ALGEBRA

ALGEBRA

Numere reale

Formule de calcul prescurtat Fie , atunci avem:

Modulul unui numar real Fie , de numeste modulul lui (si se noteaza ), numarul real

Proprietati

,

,

, ,

,

,

,

,

Fie , se numeste partea întreaga a lui (si se noteaza ), cel mai mare numar întreg mai mic sau egal cu , se numeste partea fractionara a lui (si se noteaza ) numarul .

Proprietati

,

,

,

, ,

,

, ,

Radicali, puteri cu exponent rational

Fie si un numar natural par. Se numeste radical de ordinul din (se noteza , un numar cu proprietatea ca . Fie si un numar natural impar. Se numeste radical de ordinul din (se noteza , un numar cu proprietatea ca .

Observatie. Daca în exercitii (ecuatii sau inecuatii) întâlnim expresii de forma (radical de ordin par) se impune conditia de existenta a radicalului: . Daca avem radicali de ordin impar, pentru acestia nu se impun conditii de existenta.

Proprietati Fie , si . Atunci avem:

, daca este par

, daca este impar

Transformarea radicalilor compusi în radicali simpli :

, unde .

Fie si , atunci .

Proprietati Fie si , atunci:avem

Inegalitati remarcabile

Inegalitatea mediilor Fie si , notam: , , , avem: cu egalitate pentru .

Observatie În cazul pentru , avem: .

Innegalitatea Cauchy-Buniakowskz-Schwartz Fie si , atunci:

.

Inegalitatea lui Minkowski Fie si , atunci:

Inegalitatea lui Bernoulli Fie si , atunci .

Multimi

Fie o mutime si doua submultimi ale lui .

Complementara multii este multimea

Intersectia multimilor si este multimea

Reuniunea multimilor si este multimea

Diferenta multimilor si este multimea

Produsul cartezian al multimilor si este multimea

Se numeste cardinanlul unei multimi (si se noteaza sau ), numarul elementelor multimii . Avem:

Metoda inductiei matematice

Fie o propozitie care depinde de numarul . Daca avem:

1. este adevarata;
2. arbitrar fixat avem adevarata adevarata,

atunci este adevarata .

Progresii aritmetice si geometrice

Se numeste progresie aritmetica un sir în care fiecare termen, mai putin primul, se obtine din precedentul adunat cu un numar constant numit ratie.

Notatie:

Proprietati

, ; constant, ;

Formula termenului general : , ;

(proprietatea care caracterizeaza progresiile aritmetice), , , ;

, ;

, ;

, .

Se numeste progresie geometrica un sir în care fiecare termen, mai putin primul, se obtine din precedentul înmultit cu un numar constant nenul , numit ratie.

Notatie:

Proprietati

, ; constant, ;

Formula termenului general : , ;

(proprietatea care caracterizeaza progresiile geometrice) , iar daca sirul are termeni pozitivi, avem:,,, ;

, ;

, ;

.

Simbolul sume remarcabile

Fie un sir, prin întelegem suma primilor termeni ai sirului, adica

.

Proprietati

Sume remarcabile

Functii

Fie si doua multimi nevide. Spunem ca am definit o functie pe multimea cu valori în multimea , daca printr-un procedeu oarecare facem ca fiecarui element sa-i corespunda un singur element . (O functie definita pe cu valori în se noteaza , se numeste domeniul de definitie, iar se numeste codomeniul).

Functia , definita prin , , se numeste aplicatia identica a multimii .

Fie , doua functii. Spunem ca functiile sunt egale (si scriem ) daca :

(au acelasi domeniu de definitie) ;

(au acelasi codomeniu) ;

(functiile coincid în fiecare punct din domeniu).

Operatii cu functii Fie o multime nevida si doua functii, atunci:

, , se numeste functia suma a lui si .

, , se numeste functia produs a lui si .

Daca , , atunci , , se numeste functia cât a lui si .

Fie si doua functii. Functia definita prin , , se numeste compusa lui cu .

Fie o functie

Se numeste numerica daca .

Se numeste imaginea functiei multimea notata si egala cu .

Se numeste graficul functiei multimea .

Se numeste injectiva, daca cu .

Se numeste surjectiva daca pentru orice , exista un astfel încât .

Se numeste bijectiva daca este atât injectiva cât si surjectiva.

Se numeste inversabila daca exista o functie astfel încât si . (Functia din definitie se numeste inversa functiei si se noteaza cu ).

Teorema. O functie este inversabila daca si numai daca este bijectiva.

Observatie. Pentru a determina intersectia graficului unei functii cu axa , rezolvam ecuatia , iar pentru a determina intersectia graficului functiei cu axa , calculam , daca 0 se gaseste în domeniul de definitie al functiei.

O multime se numeste simetrica în raport cu 0 (zero) daca pentru orice si .

Fie o multime simetrica în raport cu zero. Functia se numeste:

para daca .

impara daca .

Observatie. Graficul unei functii pare este simetric fata de axa , iar cel al unei functii impare este simetric în raport cu originea O.

O functie se numeste periodica daca exista un numar real nenul astfel încât , . Numarul se numeste perioada a functiei .Daca printre numerele nenule pozitive exista un cel mai mic numar pozitiv , atunci acesta se va numi perioada principala a functiei .

Fie o functie de variabila reala si . Spunem ca functia este:

strict crescatoare pe daca : ;

strict descrescatoare pe daca : ;

crescatoare pe daca : ;

descrescatoare pe daca : .

Observatie. O functie strict crescatoare pe sau strict descrescatoare pe se numeste functie strict monotona pe . O functie crescatoare pe sau descrescatoare pe se numeste monotona pe . Daca este strict monotona (sau monotona) pe (pe tot domeniul de definitie) spunem simplu ca este strict monotona (sau monotona) fara a mai indica multimea.

O functie monotona pe o multime , ramâne monotona pe orice submultime a sa.

Fie functia , unde interval. Se spune ca functia este

convexa pe , daca si , cu , avem:

.

concava pe ,daca si , cu , avem :

.

Observatie. 1. Daca este convexa pe , atunci pentru se obtine:

, , iar daca f este concava pe , atunci , .

2. Interpretarea geometrica a concavitatii si convexitatii :

În limbaj trivial spunem despre graficul functiei convexe ca " tine apa " în timp ce graficul functiei concave " nu tine apa ".

Functia de gradul I , , unde , .

Rezolvarea ecuatiei , unde .

1. Daca , atunci ecuatia admite solutia unica
2. Daca , atunci:   - daca , atunci (ecuatia admite o infinitate de solutii)

- daca , atunci (ecuatia nu admite radacini)

Semnul functiei de gradul I , , unde , :

Monotonia functiei de gradul I: Daca , atunci este strict crescatoare, iar daca , atunci este strict descrescatoare.

Graficul: Este o dreapta, pentru reprezentarea grafica sunt necesare 2 puncte distincte.

Functia de gradul II , , unde , .

Forma canonica: , unde .

Rezolvarea ecuatiei , unde , . Calculam , distingem cazurile:

Relatiile lui Vičte: , . Mai avem: , , , daca  radacinile sunt nenule: .

Observatie. Orice ecuatie de gradul 2 se poate scrie sub forma , unde si reprezinta suma si respectiv produsul radacinilor ecuatiei.

Descompunerea trinomului , unde , .

Semnul functiei de gradul II. În functie de valorile lui distingem cazurile:

Extremul functiei de gradul II. Monotonia functiei de gradul II.

1. Daca atunci functia are un maxim în punctul , valoarea maxima este , functia este strict crescatoare pe si strict descrescatoare pe .
2. Daca atunci functia are un minim în punctul , valoarea minima este , functia este strict descrescatoare pe si strict crescatoare pe .

Graficul: este o parabola.

Functia exponentiala (de baza ) , , unde , .

Rezolvarea ecuatiei , unde , , .

1. Daca , atunci ecuatia nu admite solutii, deci .
2. Daca , atunci ecuatia admite solutia unica .

Semnul functiei exponentiale: (este strict pozitiva), , , .

Monotonia: Este strict crescatoare (pe ) daca si strict descrescatoare (pe ) daca .

Graficul functiei exponentiale trece prin punctul , adica , , .

Observatie. Functia exponentiala de baza este bijectiva, deci inversabila, inversa acesteia este functia logaritmica de baza .

Functia logaritmica (de baza ) , , unde , .

Observatie. Daca , atunci se noteaza , daca , atunci se noteaza .

Rezolvarea ecuatiei ,unde , , . Ecuatia are solutie unica , .

Semnul functiei logaritmice

Monotonia: Este strict crescatoare (pe ) daca si strict descrescatoare (pe ) daca .

Proprietati : Daca , atunci :

, ; , ; ; ;

, , ;

, , ;

; , , .

Graficul functiei exponentiale trece prin punctul , adica , , .

Observatie. În ecuatii sau exercitiile în care apar expresii de forma : se impun conditiile de existenta : .

Elemente de combinatorica

Se numeste multime ordonata, o multime împreuna cu o ordine bine determinata de dispunere a elementelor sale.

Permutari de elemente, notate cu , reprezinta numarul multimilor ordonate formate cu elementele unei multimi cu elemente. Numarul permutarilor de elemente este de

.

Aranjamente de elemente luate câte , notate , reprezinta numarul submultimilor ordonate formate cu elemente din elementele unei multimi cu elemente. Numarul aranjamentelor de luate câte este .

Combinari de elemente luate câte , notate , reprezinta numarul submultimilor cu k elemente ale unei multimi cu elemente. Numarul combinarilor de luate câte este .

Proprietati

;

;

;

.

Binomul lui Newton

.

Formula termenului general :  ;

Formula de recurenta : .

Fie o multime finita cu elemente. Atunci:

numarul submultimilor lui este ;

numarul submultimilor nevide ale lui este ;

numarul submultimilor cu elemente, unde , ale lui este .

Fie , o multime finita cu elemente si o multime cu elemente. Atunci:

numarul functiilor definite pe cu valori în este ;

numarul functiilor injective definite pe cu valori în este , daca si 0 în rest;

numarul functiilor bijective definite pe cu valori în este , daca si 0 în rest.

Probabilitatea unui eveniment

.

Polinoame

Forma algebrica a polinomului în nedeterminata este:

, cu conventia .

numerele se numesc coeficientii polinomului

notam cu:

multimea polinoamelor cu coeficienti complecsi în nedeterminata

multimea polinoamelor cu coeficienti reali în nedeterminata

multimea polinoamelor cu coeficienti rationali în nedeterminata

multimea polinoamelor cu coeficienti întregi în nedeterminata

se numeste gradul polinomului si se noteaza cel mai mare numar natural cu proprietatea , gradul polinomului nul este prin conventie .

fie , si . Functia , , se numeste functie polinomiala asociata polinomului .

daca , atunci numarul se numeste valoarea polinomului în .

numarul este radacina a polinomului daca .

Fie doua polinoame, , , atunci:

, , în paticular , .

; .

; cu egalitate daca .

spunem ca polinomul divide polinomul si scriem daca astfel încât . Se mai spune ca este divizibil cu si se scrie .

divizorii de forma si cu se numesc divizori improprii ai lui , ceilalti divizori, daca exista se numesc divizori proprii.

se numeste cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c) al polinoamelor si un polinom cu proprietatatile:

si ;

si .

se numeste cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c) al polinoamelor si un polinom cu proprietatatile:

si ;

si .

spunem ca polinomul , unde este ireductibil peste daca are gradul cel putin unu si daca nu are divizori proprii.

se numeste ecuatie algebrica cu o necunoscuta, o ecuatie de forma , unde este un polinom nenul. Gradul polinomului se numeste gradul ecuatiei.

fie , si . Numarul se numeste radacina multipla de ordinul , daca divide si nu divide .

Observatie. Daca , atunci:

(determinarea termenului liber)

(determinarea sumei coeficientilor)

(determinarea sumei coeficientilor de rang par)

(determinarea sumei coeficientilor de rang impar).

Teorema. (a împartirii cu rest) Fie , . Atunci exista si sunt unice doua polinoame astfel încât cu .

Teorema. (a restului) Fie si . Atunci restul împartirii lui prin este .

Teorema. (a lui Bézout ) Fie , . Numarul este radacina a polinomului divide .

Teorema. Fie , cu , . Daca sunt radacinile lui , atunci .

Teorema. (relatiile lui Vičte) Numerele complexe sunt radacinile polinomului , , , daca si numai daca au loc relatiile :

.

Observatie. Particularizam pentru cazurile în care gradul lui va fi 2, 3 sau 4.

. Daca , , are radacinile , atunci relatiile lui Vičte sunt :

.

. Daca , , are radacinile , atunci relatiile lui Vičte sunt :

.

. Daca , , are radacinile , atunci relatiile lui Vičte sunt:

.

Observatie. Daca notam cu prima si respectiv a doua relatie a lui Vičte, atunci suma patratelor radacinilor se obtine din .

Teorema. 1. Orice polinom nenul cu coeficienti reali, , daca admite radacina complexa , cu , atunci admite si radacina si cele doua au acelasi ordin de multiplicitate.

. Orice polinom nenul cu coeficienti rationali, , daca admite radacina , unde , , , atunci admite si radacina si cele doua au acelasi ordin de multiplicitate.

. Fie un polinom cu coeficienti întregi, de grad . Daca , unde este o radacina a lui , atunci si .

Consecinte. 1. Orice polinom cu coeficienti reali are un numar par de radacini complexe.

2. Orice polinom cu coeficienti reali de grad impar are cel putin o radacina reala.

3. Daca polinomul admite radacina , , , atunci admite si radacinile , , .

4. Daca polinomul admite radacina întreaga , atunci este divizor al termenului liber.

Rezolvarea unor ecuatii particulare de ordin superior

1. Ecuatii binome , , .

Se scrie în forma trigonometrica , unde , , iar solutiile vor fi: , cu .

2. Ecuatii trinome , unde , .

Se face substitutia obtinând o ecuatie de gradul II. Se determina solutiile ecuatiei , se revine la notatie si se rezolva cele doua ecuatii binome: si .

3. Ecuatii reciproce , unde si .

Observatie. Daca o ecuatie reciproca admite radacina , atunci admite si pe .

pentru , ecuatia are forma: , . Ecuatia admite radacina , împartim prin si obtinem o ecuatie de gradul II care furnizeaza .

pentru , ecuatia are forma: , . Împartim prin si grupam . Notam si obtinem o ecuatie de gradul II în pentru care determinam radacinile, apoi revenim la notatie.

pentru , ecuatia are forma: , . Ecuatia admite radacina , împartim prin si obtinem o ecuatie reciproca de gradul IV, pe care o rezolvam ca mai sus.

Elemente de algebra liniara

Fie si , . Se numeste matrice de tipul (cu m linii si n coloane) cu elemente din , o functie , .

Observatie. 1. Notam matricele sub forma: .

2. Daca , o matrice de tipul se numeste matrice linie; daca , o matrice de tipul se numeste matrice coloana; daca , o matrice de tipul se numeste matrice patratica de ordinul .

3. Se noteaza cu multimea tuturor matricelor cu m linii si n coloane cu elemente din D. Daca multimea D este finita cu d elemente, atunci numarul tuturor matricelor cu elemente din D este .

4. Doua matrice sunt egale daca sunt de acelasi tip si elementele corespondente sunt egale.

5. Daca este o matrice de tipul , atunci se numeste transpusa matricei , o matrice notata , de tipul , obtinuta din prin trasformarea liniilor în coloane (si a coloanelor în linii).

6. Daca avem doua matrice de tipul si de tipul , atunci are sens produsul si se va obtine o matrice de tipul .

7. Înmultirea matricilor este asociativa.

Proprietati ale determinantilor

1. Determinantul unei matrice coincide cu determinantul matricei transpuse.

.

2. Daca toate elementele unei linii (sau coloane) sunt nule, atunci determinantul matricei este nul.

3. Daca o matrice are doua linii (sau doua coloane) identice, atunci determinantul sau este nul.

4. Daca elementele a doua linii (sau doua coloane) ale unei matrice sunt proportionale, atunci determinantul este nul.

5. Daca toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrice sunt înmultite cu un scalar , atunci obtinem o matrice al carei determinant este egal cu determinantul matricei initiale înmultit cu .

6. Daca într-o matrice schimbam doua linii (sau doua coloane) între ele obtinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei initiale.

7. Daca la o linie (sau coloana) a matricei adunam elementele altei linii (sau coloane) înmultite cu acelasi scalar, atunci aceasta matrice are acelasi determinant ca si matricea .

8. Daca o linie (sau o coloana) a unei matrice patratice este o combinatie liniara de celelalte linii

(sau coloane), atunci determinantul matricei este nul.

9. Fie este o matrice patratica de ordinul . Presupunem ca elementele liniei sunt de forma . Daca , respectiv , este matricea care se obtine din înlocuind elementele de pe linia cu (respectiv ) , atunci .

.

10. .

11. .

12. Daca este o matrice triunghiulara (sau diagonala), atunci determinantul este egal cu produsul elementelor de pe diagonala principala.

13. Determinantul produsului a doua matrici este egal cu produsul determinantilor acelor matrici.

.

Consecinta:

Fie o matrice nenula. Spunem ca matricea are rangul si scriem , daca are un minor nenul de ordin si toti minorii de ordin mai mare decât sunt nuli.

Fie o matrice patratica de ordin . Spunem ca este inversabila daca exista o matrice patratica de ordin astfel încât . Inversa matricei , daca exista, se noteaza .

Observatie. O matrice patratica de ordinul n este inversabila daca si numai daca este inversabil, în plus .

Teorema. (Kronecker-Capelli) Un sistem de ecuatii liniare este compatibil daca si numai daca rangul matricei sistemului este egal cu rangul matricei extinse.

Teorema. (Rouché) Un sistem de ecuatii liniare este compatibil daca si numai daca toti minorii caracteristici sunt nuli.

Legi de compozitie. Structuri algebrice

Fie o multime nevida. O aplicatie definita pe produsul cartezian cu valori în , , se numeste lege de compozitie.

Fie o multime finita, . În acest caz o lege de compozitie pe , , poate fi data prin ceea ce este cunoscut sub numele de tabla operatiei , care consta dintr-un tabel cu linii si coloane afectate celor elemente ale lui . Tabla legii de compozitie contine la intersectia liniei lui cu coloana lui , elementul .

Fie M o multime pe care este data o lege de compozitie . O submultime nevida a lui cu proprietatea : , se numeste parte stabila a lui în raport cu legea de compozitie .

O lege de compozitie , , se numeste:

asociativa, daca : .

comutativa, daca : .

Un element se numeste element neutru pentru o lege de compozitie , , daca : .

Un element se numeste simetrizabil în raport cu legea de compozitie (asociativa si cu element neutru, fie acesta ) , , daca exista astfel încât : .

O multime nevida se numeste monoid în raport cu o lege de compozitie definita pe , , , daca sunt satisfacute urmatoarele axiome :

               ;

               astfel încât , .

Spunem ca monoidul este comutativ (sau abelian) daca operatia acestuia satisface si axioma :

.

Un cuplu format cu o multime nevida si cu o lege de compzitie pe , se numeste grup daca sunt satisfacute urmatoarele axiome :

Observatie. 1. Un monoid cu proprietatea ca orice element este simetrizabil (în raport cu operatia acestuia) se numeste grup.

2. Spunem ca cuplul este grup abelian sau grup comutativ, daca satisface si axioma :

.

3. Daca are un numar finit de elemente , atunci spunem ca ordinul grupului g este n.

Teorema. Într-un grup sunt adevarate regulile de simplificare la stânga si la dreapta :

si respectiv

.

Teorema. Fie un grup. Oricare ar fi , ecuatiile :

si

au solutii unice în , anume , respectiv , unde este simetricul lui .

Fie un grup. O submultime nevida a lui se numeste subgrup al lui daca sunt satisfacute urmatoarele conditii :

1. ;
2. ,

unde este simetricul lui (în raport cu operatia lui ).

Teorema. Fie un grup, elementul neutru al lui si un subgrup al lui . Atunci :

,

este grup în raport cu operatia indusa pe de catre operatia grupului .

Fie un grup, si . Spunem ca este element de ordin al grupului daca si , . Daca pentru orice , , atunci spunem ca ordinul elementului este .

Teorema. (Lagrange) Ordinul oricarui subgrup al unui grup finit este un divizor al ordinului grupului.

Teorema. (Euler) Fie , , . Atunci , unde este indicatorul lui Euler .

Teorema. (Fermat) Fie un numar prim si nedivizibil cu p. Atunci .

Fie si doua grupuri. O aplicatie se numeste morfism de grupuri daca :

.

Teorema. Fie si doua grupuri, si elementele neutre ale lui si respectiv. Daca este un morfism de grupuri, atunci :

1. ;
2. ,

unde este simetricul lui , iar este simetricul lui .

Fie si doua grupuri. O aplicatie bijectiva se numeste izomorfism de grupuri daca: .

O multime nevida , luata împreuna cu doua legi de compozitie

si

se numeste inel daca :

este grup abelian,

este monoid,

                 Distributivitatea : .

Daca a doua operatie a inelului satisface si axioma :

spunem ca A este inel comutativ.

Fie un inel, elementul neutru în raport cu prima operatie. Spunem ca a este inel fara divizori ai lui zero daca si . Un inel comutativ, cu cel putin doua elemente si fara divizori ai lui zero se numeste domeniu de integritate.

Fie si doua inele si . Aplicatia se numeste izomorfism de inele, daca :

i. este functie bijectiva

ii. este morfism de inele, adica :

1.

2. , pentru .

Definitie. Un inel se numeste corp daca elementele neutre ale celor doua legi sunt diferite si orice element , diferit de elementul neutru al primei legi este simetrizabil în raport cu cea de a doua lege. Un corp se numeste comutativ daca a doua lege este comutativa.