Consideratii metodice asupra predarii aritmeticii in gimnaziu si liceu

Consideratii metodice asupra predarii aritmeticii in gimnaziu si liceu.

M-am oprit asupra unei teoreme de divizibilitate propunandu-mi sa lamuresc un aspect al acestui capitol mai larg, mai exact notiunile de element prim si element ireductibil intr-un domeniu de integritate.Problemele legate de tema divizibilitatii imbraca forme mai tipice la nivelul clasei dar sunt nelipsite si la olimpiadele sco 353h714d lare unde li se atribuie de obicei cel mai ridicat nivel de dificultate.Odata cu prezentarea teoretica si mai departe cu aplicarea practica a divizibilitatii , in activitatea noastra didactica apar intrebari pe care elevii si le pun in mod natural,iar noi incercam sa le raspundem lor ,dar sa ne lamurim si noi dintr-o perspectiva mai limitata sau mai generala.

As exemplifica prin cateva intrebari legata de programa noastra scolara, la care, lucrarea pe care am ales-o va fi in masura sa raspunda.

In multimea numerelor naturale ,la clasa a V-a, vorbim de numere prime si descompunerea unica a unui numar natural in produs de numere prime.Mai departe,la clasa a VI-a ,problema divizibilitatii se pune pe multimea numerelor intrgi.Ea se reia,cu unele completari ,la clasa a X-a unde, se extinde ulterior la multimea polinoamelor cu coeficienti complecsi.

Aici vorbim de polinoame ireductibile si cercetam posibilitatea descompunerii unui polinom in produs de polinoame ireductibile.In clasa a XII-a se studiaza structura de inel si se revine asupra polinoamelor si descompunerii in factori ireductibili,cu coeficienti in inelul sau corpul coeficientilor, respectiv descompunerii in Z[x] , R[x] sau C[x] , Zp[x] , p-prim.

De asemenea , calculul c.m.m.d.c. este introdus in mod liniar pentru numere naturale in clasa a V-a , numere intregi in clasa a VI-a , polinoame in clasa a X-a ,apare ca metoda de calcul si algoritmul lui Euclid.

Ne punem , in consecinta intrebarile:

-De ce la numere intregi folosim denumirea de numar prim si descompuneri in factori primi, iar la polinoame denumirea de polinom ireductibil si descompunerea in factori ireductibili ? Este vreo deosebire, asadar, intre elemrnt prim si element ireductibil?

Apoi, aceste descompuneri sunt unice?

-De ce la numere naturale avem un singur c.m.m.d.c. pentru mai multe numere date,la numere intregi avem cate doi (cu semnele ),iar la polinoame mai multi c.m.m.d.c. , depinzand de inelul coeficientilor ( in Z x cate doi , cu , in R x o infinitate ,cu cate un factor real de proportionalitate)?

Elevii se mai pot intreba de asemenea de ce studiem divizibilitatea numai pe anumite multimi ,spre exemplu , de ce o studiem pe inelul Z si nu pe corpurile Q, R, sau C ?

In clasa a V-a se studiaza niste criterii de divizibilitate cu numere naturale iar in clasa a X-a un criteriu de divizibilitate la polinoame (Teorema

lui Bezout).Ne-ar mai putea interesa si alte reguli de divizibilitate , dar mai ales problema deciziei , daca un numar este prim sau un polinom este ireductibil, care ramane deschisa in programa gimnaziului si liceului susceptibila , insa , la lamuriri si completari.

Desigur, ne putem ridica si mai sus cu aceste intrebari, in clasa a XII-a, la studiul structurilor algebrice.

-De ce problema divizibilitatii se pune pe inele integre si cum se leaga ea de unitatile inelului, de ce nu prezinta interes in cazul corpurilor ?

-Mai departe, in ce fel de inele integre notiunile de element prim si element ireductibil sunt identice ?

-Exista si inele unde ele nu coincid ?

-In orice inel doua elemente admit c.m.m.d.c. ?

-Orice inel admite descompuneri in factori ireductibili ?

-In ce inele putem aplica algoritmul lui Euclid pentru aflarea c.m.m.d.c. ?

-Cum arata elementele inversabile (unitatile) in inelele Z , Z x , R x de care depind asocierile in divizibilitate ?

Scopul temei pentru care am optat este , deci , perfectionarea noastra profesionala , capabila sa ofere elevilor cu care lucram raspunsuri si completari la asemenea intrebari , privirea lor dintr-o perspectiva generalizatoare.

O tratare comparativa , cu caracter teoretic dar si aplicativ , am incercat sa schitez in exemplele care urmeaza.

Inca din clasa a X-a ne intalnim cu notiunea de numar prim care se defineste ca fiind un numar n N , n 0,1 si care nu are alti factori decat pe 1 si el insusi. Observam ca aceasta definitie corespunde definitiei elementului ireductibil intr-un domeniu de integritate. Ca rezultat fundamental de aritmetica pentru multimea numerelor naturale in gimnaziu se enunta teorema fundamentala a aritmeticii : " Orice numar natural diferit de 0 sau 1, se descompune in mod unic , mai putin ordinea factorilor , ca un produs de factori primi."

Existenta descompunerii se justifica prin exemple.De altfel , demonstratia existentei descompunerii in factori este usor de intuit , folosind definitia numarului prim data mai sus.In ceea ce priveste unicitatea ,se observa tot prin exemple, dar, de fapt, problema demonstratiei unicitatii nu ne-o putem pune la clasele de gimnaziu.Pentru aceasta ar trebui sa demonstram, pentru inceput , ca "un numar natural p (p 2) este prim daca si numai daca oricare ar fi a,b N p/ab ,atunci p/a sau p/b" (adica este prim in sensul adevarat al definitiilor din lucrare) ori acest lucru nu este simplu si atunci unicitatea ramane sa o justificam printr-o diversitate de exemple.De altfel, definitia numarului prim data in gimnaziu (ca element ireductibil) are avantajul ca este usor de inteles de elevi;in acelasi timp , definitia ca element prim intr-un domeniu de integritate nu credem ca este pe intelesul elevilor din clasa a V-a.In definitiv, nici denumirea nu deranjeaza in perspectiva, pentru ca, in conformitate cu rezultatele date in lucrare, un numar natural este prim daca si numai daca este ireductibil.

In clasa a X-a, este un capitol intitulat "Notiuni de aritmetica numerelor intregi" care, din pacate, nu mai este in programa,unde se arata ca

un numar natural este prim daca si numai daca numarul natural este ireductibil.In acest capitol, se face o teorie riguroasa a aritmeticii numerelor intregi, unele elemente exprimandu-le in continuare.

Teorema fundamentala a aritmeticii pentru numere intregi:

Oricare ar fi numarul intreg n, cu n >2 ,exista o descompunere a sa in produs de numere prime p1,p2,.,pm , nu neaparat distincte ,astfel incat n= p1 p2 .pm

In plus, aceasta descompunere este unica, in sensul ca oricare alta descompunere in produs de factori primi difera de ea doar prin ordinea factorilor.

Demonstratie:

Vom dovedi, mai intai, ca orice numar intreg a , cu a 2 ,are cel putin un divizor prim.Fie A multimea divizorilor naturali ai lui a, diferiti de 1. Evident ca a A , deci A si in plus, A este finita .Fie p cel mai mic numar ce apartine multimii A.Daca p nu ar fi prim, atunci, conform definitiei ca "un numar natural p 2 se numeste prim daca singurii sai divizori sunt 1 si p" ar exista un divizor natural al lui p, cu d > 1.Cum d/p, atunci d/a si, deci ,d A, ceea ce contrazice alegerea lui p.Deci, p este prim.

Trecem acum la demonstrarea existentei unei descompuneri a numarului n in produs de numere prime. Deoarece n 2, exista p1 numar prim astfel incat p1/n.Sa notam cu n1=n/p1.Daca n1= 1 atunci n= p , si deci partea de existenta este demonstrata.Daca nu , vom avea n1 2 si , deci, exista un numar prim p2 astfel incat p2/n1. Daca n2=n1/p2= 1, atunci n=n1 p1= p2.Daca nu , continuam procedeul si obtinem un numar prim p3/n2 s.a.m.d.

Sirul de numere n, n1, n2, n3, ., are proprietatea ca n > n1 > n2 ... , deoarece n2 n1/p2 n1/2 n1 s.a.m.d. Fiind un sir srict descrescator de numere naturale, rezulta ca el este finit si, deci, acest un procedeu se opreste dupa un numar finit de pasi, adica exista un m astfel incat nm=nm-1/pm 1. Prin urmare, n=p1 n1=p1 p2 n2=.=p1 p2.pm nm p1 p2. pm.

Unicitatea:

Sa presupunem ca avem pentru n doua descompuneri in factori primi n=p1p2.pm si n=q1q2..qr.Deoarece toate numerele pi si qj sunt pozitive , semnul din fata produselor este acelasi in ambele scrieri: plus, daca n>0, si, minus, daca n<0.Avem,prin urmare, (1) p1p2.pm=q1q2..qr.Reordonand eventual factorii celor doua produse , valoarea produselor nu se schimba, inmultirea fiind comutativa.Putem deci presupune ca 

p1 p2 pm si q1 q2 qr

Din egalitatea (1) rezulta ca p1/q1q2.qr si,conform teoremei "un numar

naturalp 2 este prim daca si numai daca oricare ar fi a si b numere intregi, astfel incat p divide pe ab, sa rezulte ca p divide pe a sau b" rezulta ca exista 1 i r astfel incat p1/qi, conform teoremei fundamentale a aritmeticii enuntate mai sus,

singurii divizori ai lui qi sunt 1 si qi si cum p1>2 , rezulta ca p1=qi.Vom avea chiar ca p1=q1.

Intr-adevar, deoarece q1 este cel mai mic element din sirul q1,q2,.,qr avem q1 qi=p1.Deoarece q1/p1p2.pr exista j astfel incat q1/pj.Prin urmare, q1=pj>p1, si deci, q1 p1.Am obtinut ,deci, ca p1 q1 si p1 q1.Simplificand in relatia (1) cu p1=q1 , obtinem egalitatea p2p3.pm=q2q3.qr.

Facand acelasi rationament , va rezulta p2=q2 si, din aproape in aproape, vom avea , in final, m=r si pi=qi , 1 i m , ceea ce completeaza demonstratia partii de unicitate din tema.

Observatie:

In teorema enuntata , in reprezentarea numarului n ca produs de factori primi p1, p2, ., pm este posibil ca unii dintre factori sa fie egali intre ei; p1 poate sa apara de t1 ori , unde t1 1, p2 de t2 ori cu t2 1 si in genegal pk de tk ori cu tk 1.Daca numarul factorilor primi distincti este l atunci vom avea : n= p p .p , unde putem presupune ca p1<p2<.<pl (3) .

Scrierea lui n in forma (3) se numeste descompunerea lui n in factori primi.In acest sens , teorema fundamentala a aritmeticii se mai numeste si teorema de descompunere in factori primi.

Exemplu:

Numarul intreg -7800 se poate scrie ca produs de factori primi in felul urmator : 2

-7800 [a1] =-2*2*2*3*5*5*13=-2 *3*5 *13

Cu ajutorul teoremei fundamentale a aritmeticii se da si un alt procedeu de calcul al c.m.m.d.c. a doua sau mai multe numere intregi si anume : se scriu descompunerile acestor numere in produse de factori primi si c.m.m.d.c. al lor va fi produsul factorilor primi comuni ai acestor numere la puterea cea mai mica .In mod similar cu specificul de rigoare din teorema fundamentala, rezulta un mod de calcul al c.m.m.m.c al doua sau mai multe numere.

In continuare se pot face cateva observatii asupra sirului numerelor prime.Practic, pentru a dovedi ca un numar natural n>1 este prim, este suficient sa verificam ca el nu are divizori primi mai mici decat n.

Pentru polinoamele cu coeficienti numerici , lucrurile stau analog ca la numerele naturale si intregi.In gimnaziu ,se definise ,de asemenea, ceea ce este in fapt definitia elementului ireductibil intr-un domeniu de integritate; aici denumirea corespunde.In cadrul capitolului "Polinoame cu coeficienti complecsi" din algebra de clasa a X-a se enunta teorema :"Fie f=a0+a1X+.+anX un polinom cu an 0 , n 1.Daca x1, x2, ., xn sunt radacinile polinomului f atunci (1) f=an(X-x1)(X-x2).(X-xn).In plus, descompunerea (1) nu este unica."

Aici unicitatea este adevarata, mai putin ordinea factorilor si asociera in divizibilitate a acestora.Este clar ca doua polinoame P si Q sunt asociate in divizibilitate daca si numai daca exista un numar a astfel incat P=aQ .

Existenta se poate justifica cu aceasta definitie a polinoamelor ireductibile, dar unicitatea sufera ,de asemenea, de faptul ca nu am demonstrat nicaieri in gimnaziu ca un polinom este ireductibil daca si numai daca polinomul este prim.Din lucrare rezulta ca acest rezultat este adevarat.Deci, ca si in cazul numerelor intregi, si la polinoame conceptele de element prim si element ireductibil coincid, fara a se mentiona la nivelul gimnaziului.Mentionam ca in clasa a X-a , la polinoame cu coeficienti complecsi, se justifica faptul ca un polinom cu coeficienti complecsi intr-o nedeterminata este ireductibil daca si numai daca este prim, acestea fiind polinoamele de gradul I . De asemenea , se arata ca un polinom intr-o nedeterminata cu coeficienti reali este prim daca si numai daca esta ireductibil , acestea fiind polinoamele de gradul I sau de gradul al II-lea cu D<0. Se folosesc proprietati ale radacinilor unui polinom , se enunta teorema:"Orice polinom f=a +a X +.+a X de grad 1 cu coeficienti reali este un produs de polinoame de gradul I sau gradul al II-lea cu coeficienti reali adica f poate fi scris sub forma

f=an(X-x1).(X-xp) (X+b1*X+c1).(X+bsX+cs unde x1, ., xp R si

b1-4c1<0 . bs-4cs<0. 

Demonstratie:

Conform teoremei enuntate mai inainte f are descompunerea

(2) f=an(X-x1) (X-x2) . (X-xn) unde x1, x2, ., xn sunt radacinile lui f.

Presupunem ca x1, x2, ., xp sunt radacinile reale ale lui f ,iar radacinile xp+1, ., xn sunt complexe.Luam radacina xp+1, care are ordinul de multiplicitate kp+1.Cum xp+1 este o radacina a lui f, exista o radacina xp+i (i >1) astfel incat xp+i=xp+1. Dupa teorema care spune ca "orice polinom cu coeficienti reali care admite o radacina complexa, admite si conjugata sa cu acelasi ordin de multiplicitate" avem kp+1=kp+i .In descompunera (2) grupam factorul (X-xp+1) cu factorul (X-xp+i) =(X-xp+1) . Notam r1=kp+1, b1=(xp+1+xp+1) si cu c1=xp+i xp+1. Atunci, in descompunerea (2) apare factorul (X-xp+i) (X-xp+1) =(X+b1X+c1) unde b1, c1 R . Daca in continuare se procedeaza la fel cu toate radacinile complexe ale lui f , atunci descompunerea (2) a lui f se scrie sub forma (1).

Mai tarziu, in clasa a XII-a, se trateaza despre polinoame ireductibile si descompunerea polinoamelor in produs de factori ireductibli, care se finalizeaza cu enuntul si demonstratia teoremei:"Fie K un corp comutativ si f k[X] un polinom de grad mai mare ca 0.Atunci:

1. f se descompune intr-un produs finit de polinoame ireductinile peste K;

2. Daca f=f1f2.fm=f1'f2'.fm, sunt doua descompuneri ale lui f in produs finit de polinoame ireductibile,atunci m=m' si exista o permutare s Sm astfel incat fi=fs(i)' 1 i m' care este, de fapt, o generalizare la polinoame cu coeficienti intr-un corp comutativ, a teoremei fundamentale a aritmeticii."

Aceasta teorema este urmata de enuntul a doua consecinte , de fapt amintite si in clasa a X-a, si anume:

Consecinta 1: Orice polinom f R[X] de grad mai mare ca zero, se reprezinta ca produs finit de polinoame de grad 1, din C[X], unic determinate, mai putin ordinea si o asociere in divizibilitate a factorilor.

Consecinta 2: Orice polinom f R[X] de grad mai mare ca zero se reprezinta ca produs finit de polinoame din R[X] de gradul 1 sau de gradul 2 fara radacini reale, unic determinate mai putin ordinea si o asociere in divizibilitate a factorilor.

Aceste consecinte se demonstreaza foarte usor, folosind teorema de mai sus.

In final se trateaza despre polinoame ireductibile cu coeficienti in corpul Zp , unde p este prim.In acest sens putem enunta cateva exemple, cum ar fi :

Exemplul 1. Sa se descompuna in factori ireductibili peste Z5

polinomul f=X +X +2X +3.

Solutie f(1)=1+1+2+3=2

f(0)=3

f(2)=1+3+3+3=0

f(3)=1+2+3+3=4

f(4)=1+4+2+3=0

deci f=(X+2X+1)(X+3)(X+1) ,unde g=X+2X+1 este reductibil deoarece g(4)=1+3+1=0 deci , g(X)=(X+1)(X+1) si mai departe f(X)=(X+3)(X+1)(X+1)(X+1)=(X+3)(X+1).

Exemplul 2. Descompuneti in produs de polinoame ireductibile peste corpul Z2 polinoamele de grad 4 din Z2[X].

Solutie.

f1=X ; f2=X+1 ; f3=X ; f4=X+X ; f5=X+1=(X+1) ; f6=X+X+1 ; f7=X ; f8=X+X=X(X+1) ; f9=X+X+1 ; f10=X+X+X=X(X+X+1) ; f11=X+X+X+1=(X+1) ; f12=X+1=(X+1)(X+X+1) ; f13=X+X=X(X+1) ; f14=X+X+1 ; f15=X ; f16=X+1=X+1 ; f17=X+X=X(X+1) ; f18=X+X+1 ; f19=X+X=X(X+1) ; f20=X+X+1=(X+X+1) ; f21=X+X=X(X+1)(X+X+1) ; f22=X+X+1 ; f23=X+X+X=X(X+X+1) ; f24=X+X+X+1=(X+1)(X+X+1) ; f25=X+X+X=X(X+X+1) ; f26=X+X+X+1=(X+1)(X+X+1) ; f27=X+X+X=X(X+X+1) ; f28=X+X+X+1=(X+1)(X+X+1) ; f29=X+X+X+X ; f29=X+X+X+X+1.

Observam ca polinoamele f1, f2, f6, f9, f14, f16, f22, f30, sunt ireductibile peste corpul Z2.

Observam, deasemenea, ca este important cand vorbim de polinoame ireductibile si descompunerea in factori ireductibili, sa precizam carei multimi de numere apartin coeficientii sau la ce multime de polinoame ne referim.

De exemplu, polinomul 2X-4 in Q[X] este ireductibil, pe cand, in Z[X] este reductibil, deoarece 2(X-2) este o descompunere in factori ireductibili in Z[X] (in Q[X], numarul 2 fiind inversabil nu este prim).De asemenea, polinomul X+1 este ireductibil in R[X], dar in C[X] este reductibil, deoarece X+1=(X+i)(X-i). Deci si cand tratam teorema fundamentala a descompunerii in factori ireductibili la polinoame trebuie sa precizam multimea polinoamelor in care facem descompunerea in factori ireductibili.Problema ireductibilitatii polinoamelor este legata de aflarea radacinii polinoamelor.Observam ca prezenta lucrare justifica faptul ca notiunile de numar intreg prim si numar intreg ireductibil, ca si polinom prim si polinom ireductibil coincid, aceasta fiind o proprietate a domeniilor factoriale, mai general, a domeniilor in care orice doua elemente au un c.m.m.d.c. Multe rezultate din gimnaziu, din aritmetica, privind numerele prime si polinoamele ireductibile nu se pot demonstra deoarece conceptele respective sunt date prin cel de element ireductibil, care este mai slab decat cel de element prim (in general vorbind,orice element prim este ireductibil, reciproca nefiind, de regula, adevarata).