand valoarea lui i este 11, care implica falsitatea expresiei i<=10. Astfel se iese din bucla while.

3. Instructiunea

printf("Suma primelor 10 numere este %d\n", suma);

va afisa mesajul Suma primelor 10 numere este 55.

4. Formatul general al instructiunii while este

while (expresie)

instructiune

unde instructiune poate fi o singura instructiune sau un grup de instructiuni delimitate prin (care se mai numeste si instructiune compusa).

Generalizarea problemei precedente

Dorim sa citim mai multe numere (fara a sti aprioric numarul lor si care sunt acestea) si dorim sa afisam suma lor.

Consideram urmatorul algoritm cu patru pasi:

1. Initializarea a doua variabile contor si suma;

2. Afisarea unor mesaje utile citirii numerelor;

3. Citirea repetata a numerelor, incrementarea variabilei contor si adunarea numarului citit la suma;

4. Afisarea celor doua valori ale variabilelor.

Instructiunea while este una din cele trei constructii existente in C menite sa descrie actiuni repetitive. In solutia noastra, utilizam valoarea returnata de functia "scanf()" pentru a controla instructiunea while. Consideram urmatorul cod C:

#include <stdio.h>

main()

printf("\n%s%5d\n%s%12f\n\n",

"Numarul de numere: ", contor,

"Suma lor: ", suma);

}

Explicatii:

1. scanf("%f", &x)==1

Simbolul == reprezinta operatorul de egalitate. Expresia a==b intoarce true daca valoarea lui a este egala cu valoarea lui b. De exemplu, 1==1 intoarce true, 2==3 intoarce false. Functia "scanf()" are rolul de a citi caractere scrise de utilizator, sa le converteasca la float, si sa plaseze aceasta valoare la adresa lui x. Daca totul se desfasoara cu succes, atunci scanf() intoarce valoarea 1, adica true. Daca din anumite motive, procesul de conversie esueaza, atunci se intoarce valoarea 0 (deci false). Daca nu mai introducem nici o data (Control^z in MD-DOS, CR urmat de Control^d in UNIX), atunci scanf() va intoarce valoarea -1 (deci tot false).

2. while (scanf("%f", &x)==1)

Dupa cum am vazut mai sus, bucla while se executa atata timp cat scanf("%f", &x)==1 se evalueaza la true. Iteratia se incheie cand tastam Control^z sau ceva ce nu se poate converti la float, de exemplu 'a' sau CR. La fiecare executie a buclei se incrementeza variabila contor, iar valoarea variabilei suma creste cu valoarea lui x (citita de la tastatura).

3. printf("\n%s%5d\n%s%12f\n\n",

"Numarul de numere: ", contor,

"Suma lor: ", suma);

Presupunem ca executam acest program pentru numerele

1.1 2.02 3.003 4.0004 5.00005

Pe ecran va apare rezultatul:

Numarul de numere: 5

Suma lor: 15.123449

Observatii:

1. Daca numaram spatiile, observam ca valoarea lui contor a fost tiparita pe un camp de 5 caractere, iar suma pe 12 caractere. Aceasta este cauzata de formatele "%5d" si "%12f". Retineti ca tiparirea zecimalelor pentru suma este gresita de la a treia zecimala.

Stilul de redactare al programelor

Un stil bun de scriere a codului este esential pentru arta programarii. Aceasta faciliteaza citirea, scrierea si intretinerea programelor. Un stil bun foloseste:

1. spatii goale si comentarii, astfel incat codul este usor de citit si de inteles;

2. utilizarea indentarii este cruciala, care indica cu precizie structurile de control. De exemplu,

in constructia

while (expresie)

instructiune

indentarea instructiunii indica ca executia acesteia este sub controlul iteratiei while;

3. alegerea de nume sugestive pentru variabile;

4. corespondenta dintre acolade. De exemplu, urmatorul program este scris in stilul "Bell Labs industrial programming style" (#,,m pe prima coloana).

#include <stdio.h>

#include <stdlib.h>

#define GO "Start"

main()

Observatii:

1. Programatorii incepatori uneori cred ca vor "sparge" piata cu stilul lor propriu de redactare a programelor. Atentie ! Utilizati strategia care este deja in uz.

Erori de programare frecvente

Mai ales la inceputul invatarii programarii pe calculator, se fac multe erori simple, cum ar fi:

1. neinchiderea sirului cu ghilimele drepte. Cand compilatorul intalneste ghilimeaua stanga, atunci incepe sa colecteze toate caracterele care urmeaza spre a forma un sir de caractere, pana intalneste ghilimeaua dreapta. Daca aceasta nu exista, atunci compilatorul da mesajul de eroare, de tipul:

Unterminated string or character constant

2. scrierea gresita a numelui variabilelor;

3. nedeclararea lor.

In general, compilatorul da un mesaj de eroare potrivit, alteori din cauza interpretarii separate, nu. De exemplu, scriem gresit "prinf()" in loc de "printf()". Atunci compilatorul va da un mesaj prin care ne informeaza ca nu gaseste functia "prinf()". Deci, el nu isi da seama de omiterea unei litere, ci o interpreteaza in mod diferit.

4. daca dorim sa citim o variabila de tip double, atunci in functia "scanf()" trebuie sa specificam formatul "%lf";

5. faptul ca uneori uitam ca in formatul "%m.nf" pentru afisarea cu virgula mobila, m semnifica lungimea campului. De exemplu, pentru a specifica doua zecimale la dreapta si trei la stanga, nu trebuie sa scriem %2.3f, ci %6.3f deoarece se numara si punctul zecimal;

6. poate cea mai frecventa greseala cand se foloseste scanf() este uitarea operatorului de adresa. Daca, de exemplu, scriem

scanf("%d%d", a, b) in loc de scanf("%d%d", &a, &b)

atunci compilatorul nu se va "prinde" de eroare. Bineinteles, ca vom obtine rezultate eronate (run-time error) care sunt ceva mai greu de corectat.

Redirectarea intrarii si iesirii

Putem citi valorile variabilelor dintr-un fisier, nu neaparat de la tastatura. De exemplu, fisierul nostru executabil se numeste "ex1.exe". Pentru a extrage datele din fisierul de intrare "in.dat", dam comanda

ex1.exe < in.dat

Putem, de asemenea, sa scriem valorile unor variabile intr-un fisier extern, sa zicem "out.dat". Astfel dam comanda

ex1.exe > out.dat

Evident, daca se doreste atat citirea unor variabile din fisier, cat si scrierea rezultatelor in alt fisier, atunci se va da comanda

ex1.exe < in.dat > out.dat

Exemplu::

#include <stdio.h>

main()

}

Exercitii propuse spre implementare

1. Presupunem ca dispunem de rezultatele din anul curent relative la cursul de schimb valutar dintre leu, dolar, marca si franc. Sa se scrie un program C care deseneaza (cu caractere ASCII) graficul evolutiei raportului leu/valuta, unde valuta=. Apoi, desenati graficul raportului dolar/marca si marca/franc.

2. Scrieti un program C care primeste la intrare un numar de secunde, si intoarce numar maxim de ore, de minute, de secunde care este echivalent ca timp. De exemplu, 7384 secunde este echivalent cu 2 ore, 3 minute si 4 secunde.

3. Folosind o bucla while, scrieti un program C care calculeaza al n-lea termen din sirul din Fibonacci. Reamintim ca sirul lui Fibonacci este dat de recurenta liniara de ordin 2:

a_1=a_2=1;

a_=a_+a_n, n>=1

Document Info

Accesari: 3374
Apreciat:

Comenteaza documentul:

Nu esti inregistrat
Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta

Creaza cont nou

A fost util?

Daca documentul a fost util si crezi ca merita
sa adaugi un link catre el la tine in site

Copiaza codul:
in pagina web a site-ului tau.

eCoduri.com - coduri postale, contabile, CAEN sau bancare

Politica de confidentialitate | Termenii si conditii de utilizare