Activitatea in cercurile de matematica

Activitatea in cercurile de matematica

Rolul activitatii in cercurile cu elevii este de a extinde si aprofunda unele teme din programa scolara,contribuind la dezvoltarea gustului pentru matematica si pentru competitiile matematica.In matematica rezolvarea de probleme ramane o activitate indispensabila in initierea,pregatirea si perfectionarea in primul rand a elevilor,dar cu mult folos si pentru specialistii formati:matematicieni,sau utilizatori ai matematicii.Avand in vedere pregatirea elevilor de va folosi cu pr 14114f514o ecadere meotda descoperirii dirijate,imbinarea activitatii de grup cu activitatea frontala,activitati care asigura conditiile unei bune conexiuni inverse,ofera cadrul unei invatari active,stimuleaza interesul elevilor in pregatire,le formeaza abilitati pentru rezolvarea de probleme,elimina "pasii" neesentiali si incercarile ineficiente.

Activitatea de rezolvare a problemelor este un cadru optim si pentru cultivarea creativitatii,in special pentru dezvoltarea creativitatii gandirii atat in cadrul orelor de curs dar si in cadrul sedintelor de cerc.

Din multitudinea de teme ce pot fi tratate in sedintele de cerc am ales :

1.Relatia Stewart si aplicatiile ei la calculul lungimilor,liniilor remarcabile in triunghi a legaturii intre centrul de greutate,lungimile laturilor unui triunghi ABC si raza cercului circumscris acestui triunghi

1.Relatia Stewart (matematician scotian 1717-1785)

Fie M un punct pe latuta /BC/ a triunghiului ABC.Atunci avem relatia: AM².BC=AB².MC+AC².MB-BC.BM.MC (FIG 1.)

Demonstratie:

Din triunghiul AMB avem: AM²=AB²+BM²-2AB.BM.cos <B (1)

Din triunghiul ABC avem: AC²=AB²+BC-2AB.BCcos <B (2)

Inmultim relatia (1) cu BC si relatia (2) cu -BM si avem:

AM².BC=AB².BC+BM².BC-2AB.BM.BC cos<B

-AC².BM=-AB².BM-BC².BM+2AB.BC.BM cos<B

Adunam aceste relatii si obtinem:

AM².BC-AC².BM= AB²(BC-BM)+BC.BM(BM-BC) sau

AM².BC=AC².BM+AB².MC-BC.BM.MC

A

(Fig 1)

Aplicatie: Fie ABC un triunghi.[AD bisectoarea interioara a unghiului BAC,unde DЄ(BC).Atunci avem: AD²=.p(p-a)

unde p este semiperimetrul triunghiului.  (fig.2)

A

Demonstratie :Cu teorema bisectoarei avem:

(1) = sau

Deci: DC=. Din relatia (1) avem: sau de unde BD=.

Scriem relatia lui Stewart pentru M=D si avem:

DA².a=BC.c²+BD.b²-a.BD.DC.Inlocuind pe BD si DC gasite mai sus,avem:

AD².a=c².DC+ sau AD²= =.Deci AD²=.

Calculul bisectoarelor:

Fie AD bisectoarea unghiului A in triunghiul ABC.Atunci:

AD²= (Fig.3)

Punctul D imparte latura BC in segmente proportionale cu laturile AB si AC,astfel ca vom avea: ;

Deci sau BD= si CD=

Inlocuim in relatia lui Stewart punctual M cu punctual B,iar segmentele BD SI DC cu relatiile gasite si avem:

a.AD²=c².+-a...Impartim relatia prin (a) si obtinem AD²==.Deci AD²=

Calculul lungimii bisectoarei exterioare

Fie AE bisectoarea exterioara a unghiului A (fig.3),si presupunem ca AB>AC astfel ca punctual E imparte latura BC proportional cu laturile AC si AB si se afla pe prelungirea lui BC ,dincolo de C.

Vom avea:  de unde :
si CE= .Inlocuim in relatia lui Stewart si avem:

de unde : AE²=.

Calculul lungimii medianelor:

Fie AD mediana dusa dn varful A in triunghiul ABC (fig.4)

In relatia Stewart inlocuimj punctul M cu punctul D si laturile BC,CA,AB cu a,b,c.Atunci AD².BC=AC².BD+AB².DC-BC.BD.DC sau AD².a=+c²-a .Impartim prin (a) si obtinem: AD² .Analog vom obtine pentru medianele din punctele B si C relatiile:

BM²= si CN²

Calculul lungimii inaltimilor:

Fie H piciorul inaltimii din A pe BC.(Fig.5)

A

c b

B H a C

Unul dintre cele doua unghiuri C si B este ascutit;fie B acest unghi.In triunghiul ABC avem:b²=a²+c²-2a.BH sau BH=

In triunghiul AHB avem : AH²=c²-bh².Inlocuim pe BH cu gasit mai sus si obtinem: AH²=(c-)(c

=

Daca notam semiperimetrul cu p,avem a+b+c=2p si b2(p-a); c+a-b=2(p-b);a+b-c=2(p-c) si inaltimea AH devine:AH²=

Pentru inaltimile duse din vafurile B si C avem relatiile: BE² si CD²=

Daca G este centrul de greutate al triunghiului ABC,R este raza cercului cirscumscris,O este central sau si a,b,c sunt lungimile laturilor triunghiurilor atunci avem:OG².R²-(a²+b²+c²).

Intr-adevar fie triunghiul ABC si cercul de centru O,cercul circumscris lui.(fig.6)

A

A'\'\;

B C

In triunghiul OAA' scriem relatia Stewart pentru punctul GЄ(AA'):OG².AA'=OA².GA'+OA'².AG-AA'.AG.GA'.Dar OA =nR; GA'²=ma;AG=ma si AA'=ma (mediana dusa din varful A).

Inlocuind relatia de mai sus obtinem:ma.OG²=-R²ma+OA'².ma-m³a.

Impartim relatia prin (ma) si obtinem:OG²=R²OA'²- m²a.

Din triunghiul OAC' avem: OA'²=OC²-A'C²=R²- inlocuind in relatia lui OG obtinem:

OG²= + - m²a=R²- - m²a.

Inlocuim mediana cu relatia care o exprima si avem:

OG²= R²- =R²- sau OG²= R²- si relatia este demonstrata.

Daca G este centrul de greutate al triunghiului ABC si M este un punct oarecare in plan,atunci avem relatia:

MA²+MB²+MC²=3MG²+GA²+GB²+GC²

Fie triunghiul ABC,G centrul sau de greutate,AA' mediana dusa din varful A si M un punct in plan.(fig.6)

A

M

G

B

A' C

Scriem relatia lui Stewart pentru triunghiul lui MAA' si punctul G'(AA'):

MG².AA'=MA².A'G+MA².AG-AA'.AG.GA'.Cum A'G=AA';AG=AA'si impartind prin AA'relatia devine:MG²=MA²+MA'- A'A².Dar MA' este mediana in triunghiul BMC si atunci avem:

MG²=MA²+ A'A².Aplicam teorema medianei in triunghiul ABC si obtinem:

3MG=MA²+MB²+MC²-(GB²+GC²-2GA'²)- AA'².Aplicand proprietatea centrului de greutate relatia devine:

3MG=MA²+MB²+MC²-GA²-GB²-GC² sau MA²+MB²+MC=3MG GA²+GB²+GC² si relatia este demonstrate.Suma MA²+MB²+MC este minima daca si numai daca M=G.