Definitie: Se numeste axa o dreapta (infinita) pe care s-a ales un sens pozitiv. Consideram xx' o astfel de dreapta si sensul pozitiv ales de la x spre x'. Fixam pe aceasta dreapta un segment AB cu lungimea reprezentata prin numarul a(fig.1.1). Lungimea algebrica a segmentului AB este +a, iar a segmentului BA este -a.

Fig.1.1. Axa

Sens de rotatie

Consideram o axa xx' si un observator situat pe axa în sensul pozitiv. Vom spune ca rotatia este pozitiva sau directa, daca observatorul constata ca se efectueaza de la dreapta spre stânga(fig.1.2)

Fig.1.2. Sens de rotatie

În caz contrar, rotatia este negativa sau retrograda.

Triedre directe si inverse

Consideram un triedru oarecare (ortogonal sau nu)(fig.1.3).

a) Triedru orientat pozitiv b) Triedru orientat negativ

Fig. 1.3. Triedre

Sensul pozitiv ales pe axe este de la O catre x, de la O catre y si de la O catre z. Daca sensul rotatiei în jurul axei Oz, inferioara lui π, care suprapune semiplanul xOz peste semiplanul yOz este pozitiv în raport cu axa Oz, atunci vom spune ca orientarea triedrului este pozitiva, în caz contrar aceasta este negativa (fig.3)

Ordinea în care se considera literele x, y si z este foarte importanta. Astfel, daca triedrele Oxyz, Oyzx, O zxy au aceeasi orientare, atunci triedrele Oxzy, Oyxz, Ozyx au orientare opusa. O singura permutare a literelor x, y, z schimba orientarea, însa doua permutari 353d31d lasa orientarea neschimbata.

Vectori

O marime vectoriala este caracterizata prin doua elemente: un element de natura algebrica, care

reprezinta un numar ce masoara o lungime si un element de natura geometrica, care indica o directie.

1.4.1. Vector legat.

Un vector legat este un vector pentru care cunoastem: suportul(xx'), sensul pe suport (de la

x spre x'), originea(A) si un numar pozitiv care indica lungimea a a segmentului AB(fig.1.4). Acest numar se numeste modulul vectorului.

Fig.1.4. Vector legat

1.4.2. Vector alunecator

Vom spune ca un vector este vector alunecator daca originea lui nu este precizata.

În statica, fortele sunt considerate vectori alunecatori deoarece echilibrul unui corp solid nu se

schimba daca fortele aluneca în lungul suportului lor.

1.4.3. Vector liber

Vom spune ca un vector este liber daca este definit numai prin directia suportului sau si prin

modulul sau. Doi vectori liberi echipolenti sunt identici(fig.1.5)

Fig.1.5. Vectori echipolenti

Notatia folosita pentru vectorii liberi este cu sageata deasupra,

1.4.4. Vectorul unitar

Vectorul unitar este vectorul al carui modul este egal cu unitatea.

În cazul particular al axelor de coordonate, vectorii unitari ai axelor Ox, Oy, Oz sunt notati prin

1.4.5. Vectori polari

Anumiti vectori sunt independenti de o schimbare a sensului ales ca sens pozitiv pe axele de

coordonate. De exemplu, o forta, o viteza, un vector câmp electric. În acest caz, spunem ca avem vectori polari.

1.4.6 Vectori axiali

Anumiti vectori îsi schimba semnul atunci când se schimba sensul ales ca sens pozitiv pe una

din axele de coordonate. De exemplu, în cazul produsului vectorial si al vectorului câmp magnetic. Acesti vectori se numesc vectori axiali.

Observatie: Egalitate vectoriala exista doar între vectori axiali si vectori polari.

1.4.7. Unghiul dintre doi vectori

Unghiul dintre doi vectori si este unghiul mai mic decat π cu care trebuie sa rotim un

vector echipolent cu vectorul , dus printr-un punct oarecare, pentru a-l aduce peste un vector echipolent cu vectorul , dus prin acelasi punct. Acest unghi se noteaza cu (,)

Operatii cu vectori

Produsul unui vector cu un scalar

Produsul unui vector cu un scalar c este un vector cu modulul egal cu |c.a|, cu suportul paralel

cu cel al vectorului , de acelasi sens cu vectorul , daca c este pozitiv si de sens contrar daca c este negativ.

Componentele unui vector

Consideram trei axe de coordonate ortogonale si proiectiile unui vector pe aceste axe.

Aceste proiectii sunt trei vectori: , , . Putem astfel scrie

(1.1)

Consideram vectorul unitar al axei Ox si putem scrie ( a_x este numarul

care masoara lungimea algebrica a vectorului ; acest numar este pozitiv daca si au acelasi sens si negativ, în caz contrar.

Similar putem scrie:

;. (1.2)

Rezulta:

(1.3)

Numerele algebrice a_x, a_y, a_z sunt componentele vectorului pe axele de coordonate.

Adunarea vectorilor

Suma mai multor vectori se defineste în modul urmator:

Dintr-un punct O, ales arbitrar, se duce vectorul echipolent cu vectorul ; din

extremitatea A se duce vectorul echipolent cu vectorul si aa mai departe pâna în punctul P, extremitatea vectorului (fig.1.6)

Fig.1.6. Adunarea vectorilor

Vectorul este suma vectorilor . Aceasta suma este independenta de punctul O. Vectorul suma este un vector liber pe care îl vom nota cu . Adunarea vectoriala se noteaza astfel:

(1.4)

Adunarea vectoriala este:

comutativa

(1.5)

asociativa

(1.6)

Componenta pe axa Ox a vectorului , suma vectoriala este egala cu suma componentelor acestor vectori, pe aceeasi axa.

(1.7)

Produsul scalar

Produsul scalar(interior) a doi vectori si este un scalar obtinut din produsul a trei numere

a, b si , în care este unghiul pe care-l fac între ei cei doi vectori si .

Produsul scalar este:

- comutativ

- distributiv

Observatii:

Daca produsul scalar a doi vectori nenuli este nul, atunci cei doi vectori sunt ortogonali; si .

Produsul scalar al unui vector prin el însusi este egal cu patratul modulului acelui vector .

Daca , , sunt vectorii unitari ai axelor de coordonate, atunci se poate scrie:

(1.8)

(1.9)

Produsul scalar în coordonate carteziene

Consideram proiectiile a doi vectori si pe axele de coordonate Ox, Oy si Oz: a_x, b_x, a_y, b_y,

a_z, b_z.

Produsul scalar cu aceste componente are expresia:

(1.10)

Efectuam produsele din relatia de mai sus si obtinem:

(1.11)

Formula de mai sus, împreuna cu definitia produsului scalar, conduce la expresia cosinusului

unghilului dintre cei doi vectori si în functie de componentele acestor vectori:

(1.12)

Produsul vectorial

Produsul vectorial(exterior) a doi vectori si este un vector perpendicular pe cei doi

vectori si , al carui modul este egal cu produsul si care are fata de cei doi vectori o orientare pozitiva. Produsul vectorial a doi vectori se noteaza .

Observatie: Daca niciunul din cei doi vectori si nu este nul, si daca , atunci

suportii vectorilor sunt paraleli, deoarece .

Modulul vectorului este egal cu numarul care masoara aria paralelogramului construit pe

vectorii echipolenti cu si , dusi printr-un punct O din spasiu(fig.1.7).

Fig.1.7: Produsul vectorial a doi vectori

Suportul produsului vectorial este perpendicular pe planul OAB. Sensul sau este astfel încât o

rotatie mai mica decât π , care aduce vectorul peste vectorul sa fie în sensul pozitiv.

Produsul vectorial în coordonate carteziene

Produsul vectorial în coordinate carteziene are expresia:

(1.13)

Sub forma de determinant produsul vectorial are expresia:

(1.14)

Proprietatile produsului vectorial

Produsul vectorial nu este comutativ

Produsul vectorial nu este asociativ

Produsul vectorial este distributiv

Distributivitatea se poate scrie si sub forma de determinanti, astfel

(1.15)

Produsele vectoriale ale vectorilor unitari sunt date de relatiile:

; ; (1.16)

Produsul mixt a trei vectori

Produsul mixt a trei vectori este dat de relatia:

(1.17)

În relatia de mai sus aplicam formulele cunoscute de la produsul scalar si produsul vectorial si

obtinem:

(1.18)

În scrierea cu determinanti produsul mixt are forma:

(1.19)

Se constata ca produsul mixt a trei vectori este egal cu numarul care masoara volumul

paralelipipedului construit pe cei trei vectori , , echipolenti cu vectorii , , dusi printr-un punct O. Volumul este pozitiv sau negativ dupa cum orientarea celor trei vectori este pozitiva sau negativa.

Identitati:

Relatia 1 de mai sus indica faptul ca vectorii se pot permuta circular. Relatia 2 ne arata ca se pot

schimba semnele înmultirii scalare si înmultirii vectoriale.

Produsul mixt se noteaza prescurtat cu sau .

Dublul produs vectorial a trei vectori

Expresia pentru calculul dublului produs vectorial a trei vectori este:

(1.20)

Operatii diferentiale asupra vectorilor

6.1. Derivata unui vector

Consideram ca fiecarei valori a unei variabile t îi facem sa-i corespunda un vector :. Efectuam o crestere a variabilei t cu Δt. Construim un nou vector(t+ Δt). Vectorul Δ=(t+ Δt) -(t). Daca modulul vectorului Δ tinde catre zero, atunci când Δt tinde catre zero, atunci vom spune ca vectorul (t) este o functie continua. Limita vectorului se numeste derivata vectorului (t) în raport cu t. Notatiile uzuale pentru derivata sunt: sau a'(t) sau

Similar, se pot defini si derivatele de ordin superior pentru un vector.

Daca vectorul depinde de mai multe variabile, atunci putem defini derivatele partiale de diverse ordine.

1.6.2. Derivata unui vector în raport cu alt vector

Consideram doi vectori si . Definim derivata vectorului în raport cu vectorul prin vectorul dat de expresia:

(1.21)

care se noteaza prin .

Proiectiile acestui vector pe axele de coordonate sunt:

(1.22)

1.6.3. Formule de derivare a vectorilor

1.6.3.1. Derivata unei sume de vectori

Derivata unei sume de vectori este egala cu suma derivatelor vectorilor sumei. Astfel, fie urmatoarea suma de vectori:

(1.23)

Derivata acestei sume are expresia:

(1.24)

1.6.3.2. Derivata unui produs dintre un numar si un vector.

Fie vecorul obtinut din produsul unui vector cu un numar n

(1.25)

Derivata acestui produs este data de expresia:

(1.26)

1.6.3.3. Derivata produsului dintre un vector si un scalar

Consideram un scalar f(t) si un vector (t) ca functii de vatiabila t. Vom studia derivata produsului

(1.27)

Expresia acestei derivate este:

(1.28)

Trecem la limita expresia de mai sus si obtinem:

(1.29)

1.6.3.4. Derivata unui produs scalar

Consideram urmatorul produs scalar , unde si .

Derivata acestui produs scalar este data de expresia:

(1.30)

Trecem la limita expresia de mai sus si obtinem:

(1.31)

1.6.3.5. Derivata unui produs vectorial

Consideram urmatorul produs vectorial

(1.32)

Derivata acestui produs vectorial de obtine cu ajutorul expresiei:

(1.33)

Observatie:

(1.34)

Teorema:

Derivata modulului unui vector se obtine prin expresia:

(1.35)

Teorema:

Daca un vector nenul satisface relatia , atunci el este paralel cu o directie fixa si

1.6.4. Integrala unui vector

Consideram un vector ca functie de t. Expresia lui în functie de proiectiile pe axele de coordonate este:

(1.36)

Fie t₀ si t₁ doua valori ale variabilei t. Integrala unui vector are expresia:

(1.37)

Functii de punct

În inginerie se întâlnesc frecvent marimi care depind de pozitia unui punct si care pot depinde si de o alta variabila, alta decât coordonatele spatiale x, y, z ale punctului; în general, aceasta variabila este timpul t. Daca o astfel de marime este un numar, vom spune ca este vorba de o functie scalara de punct, iar daca este un vector, vom spune ca este o functie vectoriala de punct. În zona spatiala în care o astfel de functie este definita exista un câmp scalar, respectiv un câmp vectorial.

De exemplu, densitatea electrica care exista în diferite puncte ale unui corp izolat electrizat este o functie scalara de punct. Dar, în acelasi timp, câmpul electric creat de aceste sacini în diverse puncte ale corpului este o functie vectoriala de punct. Sarcinile electrice au creat, deci, un câmp scalar de densitate electrica si un câmp vectorial de forte electrice.

Pentru astfel de probleme se definesc trei functii importante:

Gradientul este o functie vectoriala asociata unei functii scalare de punct;
Divergenta este o functie scalara asociata unei functii vectoriale de punct;
Rotorul este o functie vectoriala asociata unei functii vectoriale de punct.

1.7.1. Gradientul

Consideram o functie scalara f(x, y, z). Gradientul acestei functii scalare este un vector ale carui componente sunt

(1.38)

iar

(1.39)

Consideram un punct M(x, y, z) si M+ un punct infinit vecin (fig.1.8). Produsul scalar grad f. este egal cu df.

Într-adevar,

= df (1.40)

Fig.1.8. Gradientul

Raportul se numeste derivata functiei scalare în functie de punctul M, pe directia considerata .

Expresia (1.40) ne arata ca aceasta derivata este egala cu proiectia vectorului grad f pe directia , deoarece

(1.41)

1.7.2. Derivata normala

Daca se considera normala în punctul M la o suprafata oarecare Σ care trece prin acest punct(fig.1.9), atunci derivata functiei f în raport cu punctul M pe directia normalei se numeste derivata normala a functiei f în raport cu suprafata Σ.

Fig.1.9: Derivata normala

Daca n este vectorul unitar al acestei normale, atunci derivata aceasta este egala cu grad f.n, adica este egala cu proiectia vectorului grad f pe normala.

1.7.3. Suprafete de nivel

Suprafetele de nivel sunt definite de expresia:

f(x, y, z) = const. (1.42)

Ecuatia suprafetei de nivel care trece prin punctul de coordonate (x₀, y₀, z₀) este data de expresia:

f(x, y, z) = f(x₀, y₀, z₀) (1.43)

Aceasta suprafata este unica daca functia f(x, y, z) este uniforma.

Vectorul grad f într-un punct este normal la suprafata de nivel care trece prin acel punct. Derivata normala a lui f în raport cu suprafata de nivel este egala cu grad f.

1.7.4. Semnificatia vectorului grad f

Vectorul gradient descrie foarte bine proprietatile functiei f în jurul punctului M considerat. Variatia functiei f în jurul acestui punct este determinata de cunoasterea acestui vector. În particular, cea mai mare variatie a lui f are loc atunci când deplasarea se face de-a lungul normalei la suprafata de nivel. Aceasta variatie maxima este definita în marime si în directie de vectorul grad f.

Observatie: Vectorul grad f este independent de alegerea axelor de coordonate, asa cum rezulta din expresia f. = df.

1.7.5. Linii de forta

Prin linie de forta întelegem acea linie la care vectorul grad f este, în mod constant, tangent. Definitia vectoriala a liniilor de forta este data de expresia:

(1.44)

Definitia carteziana este data de expresia:

(1.45)

Asadar, liniile de forta sunt traiectoriile ortogonale ale suprafetelor de nivel

f(x, y, z) = const. (1.46)

Tub de forta

Un tub de forta este o suprafata descrisa de o linie de forta care se sprijina pe un contur închis C(fig.1.10).

Fig.1.10: Tub de forta

1.7.6. Gradientul unei functii scalare compuse

Consideram un scalar f(m, n, .) ca functie de mai multi scalari care sunt functii de coordonatele x, y, z, atunci grad f are expresia:

(1.47)

(1.48)

Însa dm = grad m.; dn = grad n. ; .

Cum este oarecare, obtinem formula (1.47)

Observam ca simbolul grad se comporta ca simbolul diferentierii.

1.7.7. Divergenta

Consideram un vector ca functie de punctul M(x, y, z) si a_x, a_y, a_z componentele vectorului pe axele de coordonate.

Divergenta vectorului este marimea scalara data de expresia:

(1.49)

1.7.8. Rotorul

Rotorul unui vector este marimea vectoriala obtinuta prin expresia:

(1.50)

Observam expresiile componentelor vectorului rot pe axele de coordonate

Pe axa Ox

(1.51)

Pe axa Oy

(1.52)

Pe axa Oz

(1.53)

Observatii:

Divergenta este o suma de produse scalare

(1.54)

Rotorul este format dintr-o suma de produse vectoriale

(1.55)

1.7.9. Operatorul Laplacian

Operatorul Laplacian are expresia:

(1.56)

Aplicam operatorul Laplacian unei functii scalare, f si obtinem:

(1.57)

Denumirea de Laplacian provine de la ecuatia lui Laplace care are expresia:

Δf = 0 (1.58)

Aplicam operatorul Laplacian unui vector si obtinem:

(1.59)

Însa vectorul se poate scrie în functie de componentele pe axele de coordonate

(1.60)

(1.61)

Rezulta ca este un vector.

1.7.10. Utilizarea vectorului simbolic "nabla"( )

Operatorul vectorial notat prin are urmatoarea expresie:

(1.62)

Aplicam acest operator vectorial nabla unui scalar f si obtinem:

(1.63)

Produsul scalar dintre vectorul simbolic si un vector , functie de punct, are expresia:

(1.64)

Produsul vectorial dintre vectorul simbolic si un vector , functie de punct, are expresia:

(1.65)

Observam ca si unde este un operator scalar.

Derivata unui vector în raport cu vectorul se poate scrie astfel

(1.66)

(1.67)

Se constata ca

(1.68)

ceea ce înseamna

rot rot = grad div - Δ (1.69)

1.8. Problema

Fie

f:R³ → R, (1.70)

în care , si , sunt vectori constanti.

Se cere sa se calculeze grad f

Solutie:

(1.71)

Problema

Se cere sa se calculeze unde f este dat in problema precedenta, iareste o directie data

Solutie:

(1.72)

1.10.Câmpul vectorial. Linii vectoriale

1.10.1. Câmp vectorial

Consideram în spatiu un domeniu D(fig.1.11). Fiecarui punct M îi vom atribui un vector cu o valoare numerica si o orientare bine determinate. Vom numi pe functie vectoriala de punct în domeniul considerat, adica

= (M) (1.73)

Domeniul D este câmpul vectorial al vectorului . Pentru a definin un câmp vectorial trebuie sa indicam legea conform careia putem determina în orice punct M al domeniului considerat atât marimea cât si orientarea vectorului.

Fig.1.11: Câmp vectorial

În coordonate carteziene rectangulare, unde

(1.74)

trebuie sa cunoastem cele trei proiectii ale vectorului

a_x = a_x(x, y, z); a_y = a_y(x, y, z); a_z = a_z(x, y, z) (1.75)

sub forma a trei functii scalare de coordonatele x, y, z. ale punctului M.

Exista, în fizica, multe câmpuri vectoriale, de exemplu: câmpul electrostatic al unor sarcini punctiforme, câmpul magnetic al unui conductor parcurs de curent, câmpul gradientului unei functii scalare oarecare f.

În mecanica exista câmpuri vectoriale ale vitezelor si acceleratiilor unui solid într-un moment oarecare, fiecarui punct al solidului în miscare fiindu-i atribuite un vector viteza si un vector acceleratie.

În cele ce urmeaza ne vom ocupa de câmpuri vectoriale în general. În particular, când vectorul reprezinta o forta vom spune ca avem un câmp de forte.

Exista multe metode de creare a câmpurilor vectoriale întâlnite în teoria electricitatii, a magnetismului, a elasticitatii, mecanica fluidelor, teoria potentialului etc.

1.10.2. Linii vectoriale

Prima metoda de studiu a câmpurilor vectoriale consta din trasarea asa numitelor linii vectoriale. Vectorul câmp este tangent la linia vectoriala în fiecare punct al ei(fig.7) În cazul particular al câmpurilor de forte, liniile vectoriale sunt numite linii de forta, în mecanica fluidelor se numesc linii de curent etc.

Linia de forta a unui câmp electrostatic reprezinta linia de-a lungul careia s-ar misca o sarcina libera +1, fara viteza initiala, ea fiind doar sub actiunea fortelor câmpului.

Determinam ecuatia diferentiala a liniei vectoriale.

Observam în figura 3.2 vectorul de pozitie al punctului curent M, care apartine acestei linii si satisface relatia

=(s) (1.76)

care reprezinta ecuatia sub forma vectoriala.

Fig.1.12: Linii vectoriale

Punem conditia ca vectorul câmp sa coincida în fiecare punct M cu versorul tangent . Este suficient sa punem conditia ca si sa fie paraleli, deoarece au un punct comun M, obtinem:

(1.77)

Relatia de mai sus este chiar ecuatia cautata. Pentru a o transpune în forma analitica folosim faptul ca proiectiile vectorilor paraleli sunt proportionale între ele.

Obtinem:

(1.78)

(1.79)

Am obtinut un sistem de ecuatii diferentiale scrise sub forma de proportii. Prin urmare, problema determinarii liniilor vectoriale se reduce la integrarea unui sistem de ecuatii diferentiale de forma de mai sus.

Presupunem ca am gasit doua integrale independente ale sistemului de mai sus

f₁(x, y, z) = C₁

f₂(x, y, z) = C₂ (1.80)

Ansamblul celor doua ecuatii va determina linia vectoriala, aceasta constituind intersectia a doua suprafete. Modificând arbitrar parametrii C₁ si C₂, vom obtine o familie de linii vectoriale care depind de doi parametri. În cazul general, integrarea sistemului de ecuatii diferentiale de mai sus este uneori foarte dificila. De aceea, în practica, se obisnuieste mai ales în cazul câmpurilor plane si paralele, sa se traseze liniile prin metode grafice aproximative.

1.10.3. Densitatea liniilor vectoriale

Deoarece putem lua drept punct initial orice punct A, pentru trasarea liniei vectoriale, înseamna ca numarul liniilor este infinit si din punct de vedere teoretic, ele pot acoperi întregul domeniu D în mod uniform. Câmpul vectorial are o densitate diferita a liniilor vectoriale în diferitele sale puncte; densitatea este mai mare acolo unde a este mai mare si invers. Daca vectorul are aceeasi marime, orientare si sens în toate punctele unui domeniu oarecare, atunci liniile vectoriale vor umple câmpul în mod uniform. Acest câmp se va numi câmp uniform.

Problema:

Intensitatea H a campului lung si rectiliniu în punctele exterioare se determina prin expresiile:

unde

Se cere sa se determine liniile vectoriale si forma lor.

Solutie:

Scriem sistemul de ecuatii diferentiale corespunzator problemei noastre

Deducem ca dz = 0 deoarece numai în acest caz ulimul raport poate fi egal cu primele doua.

Rezulta:

z = const. = C₁

Ecuatia de mai sus reprezinta o familie de plane paralele cu planul xOy, situate la distante corespunzatoare diferitelor valori pe care le ia constanta C₁.

Din primele doua relatii obtinem:

x.dx + y. dy = 0

de unde rezulta:

Am obtinut o familie de cilindri circulari drepti. Axele lor coincid cu axa z, iar razele sunt determinate de C₂.

Ansamblul ecuatiilor

z = const. = C₁

determina liniile vectoriale ca fiind intersectia de plane cu familia de suprafete cilindrice. Liniile reprezinta niste cercuri cu centrele situate pe axa z. Cercurile se afla în plane perpendiculare pe axa conductorului.

Daca am fi studiat proiectiile câmpului magnetic interior

H_x= -2π u y; H_y= 2πux; H_z= 0

am fi obtinut un sistem de ecuatii diferentiale de forma de mai sus. Prin urmare si liniile vectoriale ale câmpului interior reprezinta niste cercuri.

1.11. Formule utile

Gradientul produsului scalar

(1.81)

Demonstratie:

(1.82)

(1.83)

Dezvoltam expresiile din relatia de mai sus

(1.84)

(1.85)

(1.86)

Relatii similare gasim pentru expresia înlocuind pe a cu b si pe b cu a.

(1.87)

(1.88)

Proiectiile vectorului pe axele de coordonate sunt:

(1.89)

(1.90)

(1.91)

Similar obtinem proiectiile vectorului pe axele de coordonate înlocuind în expresiile de mai sus pe a cu b si pe b cu a.

Produsul scalar are expresia:

(1.92)

Proiectia pe axa Ox a gradientului din expresia noastra este:

(1.93)

Proiectia membrului drept al relatiei date pe axa Ox este:

(1.94)

Efectuând reducerile de termeni, relatia din enunt este evidenta pentru proiectia pe axa Ox. Similar se demonstreaza si pentru proiectiile pe celelalte axe de coordonate.

Divergenta produsului dintre o functie scalara si o functie vectoriala

Expresia divergentei produsului dintre o functie scalara si o functie vectoriala este:

(1.95)