Documente online.
Zona de administrare documente. Fisierele tale
Am uitat parola x Creaza cont nou
 HomeExploreaza
upload
Upload




Cercetarea experimentala realizata pe baza planului experimentelor factoriale complete

Matematica


Cercetarea experimentala realizata pe baza planului experimentelor factoriale complete

III.1. Introducere. Modelarea analitica-experimentala



Obiectivul fundamental al cercetarii este modelarea sistemului investigat. Modelarea matematica-analitica a sistemului studiat implica determinarea actiunii factorilor de influenta x1, x2, x3,.,xk,.xf asupra functiei obiectiv 23123p151x y (unde k=1,2,3,.,f, f reprezinta numarul factorilor). Explicitarea formei functiei analitice necesita precizarea dependentei functionale: . Însa, în cazul sistemelor tehnice complexe modelarea matematica este extrem de dificila, motiv pentru care în asemenea situatii se apeleaza la modelarea experimentala sau cea mixta analitico-exeprimenatala.

Modelarea experimentala a fenomenelor, proceselor, sistemelor investigate presupune definirea obiectivului cercetarii, alegerea functiei obiectiv 23123p151x , identificarea factorilor de influenta, verificarea adecvantei modelului, etc.

O cerinta de baza impusa modelelor, atât celor analitice cât si celor experimentale, este ca acestea sa aiba capacitatea de a reflecta sistemul cercetat cât mai adecvat. Acest lucru necesita ca valorile functiei obiectiv 23123p151x evaluate cu ajutorul modelului ("replica" sistemului real cercetat) sa constituie imaginea cât mai fidela a valorilor sistemului tehnic (obiect, fenomen sau proces). Totodata, modelarea experimentala trebuie sa furnizeze pe baza experimentelor informatii directe asupra sistemului cercetat în vederea atingerii domeniului optim al functiei obiectiv 23123p151x .

În strategia cercetarii experimentale remarcam patru etape consecutive, care sunt iterativ incluse în cicluri complete de investigatie pentru atingerea obiectivului cercetarii experimentale determinarea modelului experimental optimal la un numar minim de experiente efectuate, fara a reduce precizia de estimatie a acestuia.

Cele patru etape de baza sunt:

1. - Adoptarea modelului matematic aprioric pentru sistemul studiat, care stabileste legatura functionala între functia obiectiv si factorii de influenta;

2. - Conceperea programului de experimentare, în concordanta cu numarul si nivelul factorilor de influenta, precum si în functie de numarul replicilor planificate;

3. - Realizarea efectiva a programului de cercetare dedicat ciclului experimental;

4. - Prelucrarea rezultatelor experimentale prin evaluarea statistica a datelor de observatie, testarea adecvantei modelului si la nevoie corectia modelului pentru definirea modelului optim al sistemului cercetat.

Adoptarea unei strategii optime de realizare a experimentelor pentru modelare implica conceperea unui program de realizare si al unui plan experimental optim de cercetare.

Strategia de cercetare experimentala condusa conform modelului clasic Gauss-Seidel urmareste algoritmul "un factor la un moment dat", adica realizeaza o cercetare "unifactoriala". Aceasta înseamna ca, la un moment dat se modifica valoarea unui singur factor de influenta si se atribuie pentru ceilalti factori valori constante, prin care volumul experimentarii creste semnificativ. Exemplu, daca functia obiectiv este influentata de 7 factori si fiecare factor evaluam de exemplu la 3 nivele, numarul de experimente independente necesare de a fi efectuate este 37=2187.

Strategia de experimentare factoriala conform modelului Box-Wilson urmareste algoritmul "toti factori în fiecare moment". Aceasta înseamna ca în cadrul experimentelor factoriale pentru fiecare încercare experimentala se modifica valoarea tuturor factorilor de influenta, prin care se poate reduce mult volumul experimentarii.

Aceasta strategie moderna are urmatoarele caracteristici principale:

a.       Informatiile sunt achizitionate progresiv în urma efectuarii

experientelor, necesitand un numar minim de experiente pentru formularea concluziilor;

b. Metoda permite furnizarea de informatii privind directia de deplasare a determinarilor, pentru obtinerea domeniului optim al functiei obiectiv 23123p151x .

b.      Se obtin precizii maxime de estimatie ale modelului.



III.2. Modelul matematic al experimentelor factoriale

Legatura dintre functia obiectiv y si factorii de influenta x1, x2, x3,.,xk,.xf poate fi descrisa sub forma generala

în care:

x1,x2,.,xf reprezinta factorii naturali de influenta controlabila;

z1,z2,.zm reprezinta factorii de influenta necontrolabili, aleatori cu actiune stochastica, care genereaza erorile aleatoare;

b b bd reprezinta parametri statistici, de regula necunoscuti, numiti coeficienti de influenta sau de regresie.

In situatii reale nu se cunoaste forma si structura modelului real al sistemelor fizice si în particular al sistemelor tehnologice. In procesul modelarii sistemului real, se înlocuiesc valorile reale ale coeficientilor de regresie b b bd pentru modelul dat cu estimatiile statistice ale acestora b1,b2,.bd determinate în urma prelucrarii datelor experimentale, iar influenta factorilor aleatori este inclusa în eroarea experimentala, urmarindu-se minimizarea acesteia.

În acest mod se trece de la modelul real la modelul empiric (experimental), în care functia de raspuns reala este înlocuita prin estimarea ei statistica, exprimata cu o functie a factorilor controlabili si a estimatiilor statistice ale coeficientilor reali de regresie:

În rezolvarea problemei modelarii experimentale, se cauta exprimarea legaturii între functia obiectiv si factorii de influenta sub forma polinomiala. In general un model polinomial de ordinul I se exprima prin relatia de forma:


iar pentru un model polinomial de ordinul II functia obiectiv are forma:

Reprezentarea geometrica a dependentei functionale, denumita suprafata de raspuns, reda estimatia suprafetei reale. Reprezentarea acestei functii este posibila doar pentru cazul dependentei lui y de cel mult a doi factori de influenta. În situatiile generale, se pot vizualiza sectiunile bidimensionale ale hipersuprafetei de raspuns, tratarea globala poate fi facuta exclusiv pe cale analitica.

Efectuarea experimentului optimal tip factorial are scopul definit determinarea datelor necesare calculului efectelor provocate de factorii de influenta asupra functiei obiectiv 23123p151x , precum si a intensitatii interactiunilor dintre factorii de influenta. Efectele si interactiunile sunt exprimate cu ajutorul coeficientilor modelului adoptat. Numarul coeficientilor determina volumul experimentarii, asadar gradul minim al polinomului se alege în functie de numarul coeficientilor necunoscuti.



In cazul unei functii obiectiv y dependenta de doi factori de influenta x1 si x2, modelul experimental poate fi reprezentat printr-un polinom de ordinul I de forma:


utilizabil în zonele în care suprafata de raspuns poate fi aproximata cu o suprafata plana, sau cu un polinom de ordinul II, utilizabil în zonele de extrem, unde curbura suprafetei de raspuns se accentueaza:


În experimente factoriale de ordinul I (asa-numitele "experimente screening") determinarea coeficientilor polinomului de gradul I presupune selectarea factorilor de influenta pentru doua nivele de variatie, pentru nivelul minim si maxim, necesitând în cazul utilizarii strategiei experimentelor factoriale complete EFC un volum de experimente n=2k.

Strategia optimala asigurata de procedeul EFC implica utilizarea unui numar minim de încercari, ce se realizeaza dupa o strategie optimala, iar polinomul de regresie corespunzator acestui tip de experiment furnizeaza informatii asupra directei de urmat catre optim.

Se pune problema selectarii subdomeniului în care se va realiza modelarea, astfel ca modelul gasit sa fie adecvat. O etapa importanta în modelarea pe baza experimentelor o constituie verificarea adecvantei modelului polinomial estimat, adica a concordantei dintre rezultatele masurarilor si cele estimate cu ajutorul modelului. Numarul coeficientilor de regresie care pot fi calculati este egal cu volumul n al experimentului. Indiferent ca folosim strategia de experimente factoriale complete sau experimente factoriale fractionare (trunchiate), factorilor de influenta li se atribuie întotdeauna numai doua nivele de variatie (minim si maxim) în vederea determinarii coeficientilor de regresie (inclusiv b0).

Pentru functia obiectiv continuu se aleg dimensiunile subdomeniului explorat experimental, adica domeniile de variatie ale factorilor de influenta, care pot fi determinate pe baza informatiilor apriorice si/sau a intuitiei cercetatorului. Plecand de la acest domeniu pe baza informatiilor obtinute, experimentarea se continua secvential dupa directia de panta maxima (directia gradientului) pe suprafata de raspuns, deplasandu-se în alte subdomenii dimensionate corespunzator, pâna la atingerea domeniului optim ce contine punctul de interes pentru cercetator (care este de regula un punct extremum).

Sunt situatii când suprafeta de raspuns are curbura prea accentuata, pentru ca modelarea sa dea rezultate satisfacatoare sub aspectul preciziei estimatiei, în aceste situatii se recurge la modelarea prin polinoame de ordin superior, de preferinta de ordinul II, pâna la identificarea optimului. Aceste modele, numite modele de ordin superior pot fi explicitate fie prin dirijarea factorilor de influenta pe trei nivele de variatie, (lucru care mareste considerabil volumul experimentului n=3k si complica prelucrarea rezultatelor sale), fie prin recurgerea la asa-numitele experimente central-compuse.

Se demonstreaza ca strategia de experimentare factoriala este o strategie optima, iar planul de experimentare factoriala este un plan optimal. Planul experimental se considera a fi optim daca în conditiile date realizeaza o estimare cu cea mai buna precizie a valorilor functiei obiectiv 23123p151x .

Precizia estimatiei poate fi evaluata cu ajutorul unor criterii de optim, dintre care cel mai des utilizat este criteriul matricii-unitate. S-a demonstrat ca precizia estimatiei depinde de produsul dintre matricea-program a experimentului si transpusa acesteia, definit cu ajutorul relatiei:

XT X=n I

unde X reprezinta matricea-program a experimentului, XT transpusa matricei program, respectiv I este matricea-unitate, n numarul de determinari.

"Suprafata de raspuns" fiind imaginea grafica a functiei obiectiv 23123p151x , de regula nu este posibila reprezentarea grafica a suprafetei de raspuns decât daca numarul factorilor de influenta este k ≤3. În situatii în care valoarea lui k>3 studiul suprafetei de raspuns se face prin sectionarea acesteia cu plane paralele cu planul factorilor de influenta. Curbele rezultate în urma intersectiei suprafetei de raspuns cu planele de sectionare ale acesteia se numesc curbe de raspuns egal sau curbe de raspuns constant ale hipersuprafetei.




Document Info


Accesari: 4710
Apreciat: hand-up

Comenteaza documentul:

Nu esti inregistrat
Trebuie sa fii utilizator inregistrat pentru a putea comenta


Creaza cont nou

A fost util?

Daca documentul a fost util si crezi ca merita
sa adaugi un link catre el la tine in site


in pagina web a site-ului tau.




eCoduri.com - coduri postale, contabile, CAEN sau bancare

Politica de confidentialitate | Termenii si conditii de utilizare




Copyright © Contact (SCRIGROUP Int. 2025 )