Criterii de ireductibilitate pentru polinoame.
Teorema 6.1. (Criteriul lui Eisenstein)
Fie A un inel factorial , K corpul
sau de fractii , f=a0 +a1x+a2x+....+anx un polinom de gradul n>=1 din A[x] si p un element prim din A ; cu proprietatile :
p|a0, p|a1, ..., p|an-1
p|an
p|a0.
Atunci f este ireductibil in K[x] si , deci, s 18418s1821s i in A[x], daca este primitiv.
Demonstratie.
Putem presupune ca f este un polinim primitiv . Atunci, daca f este reductibil in K[x] , el este reductibil si in A[x]. Fie f=gh, cu g,h A[x] , g=b0+b1x+....+bnx , h=c0+c1x+.....+crx , unde bm 0, cr 0 si m 0 si r 0 , iar m+r=n . Din b0c0=a0 si p|a0 dar p nu divide a0 , rezulta ca unul si numai unul dintre elementele b0, c0 se divide cu p. Presupunem ca p|b0 si p nu divide c0.
Deoarece p nu divide an , nu toti coeficientii lui g se divid cu p. Deci exista un indice i , minim , cu proprietatea ca bi nu se divide cu p .
Atunci 
nu se divide cu p,
deoarece p nu divide C0 si p divide 
, ceea ce contrazice
ipoteza.
In cadrul cercului de matematica organizat la clasele a-X-a si a-XII-a se pot rezolva o serie de exercitii , in care sa aratam ca un polinom este ireductibil folosind criteriul lui Eisenstein pentru polinoame cu coeficienti intregi. Atunci, in teorema luam A=Z (Z fiind factorial), iar corpul K de fractii ale lui Z este Q. Fiind dat un polinom cu coeficienti intregi , daca exista un numar prim p care satisface proprietatile 1,2,3, din teorema 2.1 , atunci f este ireductibil in Q[x] (la clasa a-X-a putem formula concluzia astfel : f nu se poate descompune in produsul a doua polinoame neconstante cu coeficienti intregi).
Exemplul 1.
Polinoamele urmatoare sint ireductibile in Q[x] :
I) 13x - 18x + 20x - 4x + 2
II) 7x - 12x + 15x -6
Solutie.
I) Aplicam criteriul lui Eisenstein pentru p=2. Avem p divide pe -18, 20, -4, 2 , iar p=4 nu divide pe 2 , deci polinomul este ireductibil in Q[x].
II) Fie p=3 Avem p divide pe -12, 15, -6, dar p=9 nu divide pe -6 , deci polinimul este ireductibil.
Exemplul 2.
Fie polonomul x+2. Este ireductibil in Q[x] conform criteriului lui Eisenstein (luam p=2) . Asadar pentru orice numar natural n exista un polinom ireductibil in Q[x] , avind gradul n.
Exemplul 3.
Fie p un numar prim . Polinomul f=x + x +...+x+1 este ireductibil in Q[x].
Solutie.
Sub aceasta forma nu putem aplica criteriul lui Eisenstein, de aceea consideram polinomul g=f(x+1). Corespondenta dintre polinomul f si g este realizata de izomorfismul j:O[x] O[x] , j(x)=x+1. Ca urmare , f este ireductibil g este ireductibil.
Dar
,obtinem 
Deoarece p este prim , avem p|C , oricare ar fi 1<= k <= p-1 si , deci , conform criteriului lui Eisenstein , g(x) este un polinom ireductibil si, in consecinta , f(x) este un polinom ireductibil.
Exemplul 4.
Aratati ca polinomul yx + (y-1)x + y -1 este ireductibil in C[x,y].
Solutie.
Polinomul yx + (y-1)x + y -1 C[x] considerat in nedeterminata x si cu p=y-1 , avem:
a) y-1|y -1 , (y-1)|y-1
b) y-1| y
c) (y-1) | y -1
Deci si polinomul initial este ireductibil .
Fie acum A si B inele si A[x] , B[x] inele de polinoame in nedeterminata x cu coeficienti in A, respectiv in B.
Daca j:A B este morfism de inele , definim functia j:A[x] B[x] , punind:
Este clar ca j este morfism de inele .Spunem ca j extinde izomorfismul j
Teorema 6.2. (Criteriul reductiei) Fie A si B domenii de integritate cu A factorial si j:A B omomorfism unitar de inele , K corpul de fractii al lui A si L corpul de fractii al lui B.
Fie j:A[x] B[x] morfism de inele care extinde pe j . Atunci, daca f A[x] este astfel incit j(f) este ireductibil in L[x], iar grad(f) = grad(j(f)) , rezulta ca f este ireductibil in K[x].
Demonstratie.
Putem presupune ca f este primitiv si din ipoteza j(f) este ireductibil in L[x] si de acelasi grad cu f. Atunci daca presupunem ca f este reductibil in K[x] , el este reductibil si in A[x]. Fie f=gh , cu grad(g)>=1, grad(h)>=1 . Atunci , j(f)=j(g) j(h) si rezulta grad(j(g))=grad(g)>=1 iar grad(j(h))=grad(h)>=1 , ceea ce contrazice faptul ca j(f) este ireductibil.
In aplicatii, vom folosi mai des urmatorul caz particular al criteriului reductiei:
Caz particular.
In aplicatii, de obicei, folosim mai mult un caz particular al criteriului reductiei si anume : fie p un numar prim , f=a0+a1x+...+anx un polinom primitiv din Z[x] si f=a0+a1x+...+anx polinomul din Zp[x] astfel incit ai este clasa de resturi modulo p a lui ai , 1<= i <= n . Daca grad(f) = grad(f) si f este ireductibil , atunci f este ireductibil.
Observatie.
Daca polinomul f Z[x] nu este primitiv , este posibil ca f sa fie reductibil in Z[x] , dar sa fie ireductibil in Q[x] . De exemplu , polinomul 2x-4 este reductibil in Z[x] , fiind 2(x-2) , dar este ireductibil in Q[x] (deoarece 2 este inversabil in Q[x]).
Exemplu.
Polinomul f=9x + 21x + 12x + 110x +5 Z[x] este ireductibil in Q[x].
Solutie.
Luam p=2 si , reducind coeficientii polinimului f , modulo 2 , avem f=x + x + 1 Z12[x]. Este suficient sa aratam ca acest polinom este ireductibil in Z12[x].
Intradevar, f(0)=f(1)=1 0. Daca x + x + 1= (ax +bx +c)(ax +bx +g), prin identificarea coeficientilor se obtine:
1= ab +bg
0= ag+bb+ ca
0= bg+cb
1=cg
De aici avem a=a=c=g=1 si deci, inlocuind in relatia 2 si 4 , avem 1=b+b si 0=b +b, adica 1=0 , ceea ce este o contradictie . Deci f este ireductibil in Z12[x] si atunci polinomul f este ireductibil in Z[x] si , de asemenea , in Q[x].
Teorema 6.3. (Criteriul de ireductibilitate al lui Schonemann). Fie p>=2 un numar prim, iar F Z[x] un polinom de forma F=f + pg , unde f,g Z[x] , n N , F avind coeficientul dominant egal cu 1. Daca f este ireductibil in Zp[x] si f nu-l divide pe g, atunci F este ireductibil in Z[x].
Demonstratie.
Daca f(x) = a0+a1x+...+anx Z[x] , iar p>=2 , p este prim , atunci f(x)=a0+a1x+....+anx Zp[x], unde ai este clasa lui ai modulo p si se numeste polinomul redus modulo p al lui f . Se observa ca grad(g)<n grad(f) si f are coeficientul dominant 1 . Ppresupunem prin absurd ca polinomul F ar fi reductibil . Deci exista F1, F2 Z[x] astfel incit , grad(F1) , grad(F2)>=1 , si F=F1F2 . Trecem la polinoamele reduse modulo p si obtinem F1·F2=F=f . Cum f este ireductibil in Zp[x] , rezulta F1=f, F2=f , unde n1+n2=n. Deci F1=f +pg1 , F2=f +pg2, unde Z[x], grad(gi)<ni grad(f) (deoarece F are coeficientul dominant 1).
Deci f +pg =(f +pg1)(f +pg2) , de unde obtinem g=f g1+f g2+pg1g2. Daca n1,n2>0, atunci din ultima egalitate rezulta ca fh=g, cu h Z[x] , deci f ar divide pe g , contradictie. Atunci n1=n sau n2=n , adica grad(F1)=grad(F) sau grad(F2)=grad(F), deci F este ireductibil in Z[x].
Exemplul 1.
Sa se arate ca polinomul F(x)=(x +2) +5(x +10x +5) este ireductibil in Z[x].
Solutie.
Se ia f=x +2 , g=x +10x +5. Atunci f=x +2 este ireductibil in Z5[x], iar g=x nu se divide prin x +2 in Z5[x] si deci conform criteriului lui Schonemann F este ireductibil in Z[x].
Exemplul 2.
Fie p un numar prim de forma p= 4n+3 , iar a,b Z astfel incit p divide pe
a , p divide (p-1) si p nu divide pe (b-1).
Sa se arate ca polinomul F(x)=x +ax+b este ireductibil in Z[x].
Solutie.
Se scrie F=(x +1) +pg, unde g=cx+d+(1/p)[-C (x +1) +C (x +1) -.....+C (x +1)].
c=a/p , d=(b-1)/p
Atunci f=x +1 este ireductibil in Zp[x] , iar g nu se divide prin f, deoarece cx+d 0 nu se divide prin f=x +1 in Zp[x]. Din teorema lui Schonemann rezulta ca F(x) este ireductibil in Z[x].
|
