Analiza matematica - proprietatile functiilor derivabile

Puncte de extrem

Fie

Definitie: Punctul se numeste punct de minim relativ (sau local) al functiei f daca exista o vecinatate V

a lui a.i . In acest caz, valoarea se numeste minim relativ al

lui f.

Definitie: Punctul se numeste punct de maxim relativ (sau local) al functiei f daca exista o vecinatate V

a lui a.i . In acest caz, valoarea se numeste maxim relativ al

lui f.

Definitie: Punctele de maxim sau de minim relativ se numesc puncte de extrem relativ (sau local).

Valorile functiei in punctele de extrem se numesc extremele (relative sau locale ) ale functiei.

Teorema lui Fermat

Teorema: Fie , I interval si un punct de extrem relativ al functiei din interiorul

intervalului. Daca f este derivabila in atunci .

Observatii:▪ Reciproca teoremei lui Fermat nu este adevarata: daca , nu rezulta ca este punct

de extrem.

▪O functie poate avea puncte de extrem in care nu este derivabila.

Definitie: Fie o functie derivabila pe I. Zerourile (radacinile) derivatei din intervalul I se numesc

puncte critice ale functiei (sunt posibile puncte de extrem).

Teorema lui Rolle

Teorema: Fie o functie cu proprietatile: f continua pe ; f derivabila pe si

. Atunci:

Observatii: ▪Punctul c nu este unic

▪Reciproca teoremei lui Rolle nu este adevarata.

Teorema (consecinta a teoremei mlui Rolle):

Fie o functie derivabila pe I. Intre doua radacini consecutive ale derivatei exista cel

mult o radacina a functiei.

Sirul lui Rolle (etape):

Fie o functie derivabila pe I si ecuatia asociata .

▪se calculeaza si se rezolva ecuatia sunt radacinile sale;

▪se calculeaza valorile functiei pentru toate radacinile derivatei, precum si valorile sau limitele la

capetele intervalului ();

▪semnele acestor valori se trec intr-un tabel x

▪daca in sirul semnelor apar doua semne consecutive contrare, atunci in intervalul corespunzator

valorilor exista o singura radacina a functiei;

▪daca in sirul semnelor apar doua semne consecutive la fel, atunci in intervalul corespunzator

valorilor nu exista nici o radacina a functiei;

▪daca in acest sir apare un zero, adica , atunci este singura radacina a functiei din

intervalul .

Observatie (sirul lui Rolle): Daca functia este derivabila pe o reuniune de intervale, se alcatuieste sirul lui

Rolle pe fiecare interval.

Teorema lui Lagrange

Teorema: Fie o functie cu proprietatile: f continua pe si f derivabila pe .

. Atunci: .

Observatii: ▪Punctul c nu este unic

▪Reciproca teoremei lui Lagrange nu este adevarata.

Corolarul teoremei lui Lagrange

Fie , I interval si .

Daca f este continua pe I, f este derivabila pe si , atunci f are derivata in

punctul si . Daca in plus aceasta limita este finita, atunci f este derivabila

in .

Observatii: ▪Aceasta teorema se poate aplica si pentru derivate laterale.

▪ Daca functia nu are limita in punctul si nici limite laterale, nu rezulta ca functia f nu este

derivabila in ; se va studia derivabilitatea utilizand definitia.

Regulile lui L^’Hospital

Regula 1 (cazul 0/0): Fie un punct de acumulare (finit sau infinit) pentru un interval I, f si g doua functii

definite pe I, cu exceptia eventual a punctului .

Daca ▪

▪ f si g sunt derivabile pe I cu exceptia eventual a punctului

▪

▪ (finit sau infinit)

Atunci ▪

▪

Regula 2 (cazul ∞/∞): Fie un punct de acumulare (finit sau infinit) pentru un interval I, f si g doua

functii definite pe I, cu exceptia eventual a punctului .

Daca ▪

▪ f si g sunt derivabile pe I cu exceptia eventual a punctului

▪

▪ (finit sau infinit)

Atunci

Rolul derivatelor in studiul functiilor

Rolul primei derivate

Teorema: Fie f o functie derivabila pe un interval I.

Daca , atunci f este strict crescatoare pe I.

Daca , atunci f este strict descrescatoare pe I.

Observatie: Cu ajutorul primei derivate se stabilesc intervalele de monotonie ale unei functii derivabile si se

determina punctele de extrem local.

Utilizarea primei derivate (etape): Fie , I interval, f derivabila pe I.

▪Se calculeaza .

▪Se rezolva ecuatia .

▪Se stabileste semnul derivatei .

▪Se determina valorile functiei in punctele critice (zerourile derivatei) si eventual limitele

functiei la capetele intervalului.

▪Se trec rezultatele intr-un tabelx interval (I)

radacini, semn

valori, monotonie, limite (eventual)

Observatii:▪Daca functia este derivabila pe o reuniune de intervale, se alcatuieste acest tabel pentru fiecare

interval.

▪Alte utilizari ale tabelului de monotonie: determinarea multimii valorilor functiei (Imf);

determinarea semnului functiei; existenta si localizarea radacinilor; demonstrarea unor inegalitati

Rolul derivatei a doua

Definitie: Spunem ca f este convexa pe intervalul I daca oricare ar fi doua puncte ale graficului, coarda

determinata de acestea se afla deasupra graficului.

Definitie: Spunem ca f este concava pe intervalul I daca oricare ar fi doua puncte ale graficului, coarda

determinata de acestea se afla sub grafic.

Teorema: Fie f o functie de doua ori derivabila pe I.

Daca , atunci f este convexa pe I.

Daca , atunci f este concava pe I.

Definitie: Fie f o functie continua pe I si punct interior intervalului. Spunem ca este punct de

inflexiune al graficului functiei daca f este convexa pe o vecinatate stanga a lui si concava pe o

vecinatate dreapta a lui , sau invers.

Utilizarea derivatei a doua (etape): Fie , I interval, f de doua ori derivabila pe I.

▪Se calculeaza .

▪Se rezolva ecuatia .

▪Se stabileste semnul derivatei .

▪Se trec rezultatele intr-un tabel x interval (I)

radacini, semn

valori, convexitate, concavitate

Observatii:▪Daca functia este de doua ori derivabila pe o reuniune de intervale, se alcatuieste acest tabel

pentru fiecare interval.

▪Graficul unei functii poate avea puncte de inflexiune in care functia nu este derivabila.