ARANJAMENTE
Definitie Fie A= si 
. Se numeste aranjament de n elemente luate câte k orice
multime ordonata alcatuita din k elemente ale multimii A.
Observatii
Doua aranjamente de n luate câte k difera:
a. prin natura elementelor;
b. prin ordinea de dispunere a elementelor.
Conceptul de aranjament de n elemente luate câte k se poate prezenta utilizând functiile injective. Mai precis, are loc urmatoarea:
Definitie O functie injectiva 
, n, k numere naturale cu n nenul se numeste aranjament de n elemente luate câte k.
Notatii
,
numarul de
aranjamente de n luate câte k, adica 
.
Teorema Numarul de aranjamente de n luate câte k, 
, k, n numere naturale, n nenul este egal cu 
.
Demonstratie:
Pentru a verifica rezultatul, vom aplica regula produsului
.
Fie 
structura unui
aranjament de n elemente luate câte k. Fiecare romb trebuie completat cu
elemente din multimea 
(elemente distincte).
Sub fiecare romb am pus numarul lui de ordine (pozitia fiecarui
element în aranjament). Primul romb se poate completa cu oricare din elementele
lui A. Acest lucru se poate face în n moduri. Odata completat primul
romb, cel de-al doilea îl putem completa cu oricare dintre elementele
ramase ale lui A. Avem n-1 modalitati de a completa
acest romb.Al treilea romb se poate completa cu oricare din elementele
ramase ale lui A, dupa ce
s-au completat primele doua pozitii. Numarul de
posibilitati de completare este egal cu n - 2 si corespunde
celor n - 2 elemente ramase
dupa completarea primelor doua pozitii. În fine, ultimul romb,
cel cu numarul k, se poate
completa în n - k + 1 moduri, care
corespund celor n - k + 1
elemente ramase în A, dupa
ce s-au completat k - 1 pozitii. Acum, numarul total
de aranjamente de n luate câte k este dat de regula produsului si
este egal cu 
.
Observatii
Sa
observam ca, în , numarul de factori din produs este egal cu k si sunt numere consecutive
descrescatoare, începând cu n.
Deci 
, 
si asa mai
departe.
În
acelasi mod se rezolva urmatoarea problema: se
considera k bile, numerotate de
la 1 la k si n urne,
numerotate de la 1 la n. Se introduce câte o bila într-o
urna. Numarul de posibilitati de a pune bilele în urne este
egal cu .
Numarul
se poate exprima cu
ajutorul factorialelor, astfel:
Au loc urmatoarele relatii de recurenta:
a. 
b. 
c. 
d. 
.
|
