CORPURI

CUPRINS

INTRODUCERE

CAP.I. INELE

Definitia inelului. Exemple

Definitie : Fie A o multime inzestrata cu doua operatii binare notate prin simbolurile + si si numite operatie de adunare respectiv de înmultire. Tripletul (A,+, ) se numeste inel daca satisface conditiile ( axiomele)

(i)          (A,+) este grup abelian (comutativ) ;

(ii)        (A, ) este semigrup ;

(iii)       Pentru orice a, b, c A ,

a (b + c) = ab + ac

(a + b) c = ac + bc ,

adica operatia de înmultire este distributiva, atât la stânga cât si la dreapta, fata de operatia de adunare.

Observam ca A , deoarece cel putin elementul neutru fata de operatia de adunare trebuie sa apartina lui A, adica notând acest element prin 0 , neaparat 0A . Elementul 0 se numeste elementul zero al inelului, prin analogie cu numarul întreg zero, care joaca rolul de element neutru fata de operatia de adunare în Z.

Daca A nu contine alte elemente, diferite de elementul zero, atunci inelul (A,+, ) se numeste inel nul . Mai mult, se observa ca pentru orice multime formata dintr-un singur element exista o singura structura de inel, inelul nul.

Exemple de inele:

(Z,+, ), (Q,+, ), (R,+, ), (C,+, ) sunt inele comutative si unitare.

Mentionam ca multimea numerelor naturale , împreuna cu operatiile de adunare si înmultire , definite în modul cunoscut în aceasta multime , nu formeaza inel, întrucât (N, +) nu este grup.

(Z[i],+, ) numit inelul întregilor lui Gauss,

unde Z[i]=, iar operatiile + si sunt cele uzuale cu numere complexe. Se verifica usor ca (Z[i], +, ) este inel comutativ unitar.

(Zn ,+, ) este inel comutativ unitar, inelul claselor de resturi modulo n.

Exemple concrete de inele:

1. Presupunând cunoscuta constructia numerelor naturale N, precum si proprietatile operatiilor de adunare si înmultire cu numere naturale, putem construi inelul numerelor întregi. Pentru aceasta sa consideram produsul cartezian si definim în aceasta multime o relatie binara ≈ astfel

Relatia ≈ este o relatie în N x N, deci putem construi multimea cât  Z = N x N/_≈ , adica , unde

Definind în Z operatiile binare + si prin

se constata ca (Z, +, ) este un inel unitar si comutativ , având ca element zero clasa iar ca element unitate clasa . Pentru simplificarea scrierii se noteaza =1 si =1

Sa aratam ca inelul (Z, +, ) nu admite divizori ai lui zero nebanali. Pentru aceasta, fie si doua numere întregi pentru care ab = 0 , adica

deci,

de unde obtinem 444f59e

Daca m = n sau p = q , atunci sau

Daca m > n ( > fiind relatia de ordine definita în modul cunoscut în N) , atunci exista l N , l , astfel încât m = n + l , deci

(n + 1)p + nq = (n + 1)q +np

adica

np + lp + nq = nq + lq + np

de unde , aplicând legile comutativitatii si simplificarii valabile pentru operatiile din N , primim p = q , prin urmare .

În cazul m < n se obtine b = 0 , iar în cazul p < q sau p>q se obtine a = 0 .

2. Sa notam prin M_n multimea tuturor matricilor patratice de ordin n(n N)

având elementele dintr-un inel (A,+, ) . Definind operatiile de adunare si înmultire a matricilor în modul cunoscut, adica

(i, j= 1,2, ,n)

tripletul (M_n, +, ) devine inel. Elementul zero al acestui inel este matricea care are toate elementele egale cu elementul 0 A . Daca inelul poseda element

unitate, atunci si inelul (M_n, +, ) , poseda element unitate. De asemenea, se stie ca operatia de înmultire a matricilor este, în general, necomutativa , deci inelul (M_n, +, ), va fi necomutativ. În sfârsit, se constata ca (M_n, +, ) , admite divizori ai lui zero. Într-adevar, daca consideram de exemplu inelul matricilor cu elemente din Z, atunci

desi fiecare dintre matricile ce se înmultesc sunt diferite de matricea zero.

3. Fie (A, +, ) un inel si M o multime, M ≠ Ř . Sa notam prin A^M multimea tuturor functiilor de la M la A. Pentru fiecare f, g A^M sa definim suma si produsul acestor doua functii astfel:

(f + g) (x) = f(x) + g(x)

(f g) (x) = f(x) g(x)

Se observa imediat ca f + g si f g sunt functii de la M la A, adica f + g, f g A^M. Apoi se constata ca (A^M, +, ) formeaza un inel pentru care elementul zero este functia z : M A definita prin z(x) = 0 (x M) . Acest inel este cu element unitate daca (A, +, ) poseda element de unitate . Într-adevar , daca 1 A este elementul unitate în inelul (A, +, ) , atunci functia ε : M A, definita prin ε(x) =1 va fi element unitate în inelul (A^M, +, ). De asemenea , daca (A, +, ) este comutativ , atunci si inelul (A^M, +, ) va fi comutativ.

În sfârsit , se constata ca acest inel este cu divizori i lui zero. Pentru a dovedi acest lucru sa consideram , de exemplu , în inelul (Z^Z, +, ) functiile f, g : Z Z definite prin

daca x ≤ 0

daca x >

în rest

Observam ca pentru orice x Z avem (fg) (x) = f(x) g(x) = 0 , adica fg = z , desi atât f cât si g sunt diferite de elementul zero al inelului (Z^Z, +,

Proprietati de baza ale inelelor

Teorema 1.2.1. Pentru fiecare a A , a a = 0 .

Demonstratie. Pentru orice a A, a 0 = a(0 + 0) = a 0 + a 0 , deci simplificând în grupul aditiv (A, + ) prin a 0 , obtinem a 0 = 0 . Similar se demonstreaza ca 0 a = 0 .

Teorema 1.2.2. Pentru orice a, b, c A ,

a(b - c) = ab - ac ;

(a - b)c = ac - bc ,

adica operatia de înmultire este distributiva fata de operatia de scadere , atât la stânga cât si la dreapta .

Demonstratie. În grupul (A, +) operatia de scadere se defineste prin formula a - b = a + ( - b) , deci pentru orice a, b, c A , (b - c) + c = b , adica  a[(b - c) + c] = ab deci a(b - c) + ac = ab , de unde primim a(b - c) = ab - ac . A doua egalitate se demonstreaza similar .

Teorema 1.2.3. Pentru orice a, b A, ( - a)b = a(- b) = - ab si de asemenea ( - a)( - b) = ab .

Demonstratie. Daca a, b A , atunci ab + ( - a)b = [a + ( -a)]b = 0 b = 0 si la fel, ab + a( - b) = a[b + ( - b)] = 0 , deci ( - a)b = a( - b) = - ab .

Apoi , ( - a) ( - b) = - [a( - b)] = ab .

Inelul (A, +, ) se numeste inel cu element unitate (sau inel unitar) , daca satisface conditia :

(iv) Exista elementul 1 A , astfel încât pentru orice a A, a a = a.

Daca inelul (A, +, ) este unitar , atunci are sens sa vorbim despre elementele inversabile (simetrizabile) ale acestui inel. Anume, elementul a A se numeste inversabil daca exista a ^{- 1} A cu proprietatea aa ^{- 1} = a ^{- 1} a = 1 .

Teorema 1.2.4. Multimea elementelor inversabile ale inelului unitar (A, +, ) formeaza grup în raport cu operatia de înmultire indusa.

Demonstratie. Fie S = si sa aratam ca (S, ) satisface axiomele grupului :

Daca a, b S , atunci a ^{- 1} , b ^{- 1} A , astfel încât aa ^{- 1} = a ^{- 1} a = 1 si bb ^-1 = b ^{- 1} b = 1, deci

(ab) (b ^{- 1} a ^{- 1} ) = a(bb ^{- 1} )a ^{- 1} = a a ^{- 1} = aa ^{- 1} =1 ,

(b ^{- 1} a ^-1 )(ab) = b ^-1 (a ^-1 a)b = b ^-1 b = b ^-1 b = 1,

adica ab S .

Asociativitatea operatiei induse este evidenta , ea se transmite de la inelul (A, +,

Deoarece 1 1 = 1, obtinem 1 S si astfel acesta va juca rol de element neutru si pentru elementele din S.

În sfârsit , daca a S, atunci exista a ^-1 A astfel încât aa ^-1 = a ^-1 a = 1, deci întrucât proprietatea de "a fi simetric" este reciproca, obtinem ca a ^-1 S.

Inelul (A, +, ) se numeste comutativ daca satisface conditia:

(v)Pentru orice a, b A, ab = ba .

Fie (A, +, )un inel. Elementul a A se numeste divizor al lui zero , daca exista b A, b 0 , astfel încât ab = ba = 0

Observam imediat ca , pentru orice inel (A, +, ) nenul , elementul 0 este în mod banal divizor al lui zero. Prezinta interes faptul daca un inel admite si divizori ai lui zero nebanali .

Un inel care nu admite divizori ai lui zero nebanali se va numi inel fara divizori ai lui zero.

Inelul (A, +, ) se numeste domeniu de integritate daca este comutativ , cu element unitate si fara divizori ai lui zero .

Exemplu: (1) (Z, +, ) este un domeniu de integritate deoarece

- este comutativ

este unitar, -contine pe 1

nu are divizori ai lui zero

(Z_n , +,

Teorema 1.2.5. Daca (A, +, ) este inel si a A nu este divizor al lui zero, atunci ax = ay sau xa = ya implica x = y. În particular, intr-un domeniu de integritate este valabila legea simplificarii .

Demonstratie. Daca ax = ay , atunci ax - ay = 0, deci a(x - y) = 0, prin urmare x - y = 0 si astfel x = y .

Teorema 1.2.6. Elementele inversabile dintr-un inel unitar nu sunt divizori ai lui zero .

Demonstratie. Sa presupunem ca elementul a A este inversabil, adica exista a ^-1 A cu proprietatea aa ^-1 = a ^-1 a = 1 . Daca a a ar fi divizor al lui zero , atunci exista b a , b 0 , astfel încât ab = 0, deci a ^-1 (ab) = (a ^-1 a)b = b = 0, ceea ce contrazice faptul ca b

Din aceasta teorie rezulta ca un inel unitar este nenul , deoarece contine cel putin elementele 0 si 1 , 1

1.3. Subinele

Definitie. Fie (A,+, ) un inel si SA, S . Considerând operatiile induse în S din A, tripletul (S,+,) se numeste subinel al inelului (A,+, ) daca la rândul sau formeaza inel.

Teorema 1.3.1. Daca (A,+, ) este inel si SA, S , atunci S va fi subinel daca si numai daca se satisfac conditiile:

Pentru orice a, b S, a + b S (teorema de închidere a sumei);

Pentru orice a S, -a S ;

Pentru orice a, b S, a b S (conditia de închidere a produsului);

Demonstratie. Aceste conditii sunt evident necesare, deoarece coincid cu o. Observam insa ca ele sunt si suficiente . Într-adevar conditia (1) ne asigura închiderea parte din axiomele ce definesc inelul operatiei de adunare in S, legile asociativitatii si comutativitatii pastrându-se evident si pentru operatia de adunare indusa, Conditia (2) ne asigura existenta opusului pentru fiecare element din S . Apoi, observam ca deoarece S , exista a S  astfel încât , -a S , deci prin conditia (1) a + (-a) = 0 S . Proprietatea de asociativitate a operatiei de înmultire si legile distributivitatii ale acesteia fata de adunare se transmit de la întregul inel A.

Teorema 1.3.2. Daca (A,+, ) este inel si SA, S , atunci (S,+,) va fi subinel daca si numai daca satisface conditiile:

Pentru orice b S , a - b S (conditia de închidere a operatiei de scadere)

Pentru orice a, b S, a b S  (conditia de închidere a produsului).

Demonstratie. Daca (S,+,) este subinel, atunci din teorema(1.3.1.) rezulta ca pentru orice b S , -b S , deci pentru orice b S , a + (-b)= a - b S  si astfel este satisfacuta conditia (1) , iar conditia (2) coincide cu conditia (3) din teorema precedenta.

Invers, sa presupunem ca submultimea S satisface conditiile (1) si (2). Atunci, pentru orice a S , a - a = 0 S , deci pentru orice b S , 0- b = -b S  si astfel pentru orice a b S , a -(-b) = a + b S . Prin urmare se satisfac conditiile teoremei, 1.3.1. , deci (S,+,) este subinel al inelului (A,+,) .

Teorema 1.3.3. Daca (A,+, ) este inel si SA, S este o submultime finita a lui A, atunci (S,+,) va fi subinel daca si numai daca satisface conditiile:

(1) Pentru orice a, b S , a + b S ;

(2) Pentru orice a, b S, ab S .

Demonstratie. Conditiile sunt evident necesare. Sa aratam ca ele sunt si suficiente. Pentru aceasta observam ca este de ajuns sa demonstram ca este satisfacuta conditia (2) formulata în teorema 1.3.1. Fie S = si pentru a S sa notam a + S = . Se constata ca pentru orice a S, a + S = S, deci pentru orice a, b S ecuatia a + x = b are solutie în S. În particular, ecuatia a + x = a are solutie în S , deci exista x₀ S astfel încât x₀ + a = b. Prin urmare , pentru orice b S , b + 0 = ( x₀ + a ) + 0 = x₀ + ( a + 0 ) = x₀ + a = b, adica 0 joaca rol de element neutru pentru operatia de adunare din S. În sfârsit, din faptul ca pentru orice a S ecuatia a + x = 0 are solutie în S rezulta conditia de demonstrat.

Observam ca daca (A, +, ) este unitar si (S, +, ) este un subinel al acestui inel, atunci elementul 1 A nu apartine obligatoriu si lui S. Asa, de exemplu , (2Z, +, ) este un subinel al inelului (Z, +, ) pentru care 1 2Z.

Pentru fiecare inel (A, +, ) tripletele ( , +, ) si însasi (A, +, ) sunt subinele banale ale acestui inel. Exista insa inele care admit subinele nebanale . Un astfel de inel, este, de exemplu (Z, +, ) care admite ca subinele toate tripletele (nZ, +, ) , oricare ar fi n N.

Teorema 1.3.4. Daca S i ), i I , sunt subinele ale inelului (A, +,

atunci este subinel al inelului (A, +,

Demonstratie. Observam ca ≠ Ř, deoarece cel putin . Apoi, (, +, este subgrup al grupului (A, +, ), deci va fi suficient sa aratam ca operatia de înmultire indusa pe este închisa . Pentru aceasta, observam ca daca a, b , atunci pentru fiecare i I ; a, b S_i , deci pentru fiecare  i I; ab S_i , adica ab .

Se constata însa ca , în general, reuniunea unei familii de subinele nu este

subinel. Pentru a ne convinge de acest lucru s a consideram subinelele (2Z, +, ) si (3Z, +, ) ale inelului (Z, +, ) . Se stie ca operatia de adunare indusa pe submultimea 2Z 3Z nu este închisa , deci reuniunea acestor doua subinele nu va fi subinel al inelului (Z, +,

Cu toate acestea, este adevarat a urmatoarea afirmatie:

Teorema 1.3.5. Daca (Si, +, ), este o familie de subinele ale inelului (A, +, ) , atunci exista subinelul (S, +, ) al inelului cu proprietatile:

(1) Pentru fiecare i I ,S S_i ;

(2) Daca pentru fiecare i I subinel (S^', +, ) al inelului are proprietatea S^' S_i , atunci S^' S.

Subinelul (S, +, ) , astfel determinat, se numeste subinelul generat în inelul

(A, +, ) de familia de subinele S_i .

Demonstratie. Se considera multimea tuturor subinelelor (X, +, )ale inelului

(A, +, ) care poseda proprietatea ca pentru fiecare i I, X S_i . Aceasta multime este nevda , deoarece cel putin A poseda aceasta proprietate. Intersectia tuturor acestor subinele este un subinel care posed a proprietatile (1) si (2).

Teorema 1.3.6. Daca (A, +, ) este inel si M A, atunci exista subinelul (S, +, ) al inelului (A, +, ) cu proprietatile:

1. S M;
2. Daca (S^', +, ) este un subinel al inelului (A, +, ) cu proprietatea

S^' M, atunci S^' S .

Subinelul (S, +, ) astfel determinat, se numeste subinelul generat în inelul

(A, +, ) de submultimea M A . Evident, daca M = Ř, atunci subinelul generat de M coincide cu subinelul zero .

Deoarece teoremele precedente ne asigura numai existenta subinelului generat,

e bine sa aratam si modul cum se poate obtine efectiv acest subinel.

Teorema 1.3.7. Subinelul generat în inelul (A, +, ) de submultimea M A,

M ≠ Ř , este format din toate sumele finite de forma , unde x_k M sau - x_k M (k = 1, 2, ., n) . În particular, subinelul generat de familia de subinele (S_j, + , ) i I , va fi format din toate sumele finite de forma , unde x_k

Demonstratie. Notând , se constata ca S M si ca diferenta si produsul a doua elemente din S sunt tot elemente din S. Deci (S, +, ), este un subinel al inelului (A, +, ) . Apoi, daca (S', +, ) este un

subinel al inelului (A, +, ) care contine pe M, atunci acesta (prin calitatea sa de subinel) va contine si elementele din S, deci S' S .

În sfârsit, observam ca oricare ar fi subinelele (S₁, +, ) si (S₂, +, ) ale inelului (A, +, ) , S₁ S₂ Inf . De asemenea, notând prin <S₁ S₂> subinelul generat de aceste subinele, prin (2.7), < S₁ S₂> Sup

Exemple:

Daca A este un inel, atunci A si sunt subinele, numite subinele improprii.

(Z, +, ) si (Q, +, ) sunt subinele ale inelului (R, +,

Z Q R sunt subinele unul în altul , cu adunarea si înmultirea numerelor .

Ideale

Definitie Fie (A, +, ) un inel si IA , I . Consideram operatiile induse în I din A, tripletul (I, +, ) se numeste ideal al inelului (A, +, ) daca satisface conditiile:

(i) Pentru orice a , b I, a - b I ;

(ii) Pentru orice x A si orice , a I, xa I ;

(iii) Pentru orice x A si orice a I, ax I .

Din conditia (i) rezulta ca (I, +) este un subgrup al grupului aditiv (A, +) iar din conditia (ii) sau (iii) rezulta ca pentru orice a, b I avem ab I. Deci fiecare ideal al inelului (A, +, ) este, în particular, un subinel al acestui inel. Afirmatia inversa nu este, în general, adevarata . Într-adevar , de exemplu, (Z, +, ) este un subinel al inelului (Q, +, ) fara a fi ideal.

Daca sunt satisfacute numai conditiile (i) si (ii, atunci tripletul (I, +, ) se numeste ideal stâng al inelului (A, +, ) iar daca satisfac conditiile (i) si (iii) , atunci (I, +, ) se numeste ideal drept . Aceste notiuni sunt distincte, în sensul ca idealele stângi ale unui inel nu coincid obligatoriu cu idealele drepte. Asa de exemplu, daca în inelul matricilor patratice de ordin n,n > 1, cu elemente din Z, am considera multimea matricilor care au elementele de pe prima coloana egale cu zero, se va constata ca acestea formeaza un ideal stâng , fara a fi si un ideal drept. Cu toate acestea, în continuare ne vom ocupa numai de idealele bilaterale, pe care le vom numi, simplu, ideale.

Teorema 1.4.1. Daca (A, +, ) este un inel cu element unitate si IA, I , atunci (I, +, ) va fi ideal daca si numai daca satisface conditiile:

(1) Pentru orice a,b I, a + b I ;

(2) Pentru orice x A si orice a I , xa I ;

(3) Pentru orice x A si orice a I, ax I .

Demonstratie. Întrucât (i) este o conditie necesara si suficienta pentru ca (I, +) sa fie subgrup al grupului (A, +), din (i) rezula (1) . Invers, pentru orice b I , din -1 A si din (2) rezulta -b I , adica pentru orice a,b I , a + (-b) = a - b I .

Pentru fiecare inel (A, +, ) , tripletele ( ) si însasi (A, +, ) sunt exemple banale de ideale . Un ideal al lui (A, +, ) nebanal se numeste ideal propriu. Inelele fara ideale proprii se numesc inele simple . Un exemplu de inel cu ideale proprii este (Z, +, ) . Într-adevar, se constata usor ca toate subinelele acestui inel , adica tripletele (nZ, +, ) , n N , sunt ideale ale inelului numerelor întregi .

De asemenea se constata ca inelul (Q, +, ) nu admite ideale proprii , adica este simplu . De altfel , este adevarata urmatoarea afirmatie mai generala :

Teorema 1.4.2. Fiecare corp este inel simplu.

Demonstratie. Daca (I, +, ) este ideal al corpului (A, +, ) , atunci întrucât I ≠ Ř , exista a I si a ^{- 1} A astfel încât aa ^{- 1} = 1 I . Deci , oricare ar fi x A , x = x I si astfel I = A.

Mentionam ca nu orice inel simplu este obligatoriu corp, adica inelele simple nu sunt epuizate de corpuri. Pentru a ne convinge de acest lucru demonstram urmatoarea teorema :

Teorema 1.4.3. Inelul matricilor de ordin n, n > 1 , cu elemente dintr-un corp este simplu, desi acest inel nu este corp.

Demonstratie. Fie (M_n, +, ) inelul matricilor patratice de ordin n cu elemente din corpul (A, +, ) si (I, +, ) un ideal nenul al acestui inel. Deci, exista matricea care contine cel putin un element diferit de zero, de exemplu a_kl ≠ 0.

Deoarece (A, +, ) este corp, pentru orice b A exista x, y A, astfel încât b= xa_kly

Notând prin c_ij matricea din M_n care are pe locul i, j) elementul c A , iar în rest zero si tinând cont de definitia operatiei de înmultire a matricilor, pentru orice l s si orice t n,

Întrucât (I, +, ) este ideal în (M_n, +, ) , si cum orice matrice din M_n se poate reprezenta ca o suma de matrici de forma b_st , rezulta ca M_n I , adica I = M_n .

Teorema 1.4.4. Daca (I_a ), este o familie de ideale ale inelului (A, +, ), atunci este un ideal al inelului (A, +,

Demonstratie. este un subgrup al grupului aditiv (A, +) , deci ramâne sa aratam ca satisface conditiile (ii) s i (iii) din definitia idealului. Pentru aceasta, observam ca daca a , atunci a I_a , pentru fiecare a W , deci pentru orice x A si orice xa I_a , adica xa si ax .

Mentionam ca reuniunea unei familii de ideale ale unui inel nu este obligatoriu un ideal. Asa, de exemplu, se s tie ca în inelul (Z, +, ) , tripletele (2Z, +, ) si (3Z, +, ) sunt ideale, însa reuniunea lor nu este subinel al inelului (Z, +, ), deci nu va fi nici ideal în acest inel.

Teorema 1.4.5. Daca (I_a a W este o familie de ideale ale inelului (A, +, ) , atunci exista idealul (I, +, ) al inelului (A, +, ) cu proprietatile:

(i)          Pentru fiecare a W, I I_a

(ii)        Daca (I ) este ideal al inelului (A, +, ) cu proprietatea ca pentru orice a W , I I_a , atunci I I .

Idealul (I, +, ) , astfel determinat se numeste idealul generat în inelul (A, +, ) de familia de ideale (I_a ) .

Acelasi rationament ne conduce la urmatoarea afirmatie mai generala :

Teorema 1.4.6. Daca (A, +, ) este un inel si M A , atunci exista idealul (I, +, ) al inelului (A, +, ) cu proprietatile:

I M;

Daca idealul (I ) al idealului (A, +, ) are proprietatea I M , atunci I I.

Idealul (I, +, ) astfel determinat se numeste idealul generat în inelul (A, +, ) de submultimea M A . Evident daca M ≠ Ř , atunci idealul generat de M este idealul zero.

Prin teorema ce urmeaza obtinem constructia efectiva a idealului generat de o submultime într-un inel unitar.

Teorema 1.4.7. Daca (I, +, ) este idealul generat de submultimea M, M ≠ Ř , a inelului unitar (A, +, ), atunci elementele lui I sunt toate sumele finite de forma , unde a_i b_i A si x_i M .

Demonstratie. Daca , atunci observam ca diferenta a doua elemente din S este tot un element din S si înmultind la stânga sau dreapta un element din S cu un element din A obtinem tot un element din S, deci (S, +, ) este un ideal al inelului (A, +, ) . Deoarece (A, +, ) este inel unitar, S M , deci în baza definitiei idealului generat S I . Pe de alta parte, deoarece (I, +, ) este ideal si I M, I S deci I = S .

si în cazul idealelor, la fel ca în cazul subinelelor unui inel, se observa ca

oricare ar fi(I₁, +, ) si (I₂, +, ) ideale ale inelului (A, +, ) , I₁ I₂ Inf I₁ , I₂

De asemenea, notând prin < I₁ I₂> idealul generat de aceste doua ideale în inelul (A, +, ) obtinem ca <I₁ I₂> Sup . Prin urmare, tinând cont de definitia laticii, obtinem:

Teorema Multimea idealelor unui inel formeaza latice în raport cu

ordonarea prin incluziune.

Pentru obtinerea efectiv a a dealului generat de doua ideale ale unui inel,

formulam urmatoarea teorema :

Teorema (3.9). Daca (I₁, +, ) si (I₂, +, ) sunt ideale ale inelului (A, +, ) , atunci <I₁ I₂> este format din toate elementele de forma a +b , unde a I₁ si b I₂ .

Demonstratie. Sa notam I = si sa aratam ca  I = <I₁ I₂> . Observam mai întâi ca I I₁ si I I₂ , iar I < I₁ I₂ > . Deci tinând cont de definitia idealului generat , va trebui sa demonstram numai ca (I, +, ) este ideal . (I, +) este subgrup normal al grupului aditiv (A, +) , deci pentru orice a, b , a - b I .

Apoi, daca x A si h I, atunci exista a I₁ si b I₂ , astfel încât h = a + b, deci xh = x(a + b) = xa + xb , unde xa I₁ ;i xb I₂ , adica xh I . Asemanator se arata ca pentru x A si h I , hx I .

Inel factor (algebra pt perfectionarea prof. )

Notiunea de ideal a fost definita pornind de la proprietatile pe care le au nucleele morfismelor de inele . În continuare vom constata ca pentru orice ideal bilateral exista un morfism de inele al carui nucleu este chiar idealul dat . În acest mod , notiunea de ideal bilateral joaca în teoria inelelor acelasi rol pe care îl joaca notiunea de subgrup normal în teoria grupurilor.

Fie (A, +, ) un inel si I un ideal bilateral al sau . În particular I este un subgrup (normal) al grupului abelian (A, +) . Relatia definita pe R în modul urmator:

x ≡ y (mod I) x - y I

este o relatie de echivalenta compatibila cu operatia aditiva pe R . Aceasta proprietate face posibila extinderea operatiei " + " de la elementele lui R la clasele de echivalenta în raport cu relatia " ≡ " , prin

+ = ??????

O clasa de echivalenta în raport cu relatia " ≡ " este de forma = x + I = .

În raport cu aceasta operatie multimea R / ≡ a claselor de echivalenta are o structura de grup abelian. Elementul neutru al acestui grup este = I .

Vom studia în continuare comportarea relatiei " ≡ " în raport cu înmultirea.

1.5.1. Lema. Daca I este un ideal bilateral al inelului (A, +, ) atunci relatia de echivalenta " ≡ " definita prin (1) este compatibila cu operatia " " din inelul A.

Demonstratie. Fie x ≡ x₁ (mod I) si y ≡ y₁(mod I). Exista a, b i astfel încât x - x₁ = a I si y - y₁ = b I .

x y = (x₁ + a)(y₁ + b) = x₁y₁ + ay₁ + x₁b + ab

xy - x₁y₁ = ay₁ + x₁b + ab I

Ultima relatie rezulta din faptul ca I este ideal bilateral si arata tocmai xy ≡ x₁y₁ (mod I) .

Ca si în cazul grupurilor , multimea claselor de echivalenta în raport cu idealul I o vom nota cu A / I.

1.5.2. Teorema. Multimea A / I are o structura de inel în raport cu operatiile definite astfel :

+ = ???????

= ??????

Demonstratie. Pentru a nu complica scrierea am folosit notatiile " + " si " " pentru operatiile cu clase de echivalenta ca si pentru operatiile cu elementele din A de operatiile din A / I dupa natura elementelor cu care se lucreaza.

Dupa cum amamintit la începutul paragrafului , multimea A / I are o structura de grup abelian în raport cu « + ». Din lema 1.5.1. rezulta ca operatia multiplicativa cu clasele de echivalenta este bine definita. Prin calcul verificam ca aceasta operatie este asociativa :

=  ? ? ??+

si distributiva fata de adunare :

Inelul factor (A/I, +, poarta numele de inel factor al inelului A în raport cu idealul sau bilateral I .

Daca A este inel unitar si 1 este elementul sau unitate , atunci este element unitate al inelului A/I . Într-adevar , pentru orice A/I , deducem :

= ?????

De asemenea , daca A este inel comutativ , atunci printr-un calcul simplu putem arata ca si A/I este inel comutativ .

Morfisme de inele

Fie (A, +, ) si (B, +, ) doua inele . Functia f : A B se numeste morfism de inelul (A, +, ) la inelul (B, +, ) daca pentru orice a₁, a₂ A se satisfac conditiile:

(i)          f(a₁ + a₂) = f(a₁) + f(a₂)

(ii)        f(a₁a₂) = f(a₁) f(a₂) ,

adica functia este compatibila cu operatiile de adunare si de înmultire.

Acest morfism se va numi injectiv, surjectiv sau bijectiv daca functia f : A B este respectiv injectiva , surjectiva sau bijectiva. De asemenea , morfismele de la un inel (A, +, ) la el însusi se mai numesc endomorfisme, iar endomorfismele bijective se numesc automorfisme.

În continuare, daca nu va exista nici un pericol de confuzie vom nota inelul (A, +, ) simplu prin A.

Sa dam câteva exemple de morfisme de inele :

(1)Pentru fiecare inel (A, +, ) , functia 1_A : A A este un automorfism.

(2)Fie (A, +, ) un inel unitar si a A un element inversabil, adica exista a ^-1 A astfel încât aa^-1 = a^-1 a = 1. Atunci functia j_a : A A definita prin j_a(x) = axa^-1 este un automorfism . Într-adevar , pentru orice x₁, x₂ A

j_a(x₁ + x₂) = a(x₁ + x₂)a^-1 = ax₁a^-1 + ax₂a^-1 = j_a(x₁) + j_a(x₂)

si de asemenea ,

j_a(x₁ x₂) = a(x₁ x₂)a^-1 = (ax₁a^-1 )( ax₂a^-1 )= j_a(x₁) j_a(x₂)

Apoi, daca j_a(x₁) = j_a(x₂) , atunci ax₁a^-1 = ax₂a^-1 , adica a^-1 ax₁ a^-1 =a^-1 ax₂a^-1 ,

deci x₁a^-1 = x₂a^-1 si astfel x₁ = x₂ . În sfârsit , pentru orice y A , exista a^-1ya A astfel încât j_a(a^-1ya) = a(a^-1ya)a^-1 = y .

3. Fie (A, +, ) si (B, +, ) doua inele .Definind în multimea A x B doua operatii binare prin

(a₁, b₁) + (a₂, b₂) = (a₁ + a₂ , b₁ + b₂)

(a₁, b₁) (a₂, b₂) = (a₁ a₂ , b₁ b₂)

se constata imediat ca (A x B, + , ) devine inel.

Functiile i₁ : A A x B si i₂ : B A x B definite prin i₁(a) = (a, 0) si i₂(b) = (0, b) sunt morfisme injective, iar functiile p₁ : A x B A si p₂ : A x B B definite prin p ₁((a, b)) = a si p₂ ((a, b)) = b sunt morfisme surjective.

Mentionam ca daca A si B sunt inele unitare, pentru care 1 A este element unitate în A si 1^' B element unitate în B , iar f : A B este un morfism de inele , atunci morfismul f nu pastreaza obligatoriu unitatea, adica în general f(1) 1' . Daca aceasta proprietate este însa satisfacuta , vom spune ca morfismul f este unitar.

Studiem în continuare , câteva proprietati ale morfismelor de inele .

Teorema 1.6.1. daca f : A B este un morfism de la inelul A la inelul B , atunci

(1) f(0) = 0 ;

(2) f(-a) = -f(a) .

Demonstratie. Întrucât f este , în particular , un morfism de la grupul aditiv (A, +) , la grupul aditiv (B, +) , egalitatile mentionate sunt o consecinta imediata a teoremei .....

Teorema 1.6.2. Daca f : A B si g : B C sunt morfisme de inele, atunci gf : A C este morfism de la inelul A la inelul C . Mai mult , daca f si g sunt morfisme injective, surjective sau bijective, atunci la fel este si morfismul g f .

Demonstratie. Este suficient sa aratam ca se satisface a doua conditie din definitia morfismului de inele. Pentru aceasta observam ca daca a, b A , atunci

(gf) (ab) = g(f(ab)) = g(f(a) f(b)) = g(f(a)) g(f(b )) =

= (gf )(a) (gf)(b) .

Teorema 1.6.3. Daca f : A B este un morfism de inele si A₁ A este un subinel al inelului A , atunci f(A₁) este subinel al inelului B . În particular f(A) va fi subinel al inelului B , numit imaginea morfismului f si notata prin Im f.

Demonstratie. Deoarece f este morfism de la grupul aditiv al inelului A la grupul aditiv al inelului B , f(A) este un subgrup al grupului aditiv B . Ramâne de aratat ca pentru orice b₁, b₂ f(A₁), b₁b₂ f(A₁) . Pentru aceasta , observam ca exista a₁, a₂ A , astfel încât b₁ = f(a₁) si b₂ = f(a₂) , deci b₁b₂ = f(a₁) f(a₂) = f(a₁a₂) f(A₁) .

Teorema 1.6.4. Daca f : A B este un morfism de inele si B₁ B este un subinel al inelului B , atunci f ^-1(B₁) este un subinel al inelului A . În particular , f^-1() va fi un subinel al inelului A, numit nucleul morfismului f ;i notat prin Ker f .

Demonstratie. Se stie ca f^-1(B₁) este un subgrup la grupului aditiv (A, +) . Sa aratam ca f^-1(B₁) este chiar un subinel al inelului A. Pentru aceasta, fie a₁,a₂ f^-1 (B₁), adica f(a₁) B₁ si f(a₂) B₁ , deci f(a₁a₂) B ₁ si astfel a₁a₂ f^-1(B₁) .

Teorema 1.6.5. Daca f : A B este un morfism de inele si I B este un ideal al inelului B, atunci f^-1(I) va fi ideal în A. În particular, Ker f = f^-1 () va fi ideal în A.

Demonstratie. Din teorema precedenta rezulta ca f^-1(I) este subinel al inelului A adica prima conditie din definitia idealului este satisfacuta. Sa aratam ca se satisface si a doua conditie. Pentru aceasta, fie x A si a f^-1(I), deci

f(xa) = f(x) f(a) I si la fel f(ax) = f(a) f(x I) , prin urmare xa , ax f^-1(I) .

Mentionam ca imaginea directa a unui ideal I al inelului A prin morfismul f : A B nu este neaparat un ideal al inelului B. Cu toate acestea , este adevarata afirmatia:

Teorema 1.6.5 Daca f :A B este un morfism de inele surjectiv si IA este un ideal al inelului A, atunci f(I) este un ideal al inelului B.

Demonstratie. Evident este suficient sa aratam ca daca y B si b f(I), atunci by I si yb f(I) . Din faptul ca b f(I) rezulta ca exista a I astfel încât b = f(a) , iar din faptul ca f este morfism surjectiv rezulta ca exista x A astfel încât y = f(x) . În plus, ax I si xa I , deci by = f(a) f(x) = f(ax) f(I) si yb = f(x) f(a) =  = f(xa) f( I ) .

Teorema 1.6.6. Morfismul de inele f : A B este injectiv daca si numai daca Ker f =

Demonstratie. Afirmatia este o consecinta/????????????

Teorema 1.6.7. Morfismul de inele f : A B este surjectiv daca si numai daca Im f = B .

Demonstratie. Inelele A si B se numesc izomorfe daca exista morfismele f : A B si g : B A astfel încât :

(i)          g f = 1_A ;

(ii)        f g = 1_B .

si de data aceasta se poate arata ca izomorfismul de inele poate fi caracterizat complet de notiunea de morfism bijectiv, anume :

Teorema 1.6.8. Inelele A si B sunt izomorfe daca si numai daca exista cel putin un morfism bijectiv f : A B .

Demonstratie. Daca A si B sunt izomorfe ca inele , atunci exista morfismele f si g astfel încât g f = 1_A si f g = 1_B . Se constata imediat ca f : A B este morfism bijectiv.

Invers sa presupunem ca f : A B este un morfism bijectiv de inele. Atunci, f este în particular si un morfism bijectiv de grupuri, deci exista morfismul de grupuri f^-1 : B A cu proprietatea f ^-1 f = 1_A si f f ^-1 = 1_B . Ramâne sa aratam ca f^-1 : B A este chiar un orfism de inele. Pentru aceasta, observam ca daca b₁ b₂ B , atunci f(f ^-1(b₁ b₂)) = b₁b₂ si f(f ^-1 (b₁) f ^-1 (b₂)) = f(f ^-1 (b₁)) f(f ^-1 (b₂)) deci, întrucât f este injectiva , avem f ^-1 (b₁b₂) = f ^-1 (b₁) f ^-1 (b₂) .

Teorema 1.6.9. Fiecarui ideal I al inelului A i se poate asocia un inel factor A / _I ;I un morfism surjectiv g : A A / _I astfel încât Ker g = I .

Demonstratie. În grupul comutativ (A, +) , idealul I este evident un subgrup normal. Deci , exista grupul factor A _I , unde  a + I = , iar operatia grupala se defineste prin

(a + I) + (b + I) = (a + b) + I

Sa definim în multimea cât A / _I o noua operatie binara , astfel :

(a + I) (b + I) = ab + I

Observam, mai întâi, ca operatia astfel definita nu depinde e alegerea reprezentantilor , în sensul ca daca a₁ a + I si b₁ b + I , atunci a₁b₁ + I = ab + I . Într-adevar, daca x a₁b₁ + I , atunci exista h₁ I astfel încât x = a₁b₁ + h₁ . Apoi din faptul ca a₁ a + I si b₁ b + I rezulta ca exista h₂, h₃ I astfel încât a₁ = a + h₂ si b₁ = b + h₃ , deci x = (a + h₂)(b + h₃) + h₁ = ab + ah₃ + h₂b + h₂h₃ + h₁ . Dar întrucât i este ideal , ah₃ + h₂b + h₂h₃ + h₁ I adica exista  h = ah₃ + h₂b + h₂h₃ + h₁ I astfel încât x = ab + h , deci x ab + I si astfel a₁b₁ + I ab + I . Asemanator se arata ca ab + I a₁b₁ + I .

În continuare se verifica imediat ca operatia de înmultire este asociativa , deci (A / _I , + , ) formeaza un inel . Elementul nul al inelului factor A / _I este clasa 0 + I = I , unde 0 este elementul zero din inelul (A, +,

Aplicatia g : A A _I definita prin g(a) = a + I este un morfism surjectiv , asa cum rezulta din definitia operatiilor din inelul cât .

În sfârsit, se observa ca pentru orice a A , a + I = I daca si numai daca a I , deci Ker g = = I .

Teorema 1.6.10. (Prima terema de izomorfism). Daca f : A B este morfism de inele atunci A / _{Kef f} si Im f sunt inele izomorfe.

Demonstratie. Prin teorema 1.6.5. , Ker f = f ^-1 () este ideal al inelului A deci în baza teoremei precedente exista inelul factor A _{Ker f} , unde a + Ker f ) .

Definind functia h_f : A _{Ker f} Im f prin h_f (a + Ker f ) = f(a) se constata ca h_f este morfism bijectiv , adica inelele A _{Ker f} si Im f sunt izomorfe .

CAP. II. CORPURI

Definitia corpului. Exemple

Definitie: Un inel unitar (A, +, ) se numeste corp daca fiecare element nenul al inelului este inversabil , adica daca satisface conditia :

Pentru fiecare a A* , unde A* = A \ , exista a ^-1 A astfel încât  aa ^-1 = a ^-1 a = 1

Prin urmare , daca (A, +, ) este corp , atunci (A*, ) se numeste corp comutativ sau câmp.

Observatie

Pe orice multime formata din doua elemente distincte exista o singura structura de corp. Daca notam cu 0 si 1 aceste elemente, atunci adunarea si înmultirea nu pot fi definite decât in modul urmator:

0 1 0 1

0 0 1 0 0 0

1 1 0 1 0 1

Exemple:

1. (Q,+, ), (R,+, ), (C,+, ) sunt corpuri comutative.

2. Corpul Z al claselor de resturi modulo p, cu p prim. Daca p 0 este un numar natural prim, atunci rezulta ca Z este corp.

Proprietati de baza ale corpurilor.

Teorema 2.2.1. Într-un corp nu exista divizor al lui zero.

Fie (A, +, ) un inel . Deoarece (A, +) este un grup , pentru orice a A si orice n Z putem defini elementul na in mod recursiv prin conditiile:

(i)          a = 0

(ii)        na = (n -1)a + a daca n >0 ;

(iii)       na = (n + 1)a - a daca n <0.

Observam ca este vorba de transpunerea în limbaj aditiv a definitiei puterii unui element dintr-un grup multiplicativ .

Pentru orice a A si orice n Z ,

na = -n ( -a ) = -(-na) ;

Pentru orice a A si orice m,n Z ,

ma + na = (n + n)a si n(ma) = (nm)a ;

Pentru orice a,b A si orice n Z ,

n(a + b) = na + nb .

De asemenea, întrucât (A, ) este semigrup, pentru orice a A si orice n Z , n > 0 , se poate defini elementul aⁿ A , anume aⁿ = , astfel încât pentru orice a A si pentru orice m, n Z , a^m aⁿ = a^m+n si (a^m)ⁿ = a^mn .

Daca inelul (A, +, ) este comutativ, atunci pentru orice a, b A si orice n Z , n >0, (ab)ⁿ = aⁿ bⁿ .

Mai mult, daca (A, +, ) este corp , atunci (A*, ) este grup, deci pentru fiecare a A a 0, se poate defini elementul aⁿ unde n Z. În acest caz, regulile de calcul cu puteri sunt:

(1) Pentru orice a A* si orice n Z, aⁿ = (a ^-1 ) ^-n = (a ^-n ) ^-1 ;

(2) Pentru orice a A* si orice n Z, a^maⁿ = a^{m + n} si (a^m)ⁿ = a^mn ;

(3) Daca (A, +, ) este corp comutativ , atunci pentru orice a, b A* si orice n Z , (ab)ⁿ = aⁿbⁿ .

Subcorpuri

Definitie. Daca (A, +, ) este inel unitar sau corp si S A , S Ř  , atunci (S, +, ) va fi subcorp daca si numai daca satisface urmatoarele conditii :

(i)          Pentru orice a, b S, a + b S ;

(ii)        Pentru orice a, b S, a b S ;

(iii)       Pentru orice a S, -a S ;

(iv)      Pentru orice a, b S, a - b S

Avem in plus conditia:

Pentru fiecare a S*, exista a ^-1 S* astfel încât aa ^-1 = a ^-1 a = 1 adica elementele diferite de zero sunt inversabile .

Teorema 2.3.1. Daca (A, +, ) este corp si S A , S Ř  este o submultime finita a lui A , atunci (S, +, ) va fi subcorp daca îndeplineste urmatoarele conditii :

(1) Pentru orice a, b S , a + b S ;

(2) Pentru orice a, b S, ab S .

Exemple:

(1) Fie A un corp. Atunci A este evident subcorp al lui A.

(2) Q este un subcorp al lui R cu adunarea si înmultirea numerelor reale.

(3) Q( ) este un subcorp al corpului R al numerelor reale.

(4) Z si Q nu au alte subcorpuri in afara de ele insele

Corpuri prime

Fie (A, +, ) un corp notat cu A. Atunci A poate fi privit si ca subcorp în A. Un subcorp al lui A diferit de A se numeste subcorp propriu al lui A. Se numeste subcorp prim , un corp care nu are subcorpuri proprii. Deci într-un astfel de corp orice subcorp coincide cu corpul însusi.

Propozitie. Corpurile Q si Z_p, p > 0, numar întreg prim , sunt corpuri prime.

Demonstratie. Fie A un subcorp al lui Q. Atunci 1 A , de unde deducem ca pentru n Z, n > 0 , n A, caci n = 1 + 1 + 1 + . + 1 de n ori. Apoi obtinem -n A. Deci Z A . Cum inversele elementelor din Z trebuie sa fie si ele în A rezulta A = Q

Fie p > 1 un numar întreg prim . Atunci Z_p are p elemente , , .,

Orice subcorp A al lui Z_p contine pe si pe . Pentru orice , 0 ≤ r ≤ p-1, avem = + + . + de r ori. Prin urmare A = Z_p .

Ne propunem sa aratam ca Q si Z_p sunt singurele corpuri prime. Pentru aceasta este suficient sa mai demonstram urmatoarea propozitie.

Propozitie. Orice corp contine un subcorp izomorf cu unul si numai unul dintre corpurile Q sau Z_p, p > 0 , numar întreg prim .

Demonstratie. Fie A un corp. Atunci exista un unic morfism de inele u : Z A , definit prin _u (a) = 1_a , unde a Z iar 1 este elementul unitate din A . _u (Z ) este subinel în A si este izomorf cu Z / Ker u . Cum _u (Z) este inel integru, iar daca Ker u 0 , atunci exista p > 0 numar întreg prim astfel încât Ker u = pZ, deci u(Z) Z_p si deci A contine corpul Z_p. Daca Ker u = 0 , atunci Z este izomorf cu u(Z). Atunci u se extinde la un morfism de inele u : Q A punând pentru a, b Z , b 0 , u (a / b) = u(a) (u(b)) ^-1 , dupa cum se verifica cu usurinta. Pentru a arata ca în A , exista numai un singur subcorp izomorf cu un corp prim , observam ca daca ar contine doua astfel de subcorpuri distincte , intersectia lor ar fi un subcorp propriu a cel putin unuia dintre subcorpuri , ceea ce ar contrazice faptul ca subcorpurilor sunt corpuri prime.

Propozitie. Singurul endomorfism al unui corp prim este automorfismul identic.

Demonstratie. Daca u : A A este un endomorfism al corpului prim A, atunci cum u este injectiv iar u(A) este subcorp al lui A , deducem ca u(A) = A, adica u este un automorfism al lui A, fiind injectiv. Însa din faptul ca u() = rezulta ca u() = ,pentru orice r numar întreg 0 r < p daca A = Z_p, p > 0 numar întreg prim. Deci în acest caz u este automorfismul identic. Daca A = Q , tot din faptul ca u(1) = 1 rezulta u(n) = n pentru orice n Z , apoi pentru a, b Z , b 0 rezulta u(a / b ) u(a) u(b ^-1 ) = ab ^-1 , adica u este si în acest caz identitatea.

Se poate arata ca proprietatea din propozitia precedenta caracterizeaza corpurile prime .

Propozitia 2.4.2. ne permite sa dam urmatoarea definitie.

1.4.4. Definitie. Fie A un corp . Se poate spune ca A are caracteristica zero daca A contine pe Q si caracteristica p > 0, p fiind un numar întreg prim > 0, daca A contine corpul Z_p .

Din aceasta definitie rezulta : corpurile Q, R, C sunt de caracteristica 0 iar corpul Z_p are caracteristica p. Se deduce, de asemenea, direct din definitie , ca daca aA este o extindere de corpuri, atunci corpurile a si A au aceeasi caracteristica . Uneori în loc de caracteristica unui corp se foloseste exponentul caracteristic , care prin definitie este 1 daca caracteristica corpului este p > 0 , daca caracteristica corpului este p .

În continuare vom indica un alt mod de a introduce caracteristica unui corp , care este, poate, mai sugestiv.

Fie A un corp si e elementul unitate la înmultirea în A. Atunci caracteristica lui A este cel mai mic numar natural p > 0 cu proprietatea 0 = p e = e + e + . + e , de p-ori . Daca nu exista nici un numar natural cu aceasta proprietate vom spune ca corpul A este de caracteristica 0 . Sa aratam ca daca numarul natural p > 0 exista el este prim . Într-adevar , daca p = p₁p₂, atunci pe = (p₁e)(p₂e) si pe = 0, iar A fiind corp se obtine sau p₁e = 0 sau p₂e = 0 . Din proprietatea de minimalitate a lui p se obtine sau p₁ = p sau p₂ = p .

Observând ca în corpul Z_p , p este cel mai mic numar natural cu proprietatea p = 0 , deducem usor echivalenta dintre cele doua moduri de a introduce caracteristica unui corp .

Morfisme de corpuri

Definitie. Fie A si A doua corpuri. Se numeste morfism de corpuri de la A la A o functie f : A A , astfel încât sa fie satisfacute urmatoarele conditii .

f(x + y) = f(x) + f(y) , oricare ar fi x, y A ,

f(xy) = f(x) f(y) , oricare ar fi x, y A ,

f(1) = 1 .

Deci f : A A este un morfism de corpuri daca este un morfism unitar de inele .

Deoarece f este în particular un morfism de grupuri de la A* la A * , rezulta ca f(x ^-1) = (f(x)) ^-1 , pentru orice x

Propozitia 1.5.1. Orice morfism de corpuri este injectiv .

Demonstratie. Într-adevar , fie f : A A morfism de corpuri si x, y A astfel încât x y . Atunci x - y 0 si deci exista z a , astfel încât (x - y)z = 1 , de unde f(x - y)z = f(1) sau f (x - y)f(z) = 1 . Prin urmare , f(x - y) 0 adica f(x)- f(y) 0 sau f(x) f(y) .

Fie A un corp si _{α A} o familie nevida de subcorpuri ale sale . De la inele stim ca F_α este un subinel al lui A. Mai mult daca y F_α , y 0 , atunci y F_α , y 0, oricare ar fi α A si cum fiecare F_α este corp rezulta ca y ^-1 F_α , oricare ar fi α A . deci y ^-1 F_α .

Am obtinut astfel ca intersectia unei familii oarecare nevide de subcorpuri ale unui corp A este de asemenea un subcorp al lui A .

Daca consideram intersectia tuturor subcorpurilor unui corp , se obtine un subcorp al sau , care nu are alte subcorpuri în afara de el însusi .

Corpuri finite