Aplicatia d: X x X → R, se numeste distanta sau metrica pe X daca sunt îndeplinite urmatoarele proprietati:

d(x, y) = 0 x = y

d(x, y) = d(y, x), (") (x, y) ε X x X

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), (") (x, y, z) ε X³

Se numeste subspatiu metric al unui spatiu metric (X, d) perechea (X', d'), unde X' este o submultime nevida a lui X iar d' este restrictia lui d la multimea X' x X'.

Fie xo ε X, ε > 0 si (X, d) spatiu metric. Se numeste bila deschisa, sau simplu bila, cu centrul în xo si raza egala cu ε, submultimea B(xo, ε) a lui X definita prin : B(xo, ε) = .

Se numeste vecinatate a puncului xo din spatiul metric (X, d), o submultime V a lui X care include o bila deschis 21121d34v a cu centrul în xo si raza r > 0.

O multime nevida abstracta X se numeste spatiu topologic daca fiecarui punc al ei i se poate atasa o familie de vecinatati cu proprietatile (V1) - (V4).

Multimea nevida V se numeste spatiu liniar peste câmpul de scalari K daca pe Vsunt definite doua legi de compozitie, una binara interna, numita adunarea elementelor lui V, notata cu +, cu proprietatea ca perechea (V,+) este grup abelian si cealalta, externa, numita produsul elementelor lui V cu scalari din K, notata cu ·, si care are proprietatile:

1 · u = u (") u ε V, 1ε K

a· (β · u) = (a · β) · u = aβu (") u ε V si a, β ε K

(a + β) · u = au + βu (") u ε V si a, β ε K

a · (u + v) = au + av (") u,v ε V si a ε K

Submultimea nevida S V se numeste subspatiu liniar al spatiului liniar V/K daca cele doua legi de compozitie ce definesc pe V ca spatiu liniar, introduc pe S o structura algebrica de K - spatiu liniar.

Un sistem infinit de vectori din K - spatiul vectorial V se numeste liniar independent daca orice subsistem finit al sau este liniar independent.

K - spatiul liniar V se numeste finit dimensional daca exista un numar natural n = dim V cu proprietatea ca numarul maxim de vectori liniar independenti din V este n. Numarul natural n = dim V se numeste dimensiunea K - spatiului vectorial finit dimensional V.

Se numeste baza în spatiul liniar nenul n - dimensional V/K orice sistem format din n vectori din V, liniar independenti.

Spatiul vectorial V peste câmpul de scalari K se numeste infinit dimensional daca exista un sistem infinit de vectori, liniar independent. În acest caz: dim V= + ∞.

Se numette baza infinita într-un spatiu liniar V/K un sistem infinit liniar independent de vectori din V.

Fie (X, d) un spatiu metric oarecare. Se numeste sir de puncte în X o aplicatie:

f : Nk →X, unde Nk =

Spatiul metric (X, d) se numeste spatiu metric complet daca orice sir de puncte fundamentale din X este convergent la un punct din X.

Aplicatia //·// : V → R se numeste norma pe spatiul liniar real V daca satisface urmatoarele proprietati:

// x // = 0 x = 0;

// lx // = /l/ //x //, (") l є R si x є V
// x + y // ≤ //x // + //y // (") x, y є V

Metrica d pe un spatiu normat V definita de d: V x V → R, d(x,y) = //x - y//, (") x, y є V se numeste metrica indusa de norma // · //.

Spatiul normat (V, // · //) se numeste spatiu BANACH daca V este spatiu metric complet în metrica indusa de norma.

Se numeste serie de functii vectoriale o serie de vectori în spatiul liniar F(A, V), unde V este un spatiu liniar arbitrar iar A este o multime nevida arbitrara. Daca V = R, seria de functii corespunzatoare se numeste serie de functii reale. În plus, daca A R, seria de functii se numeste serie de functii reale de variabila reala.

Se numeste spatiu prehilbertian sau spatiu euclidian perechea (H, g), unde H este spatiul vectorial real iar g este un tensor metric pe H.

Un spatiu euclidian care este complet în metrica euclidiana se numeste spatiu HILBERT.

Fie spatiul euclidian (H, · ). Norma indusa de produsul scalar se numeste norma euclidiana pe H.

Teorema PICARD - BANACH: Daca T : X → X este o contractie pe spatiul metric complet (X, d), atunci T are un punct fix unic determinat.

Punctul x є X se numeste punct aderent în X sau punct de aderenta an X pentru multimea A daca orice vecinatate a punctului x contine cel putin un punct din A, adica: Vx ∩ A ≠ Ø, (") Vx є (x).

Punctul a є A se numeste punct interior în X al multimii A daca exista o vecinatate Va є ν(a) astfel încât:

Va A

Se numeste interiorul în X al multimii A din spatiul metric (X, d) totalitatea punctelor interioare în X ale sale. Interiorul în X al unei multimi se noteaza cu A° sau int A.

Punctul x є X se numeste punct de acumulare în X pentru submultimea A din spatiul metric (X, d) daca orice vecinatate V є ν(x) contine cel putin un punct din A, diferit de x, adica: V∩ A - x ≠ Ø, V є ν(x).

Multimea A din spatiul metric (X, D) se numeste compacta prin acoperire sau simplu, compacta, daca din orice acoperire deschisa F a lui A se poate extrage o acoperire finita. Spatiul metric (X,d) se numeste compact daca din orice acoperire deschisa a sa se poate extrage o acoperire finita.

Spatiul metric (X,d) se numeste spatiu conex, daca nu exista multimile nevide si disjuncte D1, D2, deschise în X, astfel încât: X = D1 U D2

Spunem ca functia f є F(D) este derivabila partial în punctul a în raport cu variabila xj daca f este derivabila în punctul a dupa versorul ej.

Daca f este derivabila partial în punctul a în raport cu variabila xj , atunci df / dej (a) se numeste derivata partiala de ordinul întâi a lui f în punctul a în raport cu variabila xj.

Functia reala f є F(D) este de clasa C' pe multimea deschisa D din Rⁿ daca f este continua, derivabila partial pe D si toate derivatele partiale f,j sunt functii continue pe D.

Se numeste multi - indice sau m - indice orice sistem ordonat de numere naturale a = (a1, a2, ........an), adica un element al multimii Nⁿ. Pentru orice multi - indice a є Nⁿ , a = (a1, a2, ........an), numarul natural /a / definit de /a/ = a1,/a2/, ......./.an, se numeste ordinul lui a.

Multimea E Rⁿ se numeste con deschis cu vârful în origine daca E este multime deschisa si odata cu punctul x = (x1, x2, ........xn) include semidreapta (OM), mai putin originea O.

Formula lui TAYLOR pentru o fonctie reala de variabila reala: Daca f є Cⁿ (I) si functia fⁿ este derivabila în interiorul intervalului real I atunci (") t є I si (") to є I exista ξ N є (to, t) astfel încât sa avem egalitatea:

N (k) k N-p+1 (N+1) p

f(t) = ∑ f (to) (t - to ) + (t - ξ N) · f · (ξ N) (t - to) .

k=0 k! pN!

Un câmp vectorial cu proprietatea ca divergenta acestuia este identic nula se numeste câmp solenoidal.

Se numeste plan tangent într-un punct al unei pânze netede locul geometric al tangentelor la respectiv toate drumurile netede ale caror imagini se afla pe imaginea pânzei si care trece prin acel punct.

Se numeste suprafata neteda o clasa de echivalenta în multimea pânzelor parametrice netede.

Se numeste rotorul câmpului vectorial F = (P, Q, R), câmpul vectorial rot F definit de :

rot F = ∂R _ ∂Q · i + ∂P _ ∂R · j + ∂Q _ ∂P · k

∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y

Formula lui TAYLOR pentru o functie reala de mai multe variabile reale:

f(x) = f(xo) + 1 df (xo; x-xo) + 1 d² f(xo; x-xo, x-xo) + ..........+ 1 d ⁿ f(xo; x-xo, x-xo,...., x-xo) +

1! 2! n! n ori

n+1

+ 1 d f(ξ N; x-xo, x-xo, ......x-xo).

(n+1)! (n + 1) ori

Punctul (xo, yo) є A se numeste punct de extrem local al functiei f cu restictia f(x,y) = 0 sau punct de extrem local conditionat al functiei f daca exista o vecinatate V є ν ((xo, yo)) astfel încât diferenta f(x, y) - f(xo, yo) sa pastreze semn constamt pentru orice (x,y) є V∩A. Punctul (xo, yo) se numeste punct de minim conditionat pentru functia f daca:

f(x, y) - f(xo, yo) ≥ 0, (") (x,y) є V∩A

si punct de maxim conditionat daca:

f(x, y) - f(xo, yo) ≤ 0, (") (x,y) є V∩A

Se numeste disc deschis de centru a = (a,b) si raza ε > 0 multimea B(a,ε) = unde d este metrica euclidiana pe R² iar d(x,a) = √ (x - a)² + (y - b)² este distanta dintre punctele x є R² si a є R².

Un punct a є R² se numeste punct interior al multimii D R² daca exista un ε > 0 astfel încât B(a, ε) D.

O multime D R² ale carei puncte sunt puncte interioare multimii însasi se numeste multime deschisa.

O multime D R² se spune ca este multime conexa daca oricare doua puncte ale ei pot fi unite printr-un arc de curba în întregime continut în D.

O multime deschisa si conexa se numeste domeniu.

Un punct a se numeste punct de frontiera al multimii D daca orice vecinatate a sa contine atât punctele care apartin lui D cât si puncte care nu apartin lui D. Totalitatea punctelor frontiara ale unei multimi se numeste frontiera acelei multimi.

O multime care-si contine toate punctele de frontiara se numeste multime închisa.

Un punct a se numeste punct limita sau punct de acumulare al multimii D R² daca exista un sir de puncte din D, cu termenii diferiti de a, convergent la a.

Criteriul de integrabilitate a lui DARBOUX: O functie marginita f(x,y) definita pe o multime marginita si carabila D R² este integrabila pe D daca si numai daca pentru orice ε > 0 exista un numar δ(ε), astfel încât oricare ar fi partitia ∆ a multimii D cu // ∆// < δ(ε) sa avem:

S (f) - s (f) < ε

Se numeste domeniu p+1 conex multimea D limitata de curba Ґo, din care s-au scos multimile limitate de curbele Ґ1, Ґ2, ......., Ґp. Frontiera unui asfel de domeniu D este reuniunea tuturor curbelor Ґk, k є 0,n . domeniul se numeste în plus compact daca îsi contine frontiera.

Se numeste placa materiala în planul Oxy ansamblul P dintre un domeniu simplu D R² si functia reala pdefinita si continua pe D. Multimea D se numeste configuratia placii iar functia p este este denumita densitatea de distributie a materiei în placa. Placa materiala se numeste omogena daca p este functia constanta pe D si neomogena când densitatea acesteia este variabila de la punct la punct.

Teorema lui CAUCHY: În Rⁿ un sir este convergent daca si numai daca el este sir Cauchy.

Se numeste pânza parametrica neteda functia vectoriala continua, de doua variabile reale.

Se numeste plan tangent în punctul Mo al unei pânze netede, locul geometric al tangentelor la respectiv toate drumurile netede care trec prin Mo ale caror imagini se afla pe imaginea pânzei.

Se numeste suprafata neteda o clasa de echivalenta în multimea pânzelor parametrice netede.

Se numeste normala în punctul M al unei suprafete netede (S), dreapta (N) determinata de punctul M si de unul din versorii normali ai suprafetei în acel punct.

Formula lui GAUSS - OSTROGRADSKI

P dydz + Q dzdx + R dxdy = ∂P + ∂Q + ∂R dxdydz

Se V ∂x ∂y ∂z

FORMULE PENTRU APLICAŢII:

X,d :X x X →R metrica daca:

a) d (x,y) ≥ 0, (") x,y R

d (x,y) = 0, x = y

b) d (x,y) = d(y,x), (") x,y X

c) d (x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y), (") x,y,z X

(V, +,·) → spatiu liniar daca:

"+" _ _ _ _ _ _ _ _ _

a) (u + v) + w = u + (v + w), (") u, v, w V

b) ( ) 0 V, u + 0 = 0 + u = u , (") u V

c) (") u V ( ) (-u) V; u + (-u) = (-u) + u = 0

d) u + v = v + u , (") u, v V

"·" _ _ _ _ _ _

a) a(u + v) = au + av , (") a K (") u, v V

b) (a + β) u = au + βu, (") a, β K (") u V

c) a(βu) = (aβ) u (") a, β K (") u V

d) 1·u = u, (") u V

Norme pe spatiul liniar :

a)       //u // ≥ 0, (") u V

//u // = 0 u = 0

b) //au // = /a / · //u //, (") a K, (") u V

c) // u + v // ≤ //u // + //u //, (") u, v V

Produse scalare: (R³, <· , ·>) <x,y> = x y + x y + x y

a) <x,x> ≥ 0 , (") x R³

<x,x> = 0 x = o

b) <x,y> = <y,x>, (") x,y R³

c) <lx,y> = l<x,y>, (") l R, (") x,y R³

d) <x+y,z> ≤<x,z> + <y,z> (") x,y,z R³

CRITERII DE CONVERGENŢĂ:

1)Criteriul de comparatie cu marginire I:

∞ ∞

Fie S an, S bn, cu an, bn 0, " n N*, presupunem ca exista M>0 si un rang no N* a.î. an Mbn, " n no

n=1 n=1

Atunci: a) daca Sbn (C) S an (C)

b) daca San (D) S bn (D)

2)criteriul de comparatie cu marginire II:

∞ ∞

Fie S an, S bn, cu an, bn 0, " n N*, presupunem ca exista no N* a.î. an+1/an bn+1/bn

n=1 n=1

Atunci: a) daca Sbn (C) S an (C)

b) daca San (D) S bn (D)

3)criteriul de comparatie cu limikte extreme:

∞ ∞

Fie S an, S bn, cu an, bn 0, fie l= lim an/bn l*=lim an/bn

n=1 n=1 n→∞ n→∞

Atunci: a) l* [0, ) Sbn (C) S an (C)

San (D) S bn (D)

b) l, (0, ) Sbn (C) S an (C)

San (D) S bn (D)

c) 0 < l, < l* < seriile au aceeasi natura

∞ ∞

S an ≈ S bn,

n=1 n=1

4)criteriul condensarii a lui Cauchy:

fie S an, an 0 ∞ ∞

daca sirul n este un sir monoton descrescator, atunci seria S an are aceiasi natura cu seria S 2ⁿ a2n

n=1 n=0

5)criteriul raportului lui D'Alembert cu limite extreme:

∞

fie S an, an > 0; fie l, = lim an+1/an si l* = lim an+1/an

n=1 n→∞ n→∞

atunci: a) daca l* < 1 seria S an (C)

b) daca l, > 1 seria S an (D)

c) daca l* l, sau l, 1 dubiu

6) criteriul radicalului a lui Cauchy - Hadamond:

∞

fie S an, an 0; l* = lim ⁿ an

n=1 n→∞

atunci: a) l* < 1 seria S an (C)

b) l* > 1 seria San (D)

c) l* = 1 dubiu

7)criteriul lui Raabe - Duhannel:

fie S an, an > 0; si l = lim n(an/an+1 - 1)

atunci: a) l > 1 seria S an (C)

b) l < 1 seria San (D)

c) l = 1 dubiu

8)criteriul lui Bertrand:

fie S an, an > 0; l = lim [n (an/an+1 -1) -1] ln n

atunci: a) l > 1 seria S an (C)

b) l < 1 seria San (D)

c) l = 1 dubiu

9)criteriul logaritmic:

fie S an, an > 0; l = lim ln 1/an / ln n

atunci: a) l > 1 seria S an (C)

b) l < 1 seria San (D)

c) l = 1 dubiu

10) criteriul integral al lui Cauchy:

fie S an, an 0

presupunem ca exista f:[1, ) R+ continua si monoton descrescatoare

an = f(n) ," n 1

atunci: S an (C) ((D)) (Fr) n (C)

Fn= 1 f(t) dt

(u^v)'= vu^(v-1) u' +u^v ln u + v'

²f / x² (x,y) = / x ( f / x) (x,y)

² / x y (x,y) = / x ( f / y) (x,y)

// (x,y) - (0,0) // = // (x,y) // = x² + y²

w / t = f / u u / t + f / v v / t

f / s (xo) = < v f(xo) , s >

criteriul în a

a)       daca exista a > 1 astfel încât lim x^a f(x) = e є [0 , ∞]

atunci integrala de la a la ∞ din f(x) dx (C)

b)       daca exista 0 < a ≤ 1 astfel încât lim x^a f(x) = e є (0, ∞]

atunci integrala de la la ∞ din f(x) dx (D)

criteriul în l

a) daca exista 0 < l < 1 astfel încât lim (b - x)^l f(x) = e є [0 , ∞)

atunci integrala de la a la b din f(x) dx (C)

b) daca exista l ≥ 1 atunci integrala de la 0 la b din f(x) dx (D)

sin² x = tg² x

1 + tg² x

cos² x = 1

1 + tg² x

sin² x = 1 - cos 2x

2

Formula lui LUBNIZ:

F(t) = integrala de la a(t) la β(t) din f(x , t) dx

F'(t) = integrala de la a(t) la β(t) din f / t (x , t) dx + β' (t) f (β (t), t) - a'(t) f (a (t), t)

b

∫ F(x, y, z) = ∫ F(φ(t), ψ (t), c (t)) √(φ'(t))² + (ψ'(t))² + (c'(t))²

Ґ a

B

∫ P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz =∫ [P(φ(t), ψ(t), c(t)) φ'(t)+Q(φ(t), ψ(t),c(t)) ψ'(t)+R(φ(t),ψ(t),c(t)) c'(t)]dt

Ґ a

Formula lui GREEN:

∫ P(x,y)dx + Q(x,y)dy = ∫∫ (∂Q/ ∂x - ∂P/ ∂y) dxdy

Ґ D

Z2(x,y)

∫∫∫ f(x,y,z) dxdydz = ∫∫ dxdy ∫ f(x,y,z) dz

G D z1(x,y)