ALGEBRA

ALGEBRA

Stabiliti intervalul caruia îi apartine fiecare din numerele a,b,c,daca: a² + b² + c² + 34 = 2(2a + 3b + 5c).

Solutie : Avem : a² + b² + c² + 34 = 4a + 6b + 10 c ↔

↔ a² - 4a + 4 + b² 6b + 9 + c² - 10c + 25 - 4 = 0 ↔

↔ (a - 2)² + (b - 3)² + (c - 5)² = 4

(a - 2)² ≤ 4 → √(a - 2)² ≤ 2 →|a - 2| ≤ 2 → - 2 ≤ a - 2 ≤ 2→

→ 0 ≤ a ≤ 4 → a [0, 4]

Analog b [1, 5] si c [3, 7].

Determinati perechile (x , y) Є R × R care verifica egalitatea : x² + y² +16 = 4(x + y + |x - 2| + |y - 2|)

Solutia : Avem: x² + y² +16 = 4x + 4y +4|x - 2| + 4|y - 2|→

→ x² - 4x + 4 + y² - 4y + 4 - 4|x - 2| -4|y - 2|+ 8 =0 →

→ (2 - 2)² + (y - 2)² - 4|x - 2| - 4|y - 2| + 8 = 0 →

(2 - 2)² - 4|x - 2| +4 + (y - 2)² - 4|y - 2| +4 = 0

|x - 2| - 2)² + (|y - 2| - 2)² = 0.Rezulta ca :

|x - 2| - 2 = 0 si |y - 2| - 2 = 0;

|x - 2| = 2  si |y - 2| = 2;

x - 2 = 2 sau x - 2 = -2→ x Є

y - 2 = 2 sau y - 2 = -2 → y Є

(x, y) Є

Sa se rezolve, în multimea numerelor naturale, ecuatia:

xzy - xy - yz - zx = 2 - x - y - z

Solutia: xyz - yz - zx + z - xy + x + y - 1 = 1

z(xy - y - x + 1) - (xy - x - y +1) = 1

(xy - x - y + 1)(z - 1) = 1

[y(x - 1) - (x - 1)] (z - 1) = 1

(x - 1)(y - 1)(z-1) = 1.

Rezulta ca x = y = z = 2