Obiectivul
fundamental al
cercetarii este modelarea sistemului
investigat. Modelarea matematica-analitica a sistemului studiat
implica determinarea actiunii factorilor de influenta x1, x2, x3,.,xk,.xf asupra functiei obiectiv 23123p151x y (unde k=1,2,3,.,f, f
reprezinta numarul factorilor). Explicitarea formei functiei
analitice necesita precizarea dependentei functionale: 
. Īnsa, īn cazul sistemelor tehnice complexe modelarea matematica este extrem de
dificila, motiv pentru care īn asemenea situatii se apeleaza la modelarea experimentala sau cea mixta analitico-exeprimenatala.
Modelarea experimentala a fenomenelor, proceselor, sistemelor investigate presupune definirea obiectivului cercetarii, alegerea functiei obiectiv 23123p151x , identificarea factorilor de influenta, verificarea adecvantei modelului, etc.
O cerinta de baza impusa modelelor, atāt celor analitice cāt si celor experimentale, este ca acestea sa aiba capacitatea de a reflecta sistemul cercetat cāt mai adecvat. Acest lucru necesita ca valorile functiei obiectiv 23123p151x evaluate cu ajutorul modelului ("replica" sistemului real cercetat) sa constituie imaginea cāt mai fidela a valorilor sistemului tehnic (obiect, fenomen sau proces). Totodata, modelarea experimentala trebuie sa furnizeze pe baza experimentelor informatii directe asupra sistemului cercetat īn vederea atingerii domeniului optim al functiei obiectiv 23123p151x .
Īn strategia cercetarii experimentale remarcam patru etape consecutive, care sunt iterativ incluse īn cicluri complete de investigatie pentru atingerea obiectivului cercetarii experimentale determinarea modelului experimental optimal la un numar minim de experiente efectuate, fara a reduce precizia de estimatie a acestuia.
Cele patru etape de baza sunt:
1. - Adoptarea modelului matematic aprioric pentru sistemul studiat, care stabileste legatura functionala īntre functia obiectiv si factorii de influenta;
2. - Conceperea programului de experimentare, īn concordanta cu numarul si nivelul factorilor de influenta, precum si īn functie de numarul replicilor planificate;
3. - Realizarea efectiva a programului de cercetare dedicat ciclului experimental;
4. - Prelucrarea rezultatelor experimentale prin evaluarea statistica a datelor de observatie, testarea adecvantei modelului si la nevoie corectia modelului pentru definirea modelului optim al sistemului cercetat.
Adoptarea unei strategii optime de realizare a experimentelor pentru modelare implica conceperea unui program de realizare si al unui plan experimental optim de cercetare.
Strategia de cercetare experimentala condusa conform modelului clasic Gauss-Seidel urmareste algoritmul "un factor la un moment dat", adica realizeaza o cercetare "unifactoriala". Aceasta īnseamna ca, la un moment dat se modifica valoarea unui singur factor de influenta si se atribuie pentru ceilalti factori valori constante, prin care volumul experimentarii creste semnificativ. Exemplu, daca functia obiectiv este influentata de 7 factori si fiecare factor evaluam de exemplu la 3 nivele, numarul de experimente independente necesare de a fi efectuate este 37=2187.
Strategia de experimentare factoriala conform modelului Box-Wilson urmareste algoritmul "toti factori īn fiecare moment". Aceasta īnseamna ca īn cadrul experimentelor factoriale pentru fiecare īncercare experimentala se modifica valoarea tuturor factorilor de influenta, prin care se poate reduce mult volumul experimentarii.
Aceasta strategie moderna are urmatoarele caracteristici principale:
a. Informatiile sunt achizitionate progresiv īn urma efectuarii
experientelor, necesitand un numar minim de experiente pentru formularea concluziilor;
b. Metoda permite furnizarea de informatii privind directia de deplasare a determinarilor, pentru obtinerea domeniului optim al functiei obiectiv 23123p151x .
b. Se obtin precizii maxime de estimatie ale modelului.
Legatura dintre functia obiectiv y si factorii de influenta x1, x2, x3,.,xk,.xf poate fi descrisa sub forma generala
īn care:
x1,x2,.,xf reprezinta factorii naturali de influenta controlabila;
z1,z2,.zm reprezinta factorii de influenta necontrolabili, aleatori cu actiune stochastica, care genereaza erorile aleatoare;
b b bd reprezinta parametri statistici, de regula necunoscuti, numiti coeficienti de influenta sau de regresie.
In situatii reale nu se cunoaste forma si structura modelului real al sistemelor fizice si īn particular al sistemelor tehnologice. In procesul modelarii sistemului real, se īnlocuiesc valorile reale ale coeficientilor de regresie b b bd pentru modelul dat cu estimatiile statistice ale acestora b1,b2,.bd determinate īn urma prelucrarii datelor experimentale, iar influenta factorilor aleatori este inclusa īn eroarea experimentala, urmarindu-se minimizarea acesteia.
Īn acest mod se trece de la modelul real la modelul empiric (experimental), īn care functia de raspuns reala este īnlocuita prin estimarea ei statistica, exprimata cu o functie a factorilor controlabili si a estimatiilor statistice ale coeficientilor reali de regresie:
Īn rezolvarea problemei modelarii experimentale, se cauta exprimarea legaturii īntre functia obiectiv si factorii de influenta sub forma polinomiala. In general un model polinomial de ordinul I se exprima prin relatia de forma:
iar pentru un model polinomial de
ordinul II functia obiectiv are forma:
Reprezentarea geometrica a dependentei functionale, denumita suprafata de raspuns, reda estimatia suprafetei reale. Reprezentarea acestei functii este posibila doar pentru cazul dependentei lui y de cel mult a doi factori de influenta. Īn situatiile generale, se pot vizualiza sectiunile bidimensionale ale hipersuprafetei de raspuns, tratarea globala poate fi facuta exclusiv pe cale analitica.
Efectuarea experimentului optimal tip factorial are scopul definit determinarea datelor necesare calculului efectelor provocate de factorii de influenta asupra functiei obiectiv 23123p151x , precum si a intensitatii interactiunilor dintre factorii de influenta. Efectele si interactiunile sunt exprimate cu ajutorul coeficientilor modelului adoptat. Numarul coeficientilor determina volumul experimentarii, asadar gradul minim al polinomului se alege īn functie de numarul coeficientilor necunoscuti.
In cazul unei functii obiectiv y dependenta de doi factori de influenta x1 si x2, modelul experimental poate fi reprezentat printr-un polinom de ordinul I de forma:
utilizabil īn zonele īn care suprafata de raspuns poate fi aproximata cu o suprafata plana, sau cu un polinom de ordinul II, utilizabil īn zonele de extrem, unde curbura suprafetei de raspuns se accentueaza:
Īn experimente factoriale de ordinul I
(asa-numitele "experimente
screening") determinarea coeficientilor polinomului de gradul I
presupune selectarea factorilor de influenta pentru doua nivele
de variatie, pentru nivelul minim
si maxim, necesitānd īn cazul
utilizarii strategiei experimentelor
factoriale complete EFC un volum de experimente n=2k.
Strategia optimala asigurata de procedeul EFC implica utilizarea unui numar minim de īncercari, ce se realizeaza dupa o strategie optimala, iar polinomul de regresie corespunzator acestui tip de experiment furnizeaza informatii asupra directei de urmat catre optim.
Se pune problema selectarii subdomeniului īn care se va realiza modelarea, astfel ca modelul gasit sa fie adecvat. O etapa importanta īn modelarea pe baza experimentelor o constituie verificarea adecvantei modelului polinomial estimat, adica a concordantei dintre rezultatele masurarilor si cele estimate cu ajutorul modelului. Numarul coeficientilor de regresie care pot fi calculati este egal cu volumul n al experimentului. Indiferent ca folosim strategia de experimente factoriale complete sau experimente factoriale fractionare (trunchiate), factorilor de influenta li se atribuie īntotdeauna numai doua nivele de variatie (minim si maxim) īn vederea determinarii coeficientilor de regresie (inclusiv b0).
Pentru functia obiectiv continuu se aleg dimensiunile subdomeniului explorat experimental, adica domeniile de variatie ale factorilor de influenta, care pot fi determinate pe baza informatiilor apriorice si/sau a intuitiei cercetatorului. Plecand de la acest domeniu pe baza informatiilor obtinute, experimentarea se continua secvential dupa directia de panta maxima (directia gradientului) pe suprafata de raspuns, deplasandu-se īn alte subdomenii dimensionate corespunzator, pāna la atingerea domeniului optim ce contine punctul de interes pentru cercetator (care este de regula un punct extremum).
Sunt situatii cānd suprafeta de raspuns are curbura prea accentuata, pentru ca modelarea sa dea rezultate satisfacatoare sub aspectul preciziei estimatiei, īn aceste situatii se recurge la modelarea prin polinoame de ordin superior, de preferinta de ordinul II, pāna la identificarea optimului. Aceste modele, numite modele de ordin superior pot fi explicitate fie prin dirijarea factorilor de influenta pe trei nivele de variatie, (lucru care mareste considerabil volumul experimentului n=3k si complica prelucrarea rezultatelor sale), fie prin recurgerea la asa-numitele experimente central-compuse.
Se demonstreaza ca strategia de experimentare factoriala este o strategie optima, iar planul de experimentare factoriala este un plan optimal. Planul experimental se considera a fi optim daca īn conditiile date realizeaza o estimare cu cea mai buna precizie a valorilor functiei obiectiv 23123p151x .
Precizia estimatiei poate fi evaluata cu ajutorul unor criterii de optim, dintre care cel mai des utilizat este criteriul matricii-unitate. S-a demonstrat ca precizia estimatiei depinde de produsul dintre matricea-program a experimentului si transpusa acesteia, definit cu ajutorul relatiei:
XT X=n I
unde X reprezinta matricea-program a experimentului, XT transpusa matricei program, respectiv I este matricea-unitate, n numarul de determinari.
"Suprafata de raspuns" fiind imaginea grafica a functiei obiectiv 23123p151x , de regula nu este posibila reprezentarea grafica a suprafetei de raspuns decāt daca numarul factorilor de influenta este k ≤3. Īn situatii īn care valoarea lui k>3 studiul suprafetei de raspuns se face prin sectionarea acesteia cu plane paralele cu planul factorilor de influenta. Curbele rezultate īn urma intersectiei suprafetei de raspuns cu planele de sectionare ale acesteia se numesc curbe de raspuns egal sau curbe de raspuns constant ale hipersuprafetei.
|
