Curba densitatii de probabilitate

Curba densitatii de probabilitate

S-a vazut ca histograma este un grafic care da informatii despre repartizarea valorilor dintr-o serie de valori, care arata daca valorile din serie sunt repartizate simetric sau asimetric si daca repartitia are un singur vârf sau este multimodala.

Sa ne imaginam ca pe masura ce m&# 16316q161q 259;rim indefinit numarul de valori din serie, lungimea claselor scade foarte mult, astfel încât obtinem histograme din ce în ce mai "fine". Ce se obtine prin acest proces? O apropiere din ce în ce mai accentuata de repartitia reala a datelor, repartitie pe care histogramele o aproximeaza din ce în ce mai bine.

Histogramele ofera imaginea repartizarii valorilor dintr-o serie, deci o imagine incompleta a realitatii. Într-adevar, valorile dintr-o serie de date sunt culese pe un esantion sau lot, care este de obicei extras dintr-o populatie mult mai numeroasa. Ceea ce ne intereseaza de obicei însa, este modul cum se repartizeaza valorile din întreaga populatie.

În figura 6.1, este dat un exemplu de serie de valori foarte mare, alcatuita din 10000 de valori. În acest caz, lotul pe care s-au facut masuratorile poate fi numit populatie, numarul de indivizi fiind foarte mare.

Figura 6.1 Folosind o serie de 10000 de valori, se pot face histograme din ce în ce mai fine, care trec de la aspectul de ″treapta″, la acela de ″curba″

Pe masura ce histogramele devin din ce în ce mai fine, ele tind sa se asemene cu o curba. Daca volumul seriei ar fi mult mai mare, asemanarea cu o curba ar fi atât de clara încât ochiul nu ar mai putea observa aspectul de ″treapta″. Acest proces este vizibil în special atunci când în locul histogramelor folosim poligoane ale frecventelor. În figura 6.2, sunt reprezentate poligoanele frecventelor efectuate pe valorile din seria folosita în figura 6.1. La fiecare grafic s-au folosit o parte din valorile seriei, anume: la primul grafic 1000 de valori, la al doilea grafic 2000 de valori, si asa mai departe pâna la ultimul grafic, care este executat folosind toate cele 10000 de valori din serie.

Figura 6.2 Procesul de trecere de la poligonul frecventelor la curba de distributie

Acest mod de a ajunge la o curba a densitatii de probabilitate (sau o curba de repartitie) este instructiv prin faptul ca ofera o imagine intuitiva a diferentei dintre o histograma sau un poligon al frecventelor si o curba de repartitie. n plus, ofera o ideie despre cum arata curba de repartitie.

Strict vorbind însa, notiunea de curba densitatii de probabilitate, trebuie introdusa folosind un aparat teoretic mai complex. Deoarece o introducere fundamentata ar depasi nivelul cartii de fata, vom considera, intuitiv, fara a pretinde ca aceasta este o definitie ca:

O curba a densitatii de repartitie este curba care are acelasi aspect cu curba catre care tinde poligonul frecventelor relative, atunci când numarul de valori dintr-o serie tinde la infinit, iar lungimea fiecarei clase tinde la 0.

Pentru o exprimare mai clara, atunci când nu exista pericolul unor confuzii, în locul termenului de curba a densitatii de probabilitate, vom folosi termenul de curba de repartitie, sau mai simplu, repartitie.

În medicina si biologie, ca si în celelalte domenii de activitate, exista o varietate larga de curbe ale densitatii de probabilitate. În figura 6.3, sunt prezentate câteva forme de astfel de curbe, simetrice, asimetrice cu asimetri stânga, cu asimetrie dreapta, etc.

Figura 6.3 Diverse forme ale curbei densitatii de probabilitate

Pe masura ce statistica a evoluat ca stiinta, s-a demonstrat ca unele din curbele densitatii de probabilitate joaca un rol central în stiinta în general si în medicina în special. Astfel, multe fenomene din stiinta se petrec astfel încât deviatiile stânga-dreapta de la medie ale masuratorilor pe care le facem sunt repartizate simetric si nu oricum, ci tind sa fie repartizate foarte asemanator cu o anumita curba, mult studiata, care se numeste curba densitatii normale sau curba Gauss.

Astfel, asa cum se va vedea în capitolul despre esantionare, media de esantionare, adica media calculata asa cum a fost descris în capitolul 2, are în anumite conditii o repartitie normala. În subcapitolele care urmeaza vor fi descrise câteva din curbele de repartitie mai folosite si mai des întâlnite în practica.

Curbele de repartitie se bucura de câteva proprietati care le fac extrem de utile în statistica, asa cum se va vedea în capitolele despre esantionare si despre testele statistice.

Aria cuprinsa între curba si axa orizontala este 1 sau 100% (vezi figura 6.4).

Probabilitatea ca, extragând aleator un individ dintr-o populatie a carei repartitie are o curba cunoscuta si facând masurarea pe acel individ, valoarea obtinuta x, sa fie situata între doua numere a si b fixate (x≥a si x b), este exact aria cuprinsa între curba, axa orizontala si cele doua verticale în a si b (Vezi figura 6.4).

Figura 6.4 Aria cuprinsa între o curba de repartitie si axa orizontala

este totdeauna 1 sau 100%

Figura 6.5 Daca extragem aleator un individ dintr-o populatie care are curba de repartitie cunoscuta, valoarea masurata la acel individ este cuprinsa între doua numere reale a si b cu o probabilitate egala cu aria cuprinsa între curba, axa orizontala si cele doua verticale în a si b.