Aplicatii ale formulei lui Taylor la dezvoltarea unor functii elementare

Aplicatii ale formulei lui Taylor la dezvoltarea unor functii elementare

Fie . Deoarece putem scrie

unde .

In consecinta, formula lui Taylor scrisa dupa puterile lui (dezvoltarea are loc in jurul punctului ), corespunzatoare functiei , cu restul lui Lagrange 747e41h se scrie

, (5.1.1)

unde, restul sub forma lui Lagrange are expresia

. (5.1.2)

Observatie Putem scrie extimarile

a) pentru orice , avem .

b) pentru orice , avem .

Fie , . In acest caz si avem

,

In consecinta, formula lui Taylor dupa puterile lui (in polinomul Taylor apar numai puterile pare ale lui ) poate fi scrisa astfel

, (5.1.3)

unde, restul sub forma lui Lagrange are expresia

. (5.1.4)

Putem scrie extimarea.

Fie , . Atunci si avem

,

Atunci putem scrie formula lui Taylor dupa puterile lui (in dezvoltare apar numai puterile impare ale lui )

, (5.1.5)

unde, restul sub forma lui Lagrange are expresia

. (5.1.6)

Din formula (16) deducem evaluarea.

Fie . Atunci si pentru orice avem

Atunci formula lui Taylor dupa puterile lui devine

, (5.1.7)

unde, restul sub forma lui Lagrange are expresia

. (5.1.8)

Daca din formula (16) obtinem. Daca atunci nu putem trage concluzii despre modul cum restul tinde catre zero, cand , deoarece alegerea lui depinde atat de cat si de . Folosind restul sub forma lui Cauchy,

, (5.1.9)

pe baza inegalitatilor inegalitatile , respectiv , putem scrie evaluarea

.

Daca , atunci formula lui Taylor poate fi scrisa dar restul nu tinde catre zero cand .

Observatie Daca in formula (17)  schimbam cu si cerem ca obtinem dezvoltarea functiei dupa puterile lui :

, (5.1.7')

Fie functia .

a)     Analizam cazul cand . Atunci functia este bine definita

pentru orice si admite derivate de orice ordin pe . Cum derivata de ordinul este identic nula deducem ca si avem

Atunci pentru dezvoltarea functiei folosim binomul lui Newton

pentru orice . (5.1.10)

b)     Pentru cazul cand nu este numar natural, atunci functia este bine

definita impreuna cu toate derivatele sale de orice ordin pentru orice . Asadar, putem scrie formulele

si formula lui Taylor, scrisa in jurul punctului , devine

, (5.1.11)

unde restul sub forma lui Lagrange are expresia

. (5.1.12)

Daca si atunci restul tinde la zero cand . In cazul cand , folosind restul sub forma lui Cauchy

. (5.1.13)

deducem ca restul tinde la zero cand . Pentru restul nu tinde catre zero cand .