CORPURI

CORPURI

Definitia corpului. Exemple

Definitie: Un inel unitar (A, +, ) se numeste corp daca fiecare element nenul al inelului este inversabil , adica daca satisface conditia :

Pentru fiecare a A* , unde A* = A \ , exista a ^-1 A astfel încât  aa ^-1 = a ^-1 a = 1

Prin urmare , daca (A, +, ) este corp , atunci (A*, ) se numeste corp comutativ sau câmp.

Observatie

Pe orice multime formata din doua elemente distincte exista o singura struc 939e49j tura de corp. Daca notam cu 0 si 1 aceste elemente, atunci adunarea si înmultirea nu pot fi definite decât in modul urmator:

0 1 0 1

0 0 1 0 0 0

1 1 0 1 0 1

Exemple:

1. (Q,+, ), (R,+, ), (C,+, ) sunt corpuri comutative.

2. Corpul Z al claselor de resturi modulo p, cu p prim. Daca p 0 este un numar natural prim, atunci rezulta ca Z este corp.

3.Corpurile de numere patratice Q(). Fie d un intreg liber de patrate si Q() =. Daca z1=a1+b1 si z2=a2+b2, a1,a2,b1,b2 Q,atunci :

z1+z2=( a1+b1)+a2+b2)=(a1+a2)+(b1+b2) z1+z2 Q(), iar z1z2=a1a2+db1b2+(a1b2+a2b1) z1 z2 Q().

Deci Q() este parte stabila a lui C in raport cu adunarea si inmultirea. Observam ca 0=0+0 Q(), 1+0 Q() si deducem ca Q() este inel comutativ in raport cu operatiile induse pe Q() de adunarea si inmultirea pe C. pentru a dovedi ca Q() este corp, mai ramine sa aratam ca pentru orice element z Q(), z=a+b, z 0, exista z' Q() a.i. zz'=z'z=1. Deoarece z 0, atunci a 0 sau b (daca si b=0, deducem a=0, iar daca si b 0 atunci =|a/b| si deducem ca Q, contradictie).

Apoi, zz'=1 (a+b)z'=1 z'=1/(a+b)=(ab)/()=a/()+(-b)/() Q(). Deci Q()este corp comutativ. Astfel, Q( ) si Q( ) sunt corpuri comutative.

Exemple concrete de corpuri:

1. Pornind de la domeniul de integritate (Z, +, ) , putem construi corpul numerelor rationale. Pentru aceasta, sa definim în produsul cartezian Z x Z*, unde Z* = Z \ , relatia binara astfel

(a, b) (c, d) ad =bc

Relatia astfel definita este o echivalenta în Z x Z*, deci se poate construi multimea cât Q = Z x Z* , adica , unde

Definind în Q operatiile binare si prin

se constata ca (Q, +, ), este corp comutativ, având ca element zero clasa , , iar ca element unitate clasa . si de data aceasta, pentru simplificarea scrierii, se noteaza , deci = 0 si = 1.

Mentionam ca domeniul de integritate al numerelor întregi nu este corp,

deoarece (Z*, +, ) nu este grup. Într-adevar, elementele lui diferite de 1 si -1 nu sunt inversabile în inelul (Z, +,

2. Presupunând cunoscuta notiunea de sir fundamental de numere rationale precum si proprietatile acestor siruri, putem construi corpul numerelor reale. Anume, în multimea tuturor sirurilor fundamentale de numere rationale se defineste relatia binara astfel

si se observa ca aceasta este o relatie de echivalenta . Notând prin R multimea cât corespunzatoare si definind în R operatiile binare si prin

se constata ca (R, +, ) este un corp comutativ, numit corpul numerelor reale.

3. Pornind de la corpul numerelor reale (R, +, ) se poate construi corpul numerelor complexe. Pentru aceasta, sa definim în C= R x R operatiile binare si astfel

(a, b) + (c, d) = (a + c , b + d)

(a, b) (c, d) = (ac - bd , ad + bc)

Se constata ca tripletul (C, +, ) devine corp comutativ, având ca element zero perechea (0,0), iar ca element unitate perechea (1,0) .

Notând (a, 0) = a si (0,1) = i si tinând cont de definitia operatiilor în C , observam ca oricare pereche (a, b) C se poate scrie astfel

(a, b) = (a, 0) + (0, 1)(b, 0) = a + ib .

Am obtinut, în acest fel, forma de scriere cunoscuta a numerelor complexe.

4. Fie m N, m 0 si fie Z_m multimea claselor de resturi ale intrgilor fata de modulul m, adica Z_m = , unde C_a = . Definind în Z_m operatiile de adunare si înmultire prin

C_a + C_b = C a+ b

C_a C_b = C ab

se constata ca (Z_m, + ) , este inel unitar si comutativ, având ca element zero clasa C₀ , iar ca element unitate clasa C₁ . Acest inel nu este ]n general domeniu de integritate .

Într-adevar, daca spre exemplu, m = 6 atunci C₂ C₃ = C₆ = C₀ , desi C₂ C₀ si C₃ C₀ .

Se poate demonstra ca inelul (Z, +, ), este corp comutativ daca si numai daca modulul m este un numar natural prim . Într-adevar , faptul ca elementul C_a C₀ este inversabil este o afirmatie echivalenta cu existenta unei solutii unice x₀ 0 < x₀ m - 1 , pentru congruenta ax 1 (mod m) . Se stie ca aceasta solutie exista si este unica atunci si numai atunci când (a, m) = 1 , adica numerele naturale a si m sunt prime între ele . Deci, elementele nenule ale inelului (Z_m, +, ) vor fi inversabile daca si numai daca pentru orice a Z , 0 < a m - 1 avem ( a, m ) = 1 , adica atunci si numai atunci când numarul natural m nu are divizori diferiti de 1, ceea ce înseamna ca m este numar prim.

. Proprietati de baza ale corpurilor.

Teorema 2.2.1.

Într-un corp nu exista divizor al lui zero.

Fie (A, +, ) un inel . Deoarece (A, +) este un grup , pentru orice a A si orice n Z putem defini elementul na in mod recursiv prin conditiile:

(i)          a = 0

(ii)        na = (n -1)a + a daca n >0 ;

(iii)       na = (n + 1)a - a daca n <0.

Observam ca este vorba de transpunerea în limbaj aditiv a definitiei puterii unui element dintr-un grup multiplicativ .

Pentru orice a A si orice n Z ,

na = -n ( -a ) = -(-na) ;

Pentru orice a A si orice m, n Z ,

ma + na = (n + n)a si n(ma) = (nm)a ;

Pentru orice a, b A si orice n Z ,

n(a + b) = na + nb .

De asemenea, întrucât (A, ) este semigrup, pentru orice a A si orice n Z , n > 0 , se poate defini elementul aⁿ A , anume aⁿ = , astfel încât pentru orice a A si pentru orice m, n Z , a^m aⁿ = a^m+n si (a^m)ⁿ = a^mn .

Daca inelul (A, +, ) este comutativ, atunci pentru orice a, b A si orice n Z , n >0, (ab)ⁿ = aⁿ bⁿ .

Mai mult, daca (A, +, ) este corp , atunci (A*, ) este grup, deci pentru fiecare a A a 0, se poate defini elementul aⁿ unde n Z. În acest caz, regulile de calcul cu puteri sunt:

(1) Pentru orice a A* si orice n Z, aⁿ = (a ^-1 ) ^-n = (a ^-n ) ^-1 ;

(2) Pentru orice a A* si orice n Z, a^maⁿ = a^{m + n} si (a^m)ⁿ = a^mn ;

(3) Daca (A, +, ) este corp comutativ , atunci pentru orice a, b A* si orice n Z , (ab)ⁿ = aⁿbⁿ .

Deoarece orice corp este inel , toate proprietatile inelelor ramân valabile în cazul corpurilor . Însa unele dintre proprietatile inelelor devin caracteristice în cazul corpurilor .

2.2.2. Propozitie . Într-un corp exista doar doua ideale , idealul nul si tot corpul , care sunt ideale bilaterale .

Demonstratie. Fie I un ideal la stânga în corpul K . daca I , atunci exista în I un element nenul a . Fie b un element arbitrar din K , atunci egalitatea b = ba ^-1 a arata ca b I , deci I contine toate elementele lui K , adica I = K . În mod analog se arata ca orice ideal coincide sau cu (0) sau cu K, care , de altfel , sunt ideale bilaterale în orice inel K .

2.2.3. Propozitie . Fie K un inel nenul care are numai doua ideale (0) si K. Atunci K este corp .

Demonstratie. Pentru a demonstra ca K este corp trebuie sa aratam ca orice element nenul din K este inversabil . Fie x K , x 0 . Deoarece idealele xK si Kx sunt nenule , rezulta xK = K si Kx = K. Din aceste relatii rezulta ca exista x , x K astfel încât xx = 1 si x x = 1 . Atunci se obtine x = 1x = (x x) x = x (xx ) = x 1 = x , deci x = x si deci x este inversabil .

Din propozitiile precedente rezulta ca în cadrul inelelor , corpurile pot fi definite ca si inele nenule care au doar doua ideale .

Corpurile fiind inele , morfismele de inele se aplica si în cazul corpurilor . În cazul corpurilor exista urmatoarea proprietate.

2.2.4. Propozitie. Fie k un corp . Atunci orice morfism de la K la un inel A nenul este injectiv.

Demonstratie. Mentionam ca prin inel întelegem un inel unitar iar prin morfism de inele un morfism unitar , adica care duce elementul unitate al domeniului de definitie în elementul unitate al domeniului valorilor . Fie u : K A un morfism de inele . Se stie ca u este injectiv daca si numai daca Ker u este idealul nul în K . Deoarece Ker u este ideal bilateral în K si K este corp deducem ca Ker u = K sau Ker u = 0 . Egalitatea Ker u = K nu poate avea loc deoarece ar rezulta ca f (1) = 0 , ceea ce contrazice faptul ca f(1) este elementul unitate la înmultire în A si aceasta este diferit de 0 , întrucât A este inel nenul .

2.2.5. Propozitie . Fie un K inel comutativ cu proprietatea ca orice morfism de la K la un inel nenul este injectiv . Atunci K este corp .

Demonstratie . Este suficient sa aratam ca daca K nu este corp exista un morfism de la K la un inel nenul care nu este injectiv . daca K nu este corp , din propozitia 2.2.3. rezulta ca exista în K un ideal I diferit de (0) si K .deoarece K este inel comutativ , idealul I este bilateral , deci exista inelul factor A = K I . Atunci morfismul canonic p : K K I nu este injectiv , caci Ker p = I

2.3. Subcorpuri

Definitie. Daca (A, +, ) este inel unitar sau corp si S A , S Ř  , atunci (S, +, ) va fi subcorp daca si numai daca satisface urmatoarele conditii :

(i)          Pentru orice a, b S, a + b S ;

(ii)        Pentru orice a, b S, a b S ;

(iii)       Pentru orice a S, -a S ;

(iv)      Pentru orice a, b S, a - b S

Avem in plus conditia:

Pentru fiecare a S*, exista a ^-1 S* astfel încât aa ^-1 = a ^-1 a = 1 adica elementele diferite de zero sunt inversabile .

Teorema 2.3.1.

Daca (A, +, ) este corp si S A , S Ř  este o submultime finita a lui A , atunci (S, +, ) va fi subcorp daca îndeplineste urmatoarele conditii :

(1) Pentru orice a, b S , a + b S ;

(2) Pentru orice a, b S, ab S .

Exemple:

(1) Fie A un corp. Atunci A este evident subcorp al lui A.

(2) Q este un subcorp al lui R cu adunarea si înmultirea numerelor reale.

(3) Q( ) este un subcorp al corpului R al numerelor reale.

(4) Z si Q nu au alte subcorpuri in afara de ele insele

În corpul numerelor complexe C , corpul numerelor reale R si corpul numerelor rationale Q sunt subcorpuri . Corpurile Q, R, C sunt subcorpuri în corpul cuaternionilor P. De asemenea Q este subcorp al lui R . Multimea numerelor complexe de forma a + bi , unde a , b Q , se noteaza , de obicei prin Q(i) este subcorp al lui C.

De asemenea numerele reale de forma a + b, a, b Q formeaza un subcorp al corpului numerelor reale R.

Sa observam ca daca k este subcorp al corpului K si la rândul sau, K este subcorp al corpului L , atunci rezulta ca k este subcorp al lui L . Prin urmare subcorpurile poseda o proprietate de tranzitivitate .

Corpuri prime

Fie (A, +, ) un corp notat cu A. Atunci A poate fi privit si ca subcorp în A. Un subcorp al lui A diferit de A se numeste subcorp propriu al lui A. Se numeste subcorp prim , un corp care nu are subcorpuri proprii. Deci într-un astfel de corp orice subcorp coincide cu corpul însusi.

Propozitie.

Corpurile Q si Z_p, p > 0, numar întreg prim , sunt corpuri prime.

Demonstratie. Fie A un subcorp al lui Q. Atunci 1 A , de unde deducem ca pentru n Z, n > 0 , n A, deoarece n = 1 + 1 + 1 + . + 1 de n ori. Apoi obtinem -n A. Deci Z A . Cum inversele elementelor din Z trebuie sa fie si ele în A rezulta A = Q

Fie p > 1 un numar întreg prim . Atunci Z_p are p elemente , , .,

Orice subcorp A al lui Z_p contine pe si pe . Pentru orice , 0 ≤ r ≤ p-1, avem = + + . + de r ori. Prin urmare A = Z_p .

Ne propunem sa aratam ca Q si Z_p sunt singurele corpuri prime. Pentru aceasta este suficient sa mai demonstram urmatoarea propozitie.

Propozitie.

Orice corp contine un subcorp izomorf cu unul si numai unul dintre corpurile Q sau Z_p, p > 0 , numar întreg prim .

Demonstratie. Fie A un corp. Atunci exista un unic morfism de inele u : Z A , definit prin _u (a) = 1_a , unde a Z iar 1 este elementul unitate din A .  _u (Z ) este subinel în A si este izomorf cu Z / Ker u . Cum _u (Z) este inel integru, iar daca Ker u 0 , atunci exista p > 0 numar întreg prim astfel încât Ker u = pZ, deci u(Z) Z_p si deci A contine corpul Z_p. Daca Ker u = 0 , atunci Z este izomorf cu u(Z). Atunci u se extinde la un morfism de inele u : Q A punând pentru a, b Z , b 0 , u (a / b) = u(a) (u(b)) ^-1 , dupa cum se verifica cu usurinta. Pentru a arata ca în A , exista numai un singur subcorp izomorf cu un corp prim , observam ca daca ar contine doua astfel de subcorpuri distincte , intersectia lor ar fi un subcorp propriu a cel putin unuia dintre subcorpuri , ceea ce ar contrazice faptul ca subcorpurilor sunt corpuri prime.

Propozitie.

Singurul endomorfism al unui corp prim este automorfismul identic.

Demonstratie. Daca u : A A este un endomorfism al corpului prim A, atunci cum u este injectiv iar u(A) este subcorp al lui A , deducem ca u(A) = A, adica u este un automorfism al lui A, fiind injectiv. Însa din faptul ca u() = rezulta ca u() = ,pentru orice r numar întreg 0 r < p daca A = Z_p, p > 0 numar întreg prim. Deci în acest caz u este automorfismul identic. Daca A = Q , tot din faptul ca u(1) = 1 rezulta u(n) = n pentru orice n Z , apoi pentru a, b Z , b 0 rezulta u(a / b ) u(a) u(b ^-1 ) = ab ^-1 , adica u este si în acest caz identitatea.

Se poate arata ca proprietatea din propozitia precedenta caracterizeaza corpurile prime .

Propozitia 2.4.2. ne permite sa dam urmatoarea definitie.

2.4.4. Definitie. Fie A un corp . Se poate spune ca A are caracteristica zero daca A contine pe Q si caracteristica p > 0, p fiind un numar întreg prim > 0, daca A contine corpul Z_p .

Din aceasta definitie rezulta : corpurile Q, R, C sunt de caracteristica 0 iar corpul Z_p are caracteristica p. Se deduce, de asemenea, direct din definitie , ca daca aA este o extindere de corpuri, atunci corpurile a si A au aceeasi caracteristica . Uneori în loc de caracteristica unui corp se foloseste exponentul caracteristic , care prin definitie este 1 daca caracteristica corpului este p > 0 , daca caracteristica corpului este p .

În continuare vom indica un alt mod de a introduce caracteristica unui corp , care este, poate, mai sugestiv.

Fie A un corp si e elementul unitate la înmultirea în A. Atunci caracteristica lui A este cel mai mic numar natural p > 0 cu proprietatea 0 = p e = e + e + . + e , de p-ori . Daca nu exista nici un numar natural cu aceasta proprietate vom spune ca corpul A este de caracteristica 0 . Sa aratam ca daca numarul natural p > 0 exista el este prim . Într-adevar , daca p = p₁p₂, atunci pe = (p₁e)(p₂e) si pe = 0, iar A fiind corp se obtine sau p₁e = 0 sau p₂e = 0 . Din proprietatea de minimalitate a lui p se obtine sau p₁ = p sau p₂ = p .

Observând ca în corpul Z_p , p este cel mai mic numar natural cu proprietatea p = 0 , deducem usor echivalenta dintre cele doua moduri de a introduce caracteristica unui corp .

Morfisme de corpuri

Definitie. Fie A si A doua corpuri. Se numeste morfism de corpuri de la A la A o functie f : A A , astfel încât sa fie satisfacute urmatoarele conditii .

f(x + y) = f(x) + f(y) , oricare ar fi x, y A ,

f(xy) = f(x) f(y) , oricare ar fi x, y A ,

f(1) = 1 .

Deci f : A A este un morfism de corpuri daca este un morfism unitar de inele .

Deoarece f este în particular un morfism de grupuri de la A* la A * , rezulta ca f(x ^-1) = (f(x)) ^-1 , pentru orice x

Propozitia 2.5.1. Orice morfism de corpuri este injectiv .

Demonstratie. Într-adevar , fie f : A A morfism de corpuri si x, y A astfel încât x y . Atunci x - y 0 si deci exista z a , astfel încât (x - y)z = 1 , de unde f(x - y)z = f(1) sau f (x - y)f(z) = 1 . Prin urmare , f(x - y) 0 adica f(x)- f(y) 0 sau f(x) f(y) .

Fie A un corp si _{α A} o familie nevida de subcorpuri ale sale . De la inele stim ca F_α este un subinel al lui A. Mai mult daca y F_α , y 0 , atunci y F_α , y 0, oricare ar fi α A si cum fiecare F_α este corp rezulta ca y ^-1 F_α , oricare ar fi α A . deci y ^-1 F_α .

Am obtinut astfel ca intersectia unei familii oarecare nevide de subcorpuri ale unui corp A este de asemenea un subcorp al lui A .

Daca consideram intersectia tuturor subcorpurilor unui corp , se obtine un subcorp al sau , care nu are alte subcorpuri în afara de el însusi .

Corpuri finite

Fie K L o extindere de corpuri cu un numar finit de elemente ; presupunem ca corpul K are Q elemente . Corpul L este spatiu vectorial (la stânga) peste K si fie r = dim_K L. Atunci , din faptul ca orice element x L se scrie în mod unic sub forma fiind o baza a lui L peste K si a_i K, deducem ca corpul L are q^r elemente . Daca L este un subcorp al lui L care contine pe K si s = dim_kL , atunci s divide pe r. Orice corp finit K este de caracteristica p > 0 si deci contine corpul prim Z_p , deci k va avea pⁿ elemente , unde n = dim_ZpK .

Teorema 2.6.1. Orice subgrup finit al grupului multiplicativ al elementelor nenule dintr-un corp comutativ este ciclic .

Demonstratie. Fie K un corp comutativ. Notam cu K* grupul multiplicativ al elementelor nenule din K . Fie G un subgrup finit al lui K* de ordin h . Este suficient sa aratam ca in G exista un element de ordin h . Fie h = descompunerea în factori primi a lui h, p₁, p₂, . ,p_k > 0 fiind numere prime distincte . Pentru orice i = 1, 2, ., k exista un element x_i G astfel încât , caci în cazul contrar polinomul ar avea mai multe radacini decât gradul sau . Vom arata ca elementul y_i = are ordinul . În adevar , este clar ca , caci . rezulta atunci ca ordinul elementului y_i este un divizor al lui , adica de forma , cu 1 s r_{i .} Daca s r_i , ar rezulta , în contradictie cu alegerea elementului x_i . Deci s = r_i si ordinul elementului y_i este . Atunci din lema care urmeaza va rezulta ca elementul y = y₁ y₂ . y_k este un element din G de ordin h .

Lema 2.6.2. Fie G un grup comutativ si a_i , i = 1, 2, ., k , elemente din G de ordin respectiv n_i , i = 1, 2, ., k , astfel încât numerele naturale n_i , sa fie relativ prime doua câte doua . Atunci ordinul elementului este egal cu .

Demonstratie. Este suficient sa demonstram lema în cazul k = 2 , caci apoi afirmatia se obtine usor prin inductie dupa k , observând ca n_k este prim cu produsul . Din rezulta ca ordinul elementului a₁a₂ divide produsul n₁n₂ . Fie n ordinul elementului a = a₁a₂ . Atunci 1 = , de unde rezulta ca n₁ divide pe nn₂ , deci n₁ divide pe n , caci si produsul lor (care coincide cu cel mai mic multiplu comun al lor ) divide pe n , deoarece n₁ si n₂ sunt prin ipoteza relativ prime.

În continuare ne propunem sa demonstram ca orice corp finit este comutativ. În acest scop vom da câteva proprietati ajutatoare .

Fie K un corp comutativ algebric închis cu exponent caracteristic p si u > 1 un numar întreg cu proprietatea (p,n) = 1 . Notam cu U_n multimea radacinilor polinomului Xⁿ - 1 în K . Elementele din U_n se numesc radacini de grad n ale unitatii în K . Se verifica imediat ca împreuna cu înmultirea din K , U_n este un grup , numit grupul radacinilor de grad n ale unitatii din K . Întrucât (n, p) = 1 si derivata polinomului Xⁿ - 1 nu este nula , rezulta ca acest polinom nu are radacini multiple , deci U_n are n elemente . Rezulta ca u_n este grup ciclic si deci este izomorf cu Z_n . Orice generator al grupului U_n se numeste radacina primitiva de grad n a unitatii. Numarul acestor radacini este j(n) , unde j este functia lui Euler . Daca z este o radacina primitiva de grad n a unitatii si m un numar întreg relativ prim cu n , atunci z^m este înca o radacina primitiva de grad n a unitatii deoarece ordinul lui z coincide cu ordinul lui z^m . Mai mult , toate radacinile primitive de ordin n ale unitatii sunt de aceasta forma , deoarece ele sunt în numar de j(n) . În continuare vom considera cazul în care K = C . Daca z este o radacina primitiva de grad n a unitatii din C , atunci corpul Q(z) , care este corpul de descompunere al polinomului Xⁿ - 1 în C peste Q , se numeste al n - lea corp ciclotomic .

În demonstratia teoremei care urmeaza este necesara urmatoarea lema .

Lema 2.6.3. Fie A un inel factorial , K corpul sau de fractii , x un element dintr-o extindere a lui K care este radacina a unui polinom unitar h A(x) . Atunci polinomul minimal al lui x peste K are coeficientii în A .

Demonstratie. Fie f polinomul minimal al lui x peste K si g un factor ireductibil al lui h cu g(x) = 0 . Polinomul g are coeficientul termenului de grad maxim o unitate din A , deci , eventual înmultind cu inversul acestui element din A , putem presupune ca g este polinom unitar . rezulta f g si cum g este ireductibil în K(x) , deducem ca f = g .

Teorema 2.6.4. Fie z o radacina de grad n a unitatii din C si f polinomul minimal al lui z (peste Q) . Atunci f Z(x) si este polinomul minimal al oricarei radacini primitive de grad n a unitatii . În plus , gradul lui f este egal cu j(n) si deci Q(z) : Q j(n) .

Demonstratie . Prima afirmatie a teoremei rezulta din lema precedenta . Este clar ca orice radacina z a lui f este tot o radacina primitiva de grad n a unitatii , deoarece Q(z) este izomorf cu Q(z ) printr-un izomorfism care duce pe z în z si deci z^m = 1 daca si numai daca z ^m = 1. Sa aratam acum ca orice radacina primitiva e grad n a unitatii este radacina a lui f . Din cele de mai sus rezulta ca este suficient sa aratam ca z^m , pentru m relativ prim cu n , este înca o radacina a lui f . Pentru aceasta efectuând un rationament de inductie , este suficient sa demonstram afirmatia când m = p este un numar prim care nu divide pe n . Fie g polinomul minimal al lui z^p . Din lema precedenta rezulta ca g Z(x) . Va fi suficient sa aratam ca f = g , deci ca f si g au un factor comun de grad 1 , deoarece f si g sunt polinoame ireductibile în Z(x) . Sa presupunem dimpotriva ca (f, g) = 1 . Atunci rezulta ca

Xⁿ - 1 = fgh , cu h Z x

Notam g_p = g(X^p) . Avem g_p (z) = 0 , deci (g_p, f) 1 si cum f este ireductibil în Z x , obtinem

g_p = fh , cu h Z x

Fie u : Z x Z_p x extinderea unica a morfismului canonic Z Z_p , cu proprietatea u(X) = X . notam cu Z_p x imaginea prin u a unui polinom r Z x . Atunci din (1) si (2) obtinem :

Xⁿ - 1 = ,

.

Deoarece pentru a Z_p avem a^p = a , rezulta si relatiile (3) si (4) arata ca polinomul Xⁿ - 1 Z_p x are radacini multiple . Însa (Xⁿ - 1) = nX ^{n - 1} si p nu divide pe n , deci Xⁿ - 1 Z_p x nu poate avea radacini multiple , contradictie . Celelalte afirmatii ale teoremei rezulta din cele demonstrate .

Polinomul minimal al unei radacini primitive a unitatii (si deci al tuturor radacinilor primitive) de grad n se numeste al n-lea polinom ciclotomic si se noteaza cu F_n sau (F_n) . Deoarece orice radacina primitiva de grad d 1 a unitatii , cu d divide pe n , este si o radacina de grad n a unitatii si orice radacina de grad n a unitatii este o radacina primitiva de grad d a unitatii pentru un d convenabil d divide pe n iar (F_d, F_d ) = 1 daca si d si d sunt divizori distincti ai lui n , rezulta ca avem relatia

Xⁿ - 1 = , d

Din egalitatea precedenta, tinând seama de egalitatea gradelor , rezulta relatia :

n = , d

Fie G un grup si C(G) centrul grupului G adica multimea elementelor din G care comuta cu orice element din G . se verifica imediat ca C(G) este subgrup abelian si orice subgrup al lui C(G) este subgrup normal al lui G . Pentru un element a G notam cu C(a) = . C(a) este un subgrup din G si se numeste centralizatorul elementului a .

Pentru un grup G se introduce urmatoarea relatie de echivalenta : daca  a, b G , se spune ca a este conjugat cu b daca exista x G astfel încât x ^{- 1} ax = b . Clasele de echivalenta asociate acestei relatii de echivalenta se numesc clase de elemente conjugate . Pentru fiecare element a G aplicatia care asociaza unui element x G elementul x ^{- 1} ax din clasa de echivalenta a lui a este evident surjectiva si se verifica imediat ca relatia de echivalenta asociata acestei aplicatii coincide cu relatia de echivalenta la dreapta asociata centralizatorului elementului a . Într-adevar , relatia x ^-1 ax = y ^-1 ay este echivalenta cu relatia y x ^-1 a = ayx ^-1 adica yx ^{- 1} C(a) . De aici rezulta ca numarul elementelor din clasa de elemente conjugate cu a coincide cu indicele centralizatorului elementului a . Daca notam cu G: N indicele subgrupului N al grupului G , din cele de mai sus rezulta

G: (1) C(G): (1) + ,

unde suma se extinde dupa elementele unui sistem de reprezentanti ai claselor de elemente conjugate care nu apartin lui C (G) . Aceasta relatie este cunoscuta sub numele de formula claselor de elemente conjugate .

Teorema 2 .6.5. (Wedderburn) . Orice corp finit este comutativ .

Demonstratie . Fie K un corp si C = . C este evident un subcorp comutativ al lui K , numit centrul corpului K . Avem Z_p C K , unde p este caracteristica corpului K . Atunci C are q = p^m elemente , unde m = [C: Z_p] , iar K are qⁿ elemente, unde n = [K: C] . Este suficient sa demonstram ca n = 1 , pentru ca , atunci rezulta K = C . Presupunem n > 1 . Atunci C* = C \ este centrul grupului multiplicativ K* = K \ 0 . Pentru a K , fie K(a) = . Evident K(a) este un subcorp al lui K si K(a) 0 este centralizatorul lui a în K* . Exista incluziunile

Z_p C K(a) K .

Corpul K(a) are q^d(a) elemente , unde d(a) = K(a): C , si d(a) divide pe n . Aplicând formula claselor de elemente conjugate în K* , se obtine :

,

unde a parcurge elementele care nu sunt în C* dintr-un sistem de reprezentanti ai claselor de elemente conjugate . Din relatia (5) rezulta ca F_n divide polinomul Xⁿ - 1 / X^d(a) - 1 , deoarece d(a) divide pe n si X^d(a) - 1 = . Din relatia (6) rezulta ca F_n(q) divide pe q - 1 . Daca n > 2 , deducem ca orice radacina primitiva z de grad n a unitatii este 1 si z = 1. Atunci q - z q - a - bi = > q - 1 , daca z = a + bi . Deoarece , când z parcurge radacinile primitive de grad n ale unitatii , rezulta F_n(q) > q - 1 , ceea ce contrazice faptul ca F_n(q) divide pe q - 1 .

Pentru n = 2 rezulta F(q) = q + 1 si deci F(q) nu divide pe q - 1 .

Deci neaparat n = 1 si K = C , ceea ce demonstreaza teorema .

Teorema 2.6.6. Doua corpuri finite cu acelasi numar de elemente sunt izomorfe .

Demonstratie . Fie K un corp cu p^r elemente . Atunci orice element x K este radacina a polinomului Z_p x , deoarece un element nenul x K satisface relatia = 1 , deoarece grupul multiplicativ al elementelor nenule din K are ordinul p^r - 1 . De aici rezulta ca corpul K , este corpul de descompunere al polinomului Z_p x si deci rezulta ca doua astfel de corpuri sunt izomorfe .

Fie K un corp de caracteristica p > 0 . Atunci aplicatia u : K K , definita prin u(x) = x^p , este un endomorfism de inel al lui K , numit endomorfismul lui Frobenius , deoarece pentru x , y K avem evident u(xy) = u(x)u(y) . De asemenea , u(x + y) = u(x) + u(y) , deoarece (x + y)^p = x^p + y^p , deoarece (combinari de p luate câte s ) se divid cu p daca p > 1 este un numar prim . În general u este un endomorfism injectiv iar daca K este finit sau este algebric închis , rezulta imediat ca este si surjectiv , deci în aceste doua cazuri este automorfism al lui K .

Un corp K de caracteristica zero sau de caracteristica p > 0 pentru care morfismul u de mai sus este izomorfism se numeste corp perfect . Din cele de mai sus rezulta ca corpurile finite si cele algebric închise sunt corpuri perfecte . Notam cu u^s puterea de ordin s a endomorfismului u (definit mai sus) al corpului K de caracteristica p> 0 . Evident u este automorfism daca si numai daca u^s este automorfism .

Propozitia 2.6.7. Fie K un corp algebric închis de caracteristica p > 0 . Atunci K contine un singur corp finit cu p^r elemente pentru orice r > 0 . Acest corp este format din elementele lui K invariate de u^r .

Demonstratie . Fie K un subcorp finit cu p^r elemente din K . Atunci elementele lui K sunt radacinile polinomului - X , deci elementele din K sunt invariate de u^r . Reciproc , daca x K este invariat de u^r , atunci - X = 0 , deci X este o radacina a polinomului - X si prin urmare apartine lui K . Pe de alta parte , radacinile polinomului - X formeaza un subcorp al lui K care are p^r elemente , fiindca derivata lui - X este 1 si deci nu are radacini multiple .

Corolarul 2.6.8. Fie K un corp finit cu p^r elemente . Corpul k contine un subcorp L cu p^s elemente daca si numai daca s divide pe r .

Într-adevar , daca K contine subcorpul L , atunci K : L L : Z_p K : Z_p si deci s divide pe r , deoarece r = K : Z_p iar s = L : Z_p . Reciproc , fie r = st si K o închidere algebrica a lui K . Atunci conform propozitiei precedente , K este subcorpul lui format din elementele invariate de u^s formeaza un subcorp L al lui K de ordin p^s , unde u este endomorfismul lui Frobenius .

Corpul finit care are p^r elemente , p > 0 fiind un numar întreg prim , se noteaza cu sau G . În particular , corpul prim de caracteristica p se noteaza cu F_p .

Corpul fractiilor unui domeniu de integritate.

Fie A un domeniu de integritate si A* multimea elementelor nenule ale lui A. Consideram produsul cartezian A A*=.

Pe A x A* vom introduce o relatie de echivalenta , R, definita astfel:

(a, b) R (c, d) ad = bc . Sa verificam ca R este o relatie de echivalenta:

reflexivitatea: (a, b)R(a, b) , deoarece ab = ba.

tranzitivitatea: daca (a, b)R(c, d) si (c, d)R(e, f) , vom arata ca (a, b) R (e, f).

Din (a, b)R(c, d) si (c, d) R (e, f) rezulta ad = bc si cf = de , deci adf = bcf = bde si cum d 0 si A este domeniu de integritate, avem af = be , adica (a, b) R (e, f). Deci R este o relatie de echivalenta.

Clasa de echivalenta a perechii (a, b) se numeste fractie rationala si se noteaza prin a/b. Atunci a/b = c/d ad = bc.

Fie a/b si c/d doua fractii. Cum b 0 si d 0 , atunci bd 0 si , deci , are sens fractia (ad + bc) / bd. Daca a/b = a'/b' si c/d = c'/d' , atunci:

(ad + bc) / bd = (a'd'+b'c') / b'd'. Intr-adevar, avem ab' = ba' si cd' = dc'.

Deci ab'dd'=ba'dd' si cd'bb'=dc'bb', de unde ab'dd'+cd'bb' = ba'dd'+dc'bb', sau, înca, (ad+bc)b'd'=(a'd'+b'c')bd, ceea ce trebuia demonstrat.

Acum, definim adunarea prin : a/b + c/d= (ad+bc) / bd, operatia care nu depinde de alegerea reprezentantilor, dupa cum s-a vazut, iar înmultirea o definim prin: a/b c/d = ac / bd, operatie care de asemenea nu depinde de reprezentanti, deci este bine definita.

Punem 0 = 0/1 si 1 = 1/1.

Se arata usor ca (A,+, ) este un inel unitar. Fie a/b 0 din A, atunci a 0. Deci are sens fractia b/a, care este din A si a/b b/a = ab / ba = 1/1 = 1 . Deci orice element a/b 0 din A are un invers si anume (a/b) = b/a. deci A este corp comutativ.

Fie aplicatia f : A K , definita prin f(a) = a/1. Atunci f(a + b) = (a + b) / 1 = a/1 + b/1 = f(a) + f(b) si f(ab) = ab/1 = a/1 b/1 = f(a) f(b).

Deci f este omomorfism de inele. Daca f(a ) = f(b), adica a/1 = b/1, atunci a b, adica a = b. Prin urmare, f este omomorfism injectiv. Acest omomorfism injectiv permite identificarea lui A cu un subinel al lui K, mai precis, a = a/1. Atunci, daca a/b K, putem scrie a/b = a/1 1/b = a/1 (b/1) = ab . Corpul K se numeste corpul fractiilor (sau corpul de fractii ) al lui A.

Exemplu:

Pentru A = Z, prin procedeul descris se obtine corpul Q al fractiilor rationale.

Corpul fractiilor rationale

Teorema 2.7.1.1.

Fie un domeniu de integritate si D[x] inelul polinoamelor cu coeficienti în D. Atunci, elementele inversabile ale inelului D[x] coincid cu elementele inversabile ale inelului D. În particular, daca (K, +, ) este un corp, atunci elementele inversabile ale inelului vor fi polinoamele de grad zero si numai ele.

Demonstratie. Daca a D este inversabil în inelul D, atunci evident el va fi

inversabil si în inelul D[x] , considerat ca polinom de gradul zero .

Invers , daca A = (a₀, a₁, a₂, .) D[x ] este inversabil in inelul D[x] , atunci exista B = (b₀, b₁, b₂, .) D[x] astfel încât AB = (1,0, .) , adica AB = 1 si tinând cont ca grad A + grad B = 0 , de unde rezulta ca grad A = 0 si grad B = 0 deci A D si B D . Cum AB = 1 , rezulta ca A este inversabil în inelul D.

În baza teoremei precedente, elementele inversabile ale inelului Z x] sunt

numerele întregi 1 si -1, iar elementele inversabile ale inelului Q [x] sunt toate

numerele rationale nenule.

Teorema 2.7.1.2. Daca (D, +, ) este domeniu de integritate, atunci (D[x], +, ) este domeniu de integritate. În particular, daca K este un corp, atunci  (K[x], +, ) este domeniu de integritate fara a fi corp.

Demonstratie . Proprietatea de comutativitate a operatiei de înmultire din inelul se transmite de la proprietatea similar a a operatiei de înmultire din D. Apoi, daca I D este element unitate în inelul D, atunci acesta va juca rol de element unitate si în D[x] , considerat ca polinom de gradul zero. Ramâne sa aratam ca inelul D[x]nu poseda divizori ai lui zero. Într-adevar, daca A B D[x] si A 0 si B 0 , atunci exista m, n N astfel încât grad A = m si grad B = n , deci grad (AB) = m + n , adica AB

Pentru a termina demonstratia, observam ca daca K este corp, atunci în baza

teoremei (2.7.1.1.) , elementele inversabile ale inelului K[x ]sunt polinoame de grad zero si numai ele. Dar, în K[x] exista cu siguranta si alte polinoame, de exemplu polinomul de grad unu x = (0,1,1,.) deci K[ x] va fi numai domeniu de integritate fara a fi corp .

Din (2.7.1.2.) si (2.6.3) rezulta imediat:

Teorema 2.7.1.3. Daca D este domeniul de integritate, atunci D[x] se scufunda izomorf într-un corp , numit corpul de fractii rationale atasat inelului de polinoame D[x] anume

Constructia corpului se poate face urmarind pas cu pas constructia inelului de fractii data în (2.6.2), înlocuind în aceasta constructie inelul A cu inelul D[x] si multimea S prin multimea D[x] \ .