CALCUL VECTORIAL

Vectori legati, vectori liberi. Vectori de pozitie

Operatii cu vectori. Versori

Coliniaritate. Coplanaritate. Reper cartezian

Produs scalar

Produs vectorial

Produs mixt

1.1. Vectori legati, vectori liberi. Vectori de pozitie

Definitia 1. Se numeste spatiu geometric, notat multimea tuturor punctelor din spatiu, notate cu litere mari ( .).

Planul va fi notat .

Definitia 2. Fie . Se numeste vector legat, segmentul orientat notat , unde

A se numeste punct de aplicatie si B se numeste extremitate. Un vector legat este caracterizat prin:

A punctul de aplicatie sau originea,

Dreapta AB directie sau suport,

Marimea segmentului marimea sau norma vectorului, notata ,

Sensul de la A la B.

Figura 1

Observatii

1. Vectorul se numeste vectorul opus vectorului si .
2. Vectorul se noteaza cu si se numeste vectorul nul.

Definitia 3. Doi vectori si se numesc echipolenti si se noteaza daca au acelasi suport sau suporturi paralele, au aceeasi marime si acelasi sens.

Definitia 4. Multimea tuturor vectorilor echipolenti cu un vector legat se numeste vectorul liber determinat de vectorul legat . Vom nota vectorii liberi cu litere mici cu sageata deasupra astfel: si vom scrie (corect ).

Observatie. este clasa de echivalenta a vectorului determinata de relatia de echivalenta " ".

Cu notam vectorul liber determinat de

Definitia 5. Multimea tuturor vectorilor liberi se va nota cu V₃.

Pentru un vector liber si orice punct exista un vector legat

Vom nota cu vectorul nul determinat de vectorul legat nul

Definitia 6. Fie oarecare, fixat (O este numit pol sau origine). Vectorul se numeste vectorul de pozitie al punctului A în raport cu originea O (figura 1).

Figura 2

1.2. Operatii cu vectori. Versori.

1. Adunarea vectorilor

Definitia 1. Fie , . Se numeste suma vectorilor si vectorul , (regula triunghiului) (figura 3).

Figura 3

Definitia 2. Fie si . Fie si fie diagonala paralelogramului construit pe si

Figura 4

Vectorul liber determinat de este prin definitie suma vectorilor liberi si , adica (regula paralelogramului).

Proprietati:

1. Comutativitate: ;
2. Asociativitate: ;
3. Existenta elementului nul: ;
4. Existenta elementului simetric: .

Din proprietatile a,b,c,d rezulta ca (V₃,+) este grup abelian (comutativ).

Propozitia 1. Fie , . Atunci .

Demonstratie: Din regula triunghiului avem:

.

Scazând în ambii membrii , obtinem:

, adica: .

Înmultirea cu scalari

Fie ,. Vectorul are urmatoarele proprietati:

1. Are aceeasi directie cu ,
2. Marimea vectorului este ,
3. Sensul vectorului este:

acelasi cu daca ,

sens opus lui daca ,

4. Daca , atunci prin definitie: .

Proprietati:

a. ;

b. ;

c. ;

d. , 1 elementul unitate din .

Definitie. Fie . Se numeste versorul vectorului nenul , un vector de marime 1 care are aceeasi directie si acelasi sens cu . Daca notam cu versorul lui , atunci: .

ntr-adevar, vectorul are aceeasi directie, acelasi sens cu , dar marimea lui este 1:

.

1.3 Coliniaritate. Coplanaritate. Reper cartezian

Definitia . Doi vectori se numesc coliniari daca au suporturi paralele sau coincid.

Propozitie: Doi vectori liberi nenuli , sunt coliniari (daca si numai daca) \ astfel încât .

Demonstratie:

Fie

Figura 5

" " Fie coliniari. Sa demonstram ca .

.

Dar ( fiind coliniari) .

" " Fie . Sa demonstram ca coliniari.

si au aceeasi directie.

Definitia 2. Trei vectori se numesc coplanari daca suporturile lor sunt paralele cu acelasi plan.

Propozitia 2. cu sunt coplanari daca si numai daca exista
l m astfel încât

Reper cartezian

Fie O E₃ un punct fixat din spatiu si trei axe Ox, Oy, Oz perpendiculare doua câte doua. Prin axa se înțelege o dreapta pe care s-a fixat un punct fix, numit origine, un sens si o unitate de masura. Notam cu versorii celor trei axe Ox, Oy, Oz, respectiv.

Figura 6

se numeste reper cartezian în E₃.

Propozitia 3. Fie un reper cartezian si un punct A din spatiu, atunci
x, y, z unice astfel încât

(1)

Numerele x, y, z se numesc coordonatele carteziene ale punctul A în raport cu reperul cartezian si vom nota A(x, y, z).

(1) se numeste expresia analitica a vectorului .

Demonstratie:

Figura 7

Fie M proiecția lui A pe planul xOy.

este coliniar cu x astfel încât

este coliniar cu y astfel încât

este coliniar cu z astfel încât .

Avem (regula triunghiului).

Dar

si (regula paralelogramului)

(din coliniaritate)

Propozitia 4. A, B E₃, reper. Daca A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂) atunci:

Demonstratie:

Daca este vectorul liber determinat de , vom nota cu a_x = x₂ - x₁, a_y = y₂ - y₁ si
a_z = z₂ - z₁. Rezulta ca

Numerele a_x, a_y si a_z sunt unic determinate si se numesc coordonatele (componentele) lui în raport cu reperul

1.4. Produs scalar

Definitia 1. Fie . Se numeste produsul scalar al vectorilor liberi si si se noteaza cu urmatorul numar:

unde q [0, p] unghiul format de suporturile celor doi vectori.

Propozitia 1. sunt ortogonali (suporturi perpendiculare) daca si numai daca produsul lor scalar este egal cu 0, .

Demonstratie:

q =

Proprietati:

1. - comutativitate;

2. - asociativitate;

3. Fie , .

Atunci (expresia analitica a produsului scalar), iar .

Demonstratie:

3. Se tine seama ca . Din expresia analitica a produsului scalar avem:

1.5. Produs vectorial

Definitie. Fie . Se numeste produsul vectorial al vectorilor si si se noteaza cu , vectorul liber caracterizat prin:

Directie perpendiculara pe planul format de suporturile lui si ;

Sens dat de regula burghiului, adica sensul sau coincide cu sensul de înaintare al unui burghiu care se roteste de la catre cu un unghi minim ;

Marime .

Fie O un punct în spatiu, si . Conform definitiei produsului vectorial, este perpendicular pe planul determinat de si , are sensul dat de regula burghiului, iar (vezi figura 8).

Figura 8

Proprietati:

1) - anticomutativ;

2) - distributivitatea produsului vectorial fata de adunarea vectorilor;

3) sau si au suporturile paralele;

4) .

Demonstratie:

2) Consideram O un punct din spatiu si , si , unde este versorul lui , deci . Fie de asemenea un plan P care trece prin O si este perpendicular pe OU.

Fig.

Fie proiectia ortogonala a punctului A pe planul P si fie vectorul obtinut prin rotirea cu 90⁰ (în planul P) a vectorului astfel încât , si sa respecte regula burghiului.

Avem .

De asemenea, avem ca este perpendicular pe si pe , deci . Daca notam cu D cel de al patrulea vârf al paralelogramului construit pe si , atunci .

Fie si proiectiile ortogonale ale punctelor B si D pe planul P si fie si punctele din planul P obtinute prin rotirea cu 90⁰ a vectorilor si .

Este evident ca patrulaterele si sunt paralelograme si ca , iar . Dar , si , deci :.

Amplificând aceasta relatie cu si tinem seama ca , obținem ca :

.

4) întrucât este perpendicular pe planul are sensul lui .

În plus , caci .

Interpretarea geometrica a produsului vectorial

Marimea a produsului vectorial a doi vectori liberi si , este aria paralelogramului format de suporturile celor doi vectori si .

Consideram O un punct în spatiu, . Construim pe suporturile celor doi vectori paralelogramul .

Demonstratie:

Figura 9

În particular, rezulta ca aria triunghiului este jumatate din aria acestui paralelogram, deci

Expresia analitica a produsului vectorial

Fie un reper cartezian si doi vectori liberi:

.

Atunci

,

determinant formal pe care îl dezvoltam dupa prima linie.

Demonstratie:

Ţinând cont de 4), de 1) si de 2) avem:

1.6. Produs mixt

Definitie. Fie . Se numeste produs mixt si se noteaza cu un numar definit astfel .

Proprietati:

1) ;

2) ;

3) = 0 vectorii sunt coplanari.

Într-adevar, daca

coplanari.

Interpretarea geometrica a produsului mixt

Modulul produsul mixt este egal cu volumul paralelipipedului oblic construit pe suporturile vectorilor si .

Demonstratie:

Fie un punct O în spatiu, si Fie de asemenea, unghiul dintre si si fie P proiectia ortogonala a punctului A pe planul determinat de si . Cum AP este paralela cu OD, rezulta ca masura unghiului OAP este .

Figura 9

Atunci volumul paralelipipedului oblic construit pe vectorii este :

, unde aria bazei este aria paralelogramului construit pe suporturile vectorilor si si este , iar înalțimea este :

Asadar avem, întrucât volumul trebuie sa fie pozitiv

Expresia analitica a produsului mixt

Fie vectorii si , cu expresiile lor analitice , si . Atunci :

Demonstratie. Ţinând seama de expresiile analitice ale produsului vectorial, respectiv scalar, deducem:

Probleme

1. Fie punct fixat din spațiu,,. Fie . Atunci (expresia vectorului de pozitie al unui punct M care împarte segmentul AB într-un raport dat).

Rezolvare:

Figura 1

Avem ca vectorii si sunt coliniari, atunci exista , astfel încât . Deci:

.

2. Fie punct fixat din spațiu,. Considram triunghiul DABC si fie AA', BB', CC' mediane. Sa se determine vectorii de pozitie ai punctelor A', B', C' si vectorii (în functie de vectorii de pozitie a vârfurilor DABC si a marimii laturilor).

Rezolvare:

Avem (conform problemei 1).

Analog .

.

Analog se calculeaza vectorii prin permutari circulare.

3) Fie reperul si punctele A(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), C(x₃, y₃, z₃). Sa se calculeze coordonatele carteziene ale mijloacelor segmentelor AB, BC, CA.

Rezolvare:

Figura 10

Fie si respectiv mijloacele segmentelor AB, BC, CA.

Vectorul de poziție al punctului este:

Analog se calculeaza coordonatele mijloacelor segmentelor BC, CA.

4) Se dau vectorii:

Sa se calculeze:

a)

b) proiectia ortogonala a lui pe , notata

c) aria paralelogramului construit pe cei 2 vectori;

d) sa se determine un versor perpendicular pe planul format de cei doi vectori.

Solutie:

a) ,

,

= .

b)

c) A_paralelogram

d) Versorul cautat este pe direcția normalei la planul planul format de vectorii (vezi figura 11),

Figura 11

adica este pe direcția produsului vectorial , deci este dat de expresia:

5) Fie urmatoarele puncte în spațiu : A(1, 2, -1), B(0, 1, 3), C(0, 1, 3). Sa se calculeze :

a) Vectorii de pozitie ai punctelor A, B, C si produsul mixt  ;

b)

c)

d) Aria triunghiului ABC,

e) Volumul tetraedrului OABC,

f) Înaltimea tetraedrului dusa din originea O.

Solutie:

a) , , .

b) .

.

.

c) .

d) .

e) = .

f) =

Probleme propuse

1. Sa se determine vectorul de pozitie al centrului de greutate al unui triunghi si coordonatele carteziene ale centrului de greutate.

2. Sa se determine vectorii de pozitie ai punctelor A', B', C' (AA', BB', CC' sunt bisectoare). Sa se determine vectorul de pozitie al centrului cercului înscris în DABC.

3. Fie A, B, C, D patru puncte din spatiu date într-un reper cartezian A(1, 0, -1), B(3, 1, 2), C(-1, 2, 3), D(2,1,-1). Sa se determine volumul tetraedrului ABCD.

4. Fie reperul. Sa se calculeze perimetrul DABC si unghiurile DABC pentru punctele A(1, 2, -1), B(0, 1, 3), C(0, 1, 3).