DISTRIBUTII (REPARTITII) CLASICE

DISTRIBUTII (REPARTITII) CLASICE

&1. Distributia uniforma discreta

O varibila aleatoare X are o distributie uniforma discreta daca repartitia sa are forma:

X: .

I. Functia de probabilitate f(x)=1/n, are proprietatile:

a) f(x) ³ 0 , x=1,2, ,n ;

b) .

II. M(X) = .

III. M₂(x) = .

IV. D(X) = .

V. g(t) = .

VI. Mediana M_e imparte seria valorilor argumentului x in doua parti, astfel ca numarul valorilor inferioare lui M_e si numarul valorilor superioare lui M_e sa fie egale.

Daca seria valorilor i ordonate are n=2k termeni, atunci orice valoare cuprinsa intre termenii de rang k si k+1 satisfac definitia medianei, deci este vorba de intervalul median (k,k+1).

Luam M_e = .

&2. Distributia geometrica

O variabila aleatoare X are o distributie geometrica daca repartitia sa are forma:

X:

I. Functia f(x) = q^x.p, x = 0,1,2,,n, cu p+q=1, este o functie de probabilitate, caci:

a) f(x) ³ 0, pentru orice x ;

b) .

II. Functia de repartitie:

F(x) = .

III. Media M(X):

M(X) = .

Pentru determinarea sumei seriei de puteri:

S = 1 + 2q + 3q² + . + xq^x-1 +

vom integra seria in raport cu q. Se obtine seria geometrica:

q + q² + q³ + + q^x + =

Derivand rezultatul in raport cu q, se obtine:

S =

&3. Distributia binomiala (Bernoulli)

Se considera o colectivitate compusa din N elemente. Dintre acestea a poseda o anumita caracteristica A, iar restul nu o poseda; se extrag n elemente intorcand de fiecare data elementele cercetate in colectivitate. Daca P(A)=p ,P(=q=1-p, atunci distributia variabilei aleatoare X, dupa numarul x ce reprezinta numarul elementelor cu caracteristica A din cele n extrase, se scrie:

X:

si se spune ca variabila aleatoare X are o distributie binomiala (sau Bernoulli) a carei functie de probabilitate s-a calculat dupa schema urnei cu bila revenita.

I. Functia , f(x) = , x=0,1,,n cu p+q=1 este o functie de probabilitate, caci:

a) f(x) ³ 0 ,pentru orice x=0,1,,n ;

b)

Functia de probabilitate f(x), depinde de numerele n si p, numite parametrii distributiei. Se spune ca distributia formeaza o familie dublu parametrica.

Observatii.

1) Deoarece valorile functiei de probabilitate f(x) pentru x=0,1,,n sunt termenii dezvoltarii binomului (p+q)ⁿ , distrbutia poarta numele de binomiala;

2) Pentru calculul valorilor functiei f(x) cand n are valori mari, care este destul de anevoios, in aplicatii se foloseste adesea pentru calculul factorialelor formula asimptotica a lui Moivre-Stirling:

n! nⁿ.e^-n. = g(n) .

Este bine sa precizam ca, desi eroarea absoluta (n!-g(n)) este mare si ea creste o data cu n, totusi eroarea relativa (raportul dintre valoarea aproximativa si cea reala) este foarte aproape de 1 cand n creste si aceasta ne satisface deoarece probabilitatile sunt caturi de produse factoriale.

Teorema lui Moivre-Stirling se poate scrie:

n! = g(n).(1 + e_n

in care e_n > 0 descreste si tinde la zero, daca n creste. Se demonstreaza ca e_n < 1/(11n) si se ia apoximativ egal cu 1/(12n).

3) In diverse probleme (cum ar fi cazul unei selectii repetate, in care probabilitatea evenimentului care ne intereseaza este aceeasi in fiecare proba) din statistica se foloseste functia de probabilitate binomiala,trebuind sa se calculeze sume de forma:

g(p) =

calculul facut direct sau chiar folosind formula Moivre-Stirling pentru diversi termeni,este destul de greoi.

Ne propunem sa dam o alta metoda, poate mai simpla, pentru calculul sumei g(t), si anume:

Derivand in raport cu p, gasim:

f'(x,n) =

Daca inlocuim aceste derivate in g'(p), obtinem:

g'(p) = ;

g'(p) = nf(r-1,n-1) = .

Integrand intre 0 si p (cu g(0)=0), avem:

g(p) =

Folosind functiile, Gama si Beta:

G(p) = = ( p - 1 )! , p > 0 ;

B(p,q) =

obtinem:

g(p) =

Pentru integrala din membrul doi, numita functia Beta incompleta, sunt construite tabele in raport cu valorile p,r,n. Din aceste motive, formula de mai sus este folosita in practica pentru calculul probabilitatii, ca dintr-o selectie repetata sa obtinem cel mult un numar r de elemente care sa posede o anumita caracteristica.

4) Cand n este mare (deci cand n creste), probabilitatea f(x,n) tinde catre o valoare limita, careia ii spunem distributia asimptotica a distributiei binomiale.

Dupa cum vom vedea, valoarea ceamai probabila a variabilei X (adica valoarea pentru care functia de probabilitate f(x), x=0,1,2,,n este maxima) este egala cu np. Fie Z=X-np, abaterea variabilei X de la valoarea cea mai probabila np. Probabilitatea obtinerii in n probe a unei abateri egala cu Z este egala cu probabilitatea ca X sa ia valoarea np+z, deci:

P_Z =p^np+z q^n-np-z =

deoarece: n-np-z=n(1-p)-z=nq-z.

Se arata poate demonstra ca:

P_Z = ,

da o aproximatie satisfacatoare pentru aplicatii atunci cand

Introducand notatiile:s sP_Z= F(t) ; z = ts

obtinem distributia:

F(t) = ,

(pentru functia F(t), sunt construite tabele).

Rezumand, pentru a calcula probabilitatea unei abateri Z data, vom determina parametrul s = cu n,p,q cunoscuti. Apoi se calculeaza t = z/s iar din tabele, corespunzator valorii t calculate se va citi valoarea F(t), de unde P_Z = (1/s F(t) .

II. Functia de repartitie, F(x).

F(x) = P(X<x) =

unde noteaza partea intreaga a lui x.

Pentru calcule practice, probabilitatea evenimentului (a<X<b), se calculeaza cu formula:

P(a<X<b) =

in care limitele a' si b' sunt date de urmatoarele valori:

a' = , b' =

iar valorile integralei sunt tabelate.

III. Modul M₀(X).

Sa consideram pe axa ox,valorile argumentului si fie x-1, x, x+1 trei valori consecutive ale argumentului unde functia de probabilitate f(x) schimba monotonia.In acest caz,

,

de unde, dupa inlocuirea functiei f(x), vom obtine:

, sau np-q < x < np+p .

Pentru valorile lu x < np-q, functia de probabilitate f(x) este crescatoare, iar pentru valorile lui x > np+q, functia de probabilitate f(x) este descrescatoare, deci daca xI np, np+p , functia de probabilitate ia valori maxime.

Cate valori maxime poate lua variabila numar intreg x in np-q, np+p

Lungimea intervalului este: np+p-np+q=p+q=1.

Numarul intreg x se poate situa fie in interiorul intervalului, cand extremitatile lui nu sunt numere intregi si in acest caz exista o singura valoare care face functia f(x) maxima, fie la extremitatile intervalului cand acestea sunt numere intregi si in acest caz exista doua valori care fac functia de probabilitate maxima.

Rezulta ca avem: np-q £ M₀ £ np+p .

In cazul ca M₀ este unic determinat, el este valoarea intreaga cea mai apropiata de np (M₀ difera cu mai putin de o unitate de np, care reprezinta dupa cum vom vedea, valoarea medie a distributiei binomiale).

Daca exista doua valori pentru care functia de probabilitate f(x) este maxima, vom avea un interval modal. In acest caz se ia deobicei:

M₀ = np-q+1/2 sau M₀ = np+p-1/2, valori care sunt egale.

IV. Media , momentul si media de ordinul doi.

Avem:

M(X) = si M₂(X) = .

Fie identitatea:

(pt+q)ⁿ = ,

pe care o derivam de doua ori in raport cu t si de fiecare data vom lua t=1. Obtinem:

n(pt+q)^n-1.p = ,

de unde, pentru t=1 rezulta M(X) = np . Apoi,

n(n-1)(pt+q)^n-2p² = ,

de unde pentru t=1, obtinem: n(n-1)p² = M₂ - M(X), deci

M₂(X) = np(np+q) si m = .

V. Dispersia , abaterea standard.

Avem: D(X) = M₂-M²(X) Þ D(X)=npq si s_X = .

Calculul dispersiei D(X) pentru variabila aleatoare X cu distributia binomiala, poate fi calculata folosind proprietatile dispersiei.

Distributia binomiala, dupa cum am aratat, este caracteristica unei extractii din urna cu bila revenita. Pentru extractia din urna de ordinul k, variabila aleatoare care

inregistreaza producerea evenimentului A sau a evenimentului contrar ,este:

X_k : ,

valoarea 0 fiind data pentru producerea evenimentului , iar valoarea 1 fiind data pentru producerea evenimentului A.

Intr-o extractie repetata de volum n se formeaza sistemul de variabile independente identice: X₁ = X₂ = = X_n , iar evenimentul total determina variabila: X=X₁+X₂+ +X_n .

Cum avem:

D(X_k) = M₂(X_k)-M²(X_k) = p-p² = p(1-p) = pq , atunci:

D .

VI. Functia genratoare, g(t).

Avem:

g(t) = M(e^Xt) =

g(t) = (pe^t + q)ⁿ .

Ca aplicatie, sa recalculam M(X) si M₂(X) .

Calculand derivatele functiei g(t), obtinem:

g'(t) = n(pe^t+q)^n-1.pe^t ;

g'(T) = n(n-1)(pe^t+q)^n-2.p²e^2t + np(pe^t+q)^n-1.e^t ,

de unde: M(X) = g'(0) = np ,

M₂(X) = g'(0) = np(np+q) .

In mod analog, obtinem:

M₃(X) = (np)³ + 3q(np)² + npq(q-p) ,

M₄(X) = (np)⁴ + 6q(np)³ + (np)pq(7q-4p) + npq(1-6pq).

VII. Functia caracteristica, c(t) .

c(t)=M(e^iXt)=C(t) = (pe^it + q)ⁿ .

Ca aplicatie,sa determinam M(X) si M₂(X).

Derivand functia caracteristica in raport cu t, avem:

c'(t) = npi(pe^it + q)^n-1e^it ,

c'(t) = npi²e^it(pe^it+q)^n-1 + n(n-1)p²i²e^2it(pe^it+q)^n-2 ,

de unde M(X) = (1/i).C'(0) = np ;

M₂X) = (1/i²),C'(0) = np+n(n-1)p² = np(np+q) .

VIII. Coeficientul de asimetrie. Coeficientul de boltire.

a = .

Daca q= p, distributia este simetrica; daca q ¹ p, ea este asimetrica; q < p , a < 0 -asimetrie negativa (modul este deplasat spre dreapta); q > p, a > 0 -asimetrie pozitiva (modul este deplasat spre stanga).

b =

Excesul : E = 0, cand n ¥

&4. Distributia binomiala negativa .

Sa presupunem ca evenimentul A are aceeasi probabilitate p de a se realiza in fiecare proba si evenimentul contrar cu probabilitatea q=1-p. Daca admitem ca probele sunt independente intre ele, ne propunem sa calculam probabilitatea f(x) ca in x+n probe sa se realizeze de n ori evenimentul A.

Pentru aceasta este suficient ca in primele x+n-1 probe, evenimentul A sa se realizeze de n-1 ori, iar ultima proba sa dea evenimentul A. Probabilitatile acestor doua modalitati sunt respectiv: (dupa schema binomiala) si p. Realizarea lor simultana, dupa regula de inmultire, are probabilitatea:

f(x) = p.

Distributia:

X: sau X:

se numeste distributie binomiala negativa sau distributie binomiala cu exponent negativ (in forma a doua de exprimare a distributiei apare mai clar ca poate lua valorile: n,n+1,n+2,

I. Sa aratam ca f(x) = este o functie densitate de probabilitate.

In adevar,

a) f(x) ³ 0 , pentru orice x ;

b)

daca aratam ca:

Pentru aceasta, sa consideram functia:

h(q) = careia sa-i aplicam formula (seria) Mac-Laurin.

Avem:

h'(q) = n(1-q)^-(n+1) ,

h'(q) = n(n+1)(1-q)^-(n+2) ,

..

h^(k)(q) = n(n+1)(n+k-1)(1-q)^-(n+k) ,

de unde

h(0) = 1 = ,

h'(0) = n =

h'(0) = n(n+1) = 2 ,

h^(k)(0) = n(n+1)(n+k-1) = n!

deci

II. Media M(X)

Identitatea demonstrata la punctul precedent, se poate scrie sub forma:

si prin derivare, obtinem:

(1)

de unde

M(X) =

III. Momentul si media de ordinul doi: M₂ , m

Folosind identitatea (1), prin derivare, obtinem:

de unde:

Cu aceasta:

M₂=

IV. Dispersia D(X). Abaterea standard s_X

D(X) =M₂(X) - M²(X) = ,

s_X

&5. Distributia hipergeometrica

O variabila aleatoare X are o distributie hipergeometrica daca are urmatoarea lege:

X:.

Avem:

I.Functia f(x)=este o functie de probabilitate, caci

a) f(x) ³ 0, pentru orice x;

b)

Pentru calculul sumei din membrul drept, se porneste de la identitatea (1+y)^a+b = (1+y)^a.(1+y)^b, careia i se aplica binomul lui Newton, iar dupa identificarea polinoamelor in y din cei doi membrii ai egalitatii care se obtine, obtinem:

sau

(se considera a+b = t , b = t - a).

II. Media M(X).

M(X) = .

Deoarece:

x.

avem:

deci:

M(X) = .

Deoarece M(X) = .

Notand p=a/t , probabilitatea initiala de realizare a evenimentului dorit, rezulta:

M(X) = pn .

III. Modul M₀(X).

Considerand functia de probabilitate:

f(x) = , y = n-x ,

se obtine:

,

Rezolvand cele doua inecuatii,obtinem:

Se constata ca lungimea intervalului este 1; deci M₀(X) este unic determinat cand extremitatile nu sunt numere intregi; exista un interval modal cand extremitatile sunt numere intregi.

Considerand probabilitatile initiale: p=a/t ; q=(t-a)/t , intervalul precedent devine:

Cand t este un numar mare fata de n, avem intervalul asimptotic: pn-q , pn+p , adica valoarea modala aproximativa M₀(X) = np, formal este aceeasi ca la distributia binomiala.

In acest caz, putem scrie:

M(X) = M₀(X) = M_e(X) np =

IV. M₂(X) = M(X²) , momentul de ordinul doi.

Folosind identitatea: x² = x(x - 1) + x , obtinem:

Suma a doua a fost calculata al M(X).

Pentru calculul primei sume, avem:

Din identitatea: M₂(X)=.

V. Dispersia D(X).

Aplicand : D(X) = M₂(X) - M²(X) , obtinem:

D(X)=.

In cazul cand tt este suficient de mare in raport cu n, putem face aproximarea:D(X) , adica dispersia distributiei hipergeometrice difera de distributia binomiala cu un factor subunitar ce tinde la unu cand t ¥

Observatii.

1) Variabila aleatoare X (care reprezinta numarul de bile extrase) asociata urnei cu bila nerevenita are o repartitie hipergeometrica, unde n este numarul de extrageri nerevenite,

a este numarul de bile albe si t este numarul total de bile albe si negre din urna.

2) Valoarea medie se poate calcula usor si astfel. Pentru aceasta sa consideram o urna cu a bile albe si b bile negre (a+b=t) din care se extrag una cate una n bile (fara intoarcere) si luam variabilele aleatoare X_k, cu :

P(daca la extractia k se obtine o bila alba) = 1 ,

P(daca la extractia k se obtine o bila neagra) = 0 .

Fiecare din aceste variabile aleatoare are distributia:

X_k =

iar numarul total de bile albe obtinut este:

X = si M(X) =

Deoarece variabilele aleatoare X_k nu sunt independente doua cate doua, nu putem sa scriem: D(X) = .

&6. Distributia Poisson

O variabila aleatoare X are distributia Poisson de parametru a (a > 0), daca repartitia sa are forma:

X:

I. Sa verificam ca functia f(x) = ,x=0,1,,n, cu a > 0, este o functie de probabilitate.

In adevar,

a) f(x) ³0 ,oricare ar fi x = 0,1,2,,n, ;

b)

Pentru calculul probabitatii f(x) s-au intocmit tabele pentru : 0,1£ a £

II. Distributia Poisson este valoarea asimptotica a distributiei binomiale, adica avem:

, unde a=np.

In adevar,

f_n(x) =

Daca notam : np=a Þ si atunci:

f_n(x) =

=

Presupunand n mare si p mic, astfel incat np=a sa fie constant, obtinem: .

Observatii.

1) Aceasta aproximare a legii de distributie binomiala prin legea de distributie Poisson presupune indeplinite conditiile:

a. probabilitatea p este mica; din acest motiv aceasta lege mai este numita si legea micilor probabilitati.

b. p mic in raport cu n, adica realizarea evenimentului de probabilitate p in selectia n este rara, de aceea aceasta lege este numita si legea evenimentelor rare.

2) Daca comparam functiile de probabilitate corespunzatoare distributiei binomiale, respectiv distributiei Poisson, constatam ca functia de probabilitate a distributiei binomiale depinde de doi parametri, n si p, pe cand functia de probabilitate a distributiei Poisson depinde numai de un parametru a.

3) Daca n ³ 30 si np < 5 atunci distributia Poisson cu parametrul a=np este o buna aproximare a distributiei binomiale cu parametri n si p.

4) Distributia Poisson se aplica atunci cand un numar mare de obiecte este repartizat in mod uniform pe o suprafata mare. Conditia uniformitatii este esentiala pentru valabilitatea rezultatelor. De exemplu, daca in agricultura se studiaza distributia larvelor unor insecte pe o suprafata cultivabila nu se poate folosi distributia Poisson, deoarece repartitia larvelor nu este uniforma.

5) Pentru calculul probabilitatii ca un eveniment sa apara intr-un numar n de experiente exact de x ori, Kolmogorov a propus, in locul formulei asimptotice a lui Poisson, formula:

f(x) = e^-np

Aceasta formula este valabila si pentru cazul cand probabilitatea evenimentului variaza de la o proba la alta. In acest caz se foloseste formula:

f(x) =

. .

III. Media M(X).Avem:

Se observa ca valoarea medie M(X)=a, in cazul cand distributia Poisson este valoarea asimptotica a unei distributii binomiale este a=np, deci aceeasi cu valoarea medie a distributiei binomiale.

IV.Functia generatoare g(t).Functia caracteristica c(t).

Avem:

g(t) = g(t) = ;

Analog:

c(t) = .

V. Momente de ordin superior. Dispersia D(X).

Avem:

M(X) =

M₂(X) =

= +

+ e^-aaa²e^-ae^a+a Þ

M₂(X) = a² + a Þ m = ;

D(X) = a² + a - a² Þ D(X) = a Þ s_X = .

Daca folosim expresia functiei generatoare, avem:

g'(t) = e^-a. ;

g'(t) = ae^-ae^t(1+ae^t) Þ M(X) = M₁ = g'(0) = a ;

M₂(X) = g'(0) = a(1+a), si analog:

M₃(X) = a(a³+6a²+7a+1) .

Daca folosim expresia functiei caracteristice,avem:

c'(t) = e^-a..iae^it ;

c'(t) = e^-a..i²ae^it(ae^it+1) Þ M₁=c'(0)=a, M₂=a(a+1).

VI. Modul M₀ .

Variabila fiind discreta, vom proceda ca si in cazul distributiei binomiale. Avem:

de unde M₀I a-1,a . In cazul unui interval modal, M₀ =a - 1/2 .

VII. Coeficientii de forma.

Cum se obtin: m₃ =a , m₄ = a+3a² vom avea:

Coeficientul de asimetrie: a = .

Cand n ¥ a 0, caci a ¥ deoarece a=np, adica pentru volum mare, distributia devine simetrica.

Coeficientul de boltire: b = .

Cand a ¥ (n ¥) atunci b 3 .

VIII. Functia de repartitie,F(x) .

F(x) = P(X < x) = ,

unde , noteaza partea intreaga a lui x .

O tabela de valori pentru 0,1 £ a £ 20, da valorile probabilitatii ca evenimentul sa se realizeze cel putin de x ori, adica

P(X ³ x) = .

&7. Distributia uniforma continua (rectangulara).

O variabila aleatoare X are o distributie uniforma continua, de parametrii a si b, daca functia densitate de probabilitate este de forma:

j(x) = .

I. j(x) este o functie densitate de probabilitate, caci: a. j(x) ³ 0, pentru orice x din a,b cu a<b ;

b. .

Distributia rectangulara are aplicatii in industrie. Erorile determinate de rotunjirile pana la intregul cel mai apropiat cand se masoara anumite marimi, urmeaza distributia rectangulara. Din punct de vedere teoretic, distributia rectangulara este destul de importanta prin forma ei simpla si apoi orice distributie continua f(x) poate fi transformata intr-o distributie rectangulara.

II. Functia de repartitie, F(x) este:

F(x) = .

III. Valori tipice: M(X), M₂(X), D(X), M₀, M_e .

Avem:

M_r == (b^r + ab^r-1 + + a^r) .

In particular, pentru r=1 si r=2, obtinem:

M₁=M(X)= ; M₂=D(X)=.

Modul M₀, corespunde valorii lui x pentru care j(x) este maxima; deoarece j(x) este constanta, exista intervalul modal a,b , si se va lua: M_o = .

Pentru a determina valoarea mediana M_e, rezolvam ecuatia F(x)=M_e = .

&8. Distributia Cauchy

O variabila aleatoare X are o distributie Cauchy,daca functia densitate de probabilitate este de forma:

j(x) = , pentru orice x real.

I. j(x) este o functie densitate de probabilitate,caci:

a. j(x) ³ 0, pentru orice x real ;

b. .

Graficul functiei densitate de probabilitate y = j(x), xIR este caracterizat de o curba simetrica in raport cu Oy, avand asimptota axa Ox.

II. Functia de repartitie F(x). Media M(X). Avem:

F(x) = ,

M(X) = .

Pornind de la expresia: z=ln(1+b²)-ln(1+a²)=Þ

M(X) = .

&9.Distributia normala

Distributia normala este o distributie fundamentala atat in teoria probabilitatilor, cat si in statistica matematica. Apare in multe cercetari experimentale, mai ales cand acestea privesc erorile de observatie, in balistica, biometrie sau multe alte distributii, din punct de vedere practic, sunt aproximate de aceasta distributie. Aceasta distributie a fost in atentia multor matematicieni, cum ar fi de exemplu: Moivre (A. de Moivre: 1667-1754, matematician francez, a trait la Londra; scrie 'Demensura sortis' in 1711, imbunatatita apoi in 'The Doctrine of chances'- 1716, care a folosit-o in studiul unor distributii binomiale -1733); Laplace (P.S.Laplace: 1749-1827, matematician francez; se ocupa de analiza matematica, mecanica, teoria probabilitatilor si scrie primul tratat important asupra calcului probabilitatilor,'Thèorie analytique des probabilités, 1813) si Gauss ( Gh.Fr.Gauss: 1777-1858, matematician german, a trait la Brunschweig si Gttingen; in diverse lucrari, in acelasi timp cu Laplace, introduce calculul diferential si integral in teoria elementelor aleatoare si in teoria erorilor de observatie), pentru care motiv aceasta lege de distributie mai este numita: legea lui Gauss (gausiana),legea lui Laplace (laplasiana) sau legea lui Moivre.

I. Functia densitate de probabilitate

O variabila aleatoare X are distributia normala de parametrii m,s daca functia densitate de probabilitate este urmatoarea:

n(x;m,s) = xIR ; mIR ,s > 0 .

Sa aratam ca functia n(x;m,s) satisface conditiile unei functii densitate de probabilitate. Avem:

a. n(x;m,s ³ 0 , xIR , s > 0 ;

b. Cu schimbarea de variabila:

, x = m + ts, dx = s

Graficul functiei densitate de probabilitate depinde de parametrii m si s (forma curbei ramanand aceeasi) si are forma unui clopot (clopotul lui Gauss) cu max n(x;m,s)= iar x=m, axa de simetrie; abscisele punctelor de inflexiune: x=m s

Fata de parametrul m, curba n(x;m,s) sufera translatii de-a lungul axei Ox, mentinandu-si atat forma cat si marimea. Fata de parametrul s, curbele sunt mai ascutite sau mai plate, astfel ca suprafata inchisa de axa Ox sa aiba aria 1u² .

Curba se aproprie destul de repede de axa Ox; in raport cu o abatere z x-m < 3s, diferenta fata de axa Ox este de ordinul 0,003 unitati. Din acest motiv, din punct de vedere practic, distributia poate fi considerata intr-un interval finit.

In particular, pentru m=0 , s=1 obtinem:

n(x;0,1) = ,

iar pentru x cuprins intre 0 si 3,99 valorile acestei functii se gasesc in tabele speciale. De exemplu, n(0;0 , 1)=max=0,3980; n(1;0 , 1)=n(-1;0 , 1)=0,2420; n(3,99;0 , 1)=n(-3,99;0 , 1) = =0,00l ,etc.

Din tabele deducem ca pentru x > 4 valorile functiei n(x;0 , 1) sunt neglijabile, deci curba se aproprie foarte mult de axa Ox cand x creste.

Daca facem o translatie a sistemului Oxy la un sistem paralele O'x'y', astfel incat originea noului sistem sa fie punctul de abscisa m, aceasta revine la a considera ecuatiile de translatie: x'=x-m, y'=y sau x=x'+m, y'=y care de fapt duc pe x in x'+m ceea ce este echivalent cu a considera m=0.

In acest caz, functia n(x;m,s) devine n(x;0,s) pe care o vom numi distributia centrata, care in functie de variatia lui s, are grafice diferite.

II. Semnificatia parametrilor m si s din n(x;m,s

Din reprezentarea grafica a curbei n(x;m,s), datorita simetriei curbei fata de dreapta x=m, putem scrie: M(X)=m, M₀=m, M_e=m.

a) Sa aratam prin calcul ca M(X) = m.

Cu schimbarea de variabila:Þ

M(X)==

==

= ÞM(X)=m.

b) Apoi, cu aceeasi schimbare de variabila:

D(X) ==

=

=Þ

D(X) = s Þ s_X s

(am folosit metoda de integrare prin parti)

Rezumand, parametrii m si s din functia densitate de probabilitate ce defineste variabila aleatoare X cu distributia normala, reprezinta media si respectiv abaterea medie patratica.

III.Functia de repartitie.Functia de repartitie normata.

Legea integrala a lui Lapkace.

Vom nota functia de repartitie a variabilei aleatoare X cu distributie normala : F(x) = P(X < x) = N(x;m,s si:

N(x;m,s) = .

Cu schimbarea de variabila: y =

ÞP(X < x) = P(X < m+ys) = N(m+sy;m,s

= .

Functia:

N(z;0,1) =

este numita functia de repartitie normata.

Se verifica:

Ca aplicatie, cu aceeasi transformare, calculam de ex.:

P(a <X< b)==

= unde: .

Se observa ca pentru calculul acestor probabilitati este necesara cunoasterea primitivei:

despre care se stie ca in sensul obisnuit nu se poate integra. Dar, ca integrala definita, aceasta se poate calcula cu ajutorul unor metode aproximative de calcul al integralelor definite.

Functia:

este numita functia integrala a lui Laplace. Geometric, functia integrala a lui Laplace reprezinta aria marginita de curba n(x;0,1), dreptele x=0 (axa Oy), x=z si axa Ox.

Din definitia acestei functii, se observa ca functia F(z) este simetrica fata de origine, caci, F(-z) = -F(z) ceea ce arata ca este suficient sa cunoastem valorile lui F(z) numai pentru

z > 0. In acest sens sunt date tabele ale valorilor functiei lui Laplace.

Din interpretarea geometrica data functiei lui Laplace si din proprietatile integralei definite, deducem:

F F ¥ F ¥

Folosind functia lui Laplace F(z), functia de repartitie normata, se scrie:

N(z;0,1) = 1/2 +F(z) ,

iar functia de repartitie nenormata:

N(x;m,s .

In acest caz, avem:

P(a < X < b) = P(X < b) - P(X < a) =

= Þ

P(a < X < b) = .

In particular,

P(-a < X < a) = F(a) = .

IV. Functia caracteristica c(t). Avem:

c(t) = .

Cu substitutia: u=

u²= 2itx + 2imt - t²s

itx -

c(t) = c(t) = .

Ca aplicatie, folosind functia caracteristica sa calculam M₁ =M(X) si M₂. Avem:

c'(t) = (im - ts ). ;

c'(t) = (im - ts )².

M₁ = .

V . Momente centrate m_r .

Cu substitutia:

m_r = =

= ,

de unde, formula de recurenta:

m_r = (r-1)s .m_r-2 , cu m₀ = 1, m ₁ = 0 care conduce la:

m_2r+1 = 0 ; m_2r = 1.3.5.(2r-1)s^2r

VI. Caracteristici ale formei graficului. Avem:

Coeficientii de asimetrie a = sau a = Þ a adica se verifica simetria curbei de distributie.

Coeficientul de boltire: b = .

Evident, excesul distributiei normale, E = b

&3.10. Distributia Gama.

O variabila aleatoare X are distributia Gama de parametri a si b daca functia densitate de probabilitate este urmatoarea:

j(x;a,b) =

cu a > 0, b > 0, iar G(a) = , functia Gama .

I. Sa aratam ca functia j(x;a,b) satisface conditiile unei functii densitate de probabilitate. Avem:

a. j(x;a,b) ³ 0, pentru orice x din R;

b. Cu schimbarea de variabila: x = bt, dx = bdt Þ

Pentru reprezentarea grafica a functiei j(x;a,b), calculand derivata, obtinem:

kj -x+b(a-1) .x^a-1 ,

si j' = 0, cand x = b(a-1). Pentru a < 1 , x > 0 sij º 0 ; pentru a>1, x=b(a-1) este abscisa punctului de maxim. Deci M₀=b(a-1).

Functia de repartitie a variabilei aleatoare X cu distributia Gama este:

P(X < x) = F(x) = .

Observatie. Se mai obisnuieste ca pentru functia densitate de probabilitate pentru distributia Gama, sa se ia:

j(x;a) =

cu parametrul a > 0, sau distributia Gama generalizata cu functia densitate de probabilitate:

j(x;a,b,r) = ,

pentru care a > 0, b > 0, r > 0 .

II. Momente de diferite ordine. Dispersia. Caracteristici ale formei graficului de distributie. Functia caracteristica.

Momentul de ordinul r, M_r (folosind schimbarea de variabila x=bt, dx=bdt) va fi:

M_r = =

=

deci:

M_r = a(a+1)(a+2) (a+r-1)b^r .

In particular, pentru:

r = 1 , avem M(X) = M₁ = ab ;

r = 2 , avem M₂ = a(a+1)b² ;

r = 3 , avem M₃ = a(a+1)(a+2)b³ etc. Þ

D(X) = M₂ -M²(X) = ab² Þ abaterea tip s_X

In cazul particular , b=1 avem: M(X) = D(X) = a.

Folosind formula:

vom putea calcula momentele centrate de diferite ordine. De exemplu:

m₁ = 0 ;

m₂ = D(X) = ab² ;

m₃ = M₃ -3M₁M₂ + 2 = 2ab³ ;

m₄ = 3a(a+2)b⁴ , etc.

Coeficientii de asimetrie sunt :

a = ; a = .

Coeficientul de boltire este:

b = , cu excesul E = b-3= .

Cu substitutia: itx-, functia caracteristica se scrie:

c(t) =

=

deci :

c(t) = (1 - itb)^-a .

La acest rezultat se mai poate ajunge si astfel:

c(t) = =

= 1+

= 1+ .

&.11. Distributia Beta

O variabila aleatoare X are distributia Beta de parametri a si b (a > 0 , b > 0) daca functia densitate de probabilitate este:

j(x;a,b) = ,

unde B(a,b) = , functia Beta.

I. Functia j(x;a,b) satisface conditiile unei functii densitate de probabilitate, caci:

a. j(x;a,b) ³ 0, pentru orice x din R;

b. .

Functia de repartitie a acestei distributii este:

F(x;a,b) = .

Functia F(x;a,b) se numeste functia Beta incompleta.

Ea satisface relatia:

F(x;a,b) = 1 - F(1-x;a,b),

care se obtine facand schimbarea de variabila t=1-z in integrala:

F(1-x;a,b) =

II. Momente de diverse ordine. Dispersia. Modul

Folosind definitia,

M_r =

M_r = . Dar cum B(a,b) =

M_r = .

In particular,pentru

r =1, M₁ = M(X) = ;

r = 2, M₂ =

D(X) = M₂ - M²(X) = si s_X=.

Pentru determinarea modului, avem:

B(a,b)j'(x;a,b) = x^a-2(1-x)^b-2 (a-1)(1-x)-(b-1)x , iar j'(x;a,b)=0 implica: x=0, x=1, x=. Daca a+b-2>0, functia j(x;a,b) are valoarea maxima, deci M₀= .

Fara demonstratie, enuntam:

1) Daca b ¥, distributia Beta tinde catre distributia Gama .

2) Daca a ¥, b ¥ , distributia Beta tinde catre distributia normala n(x;0,1) .

&12. Distributia Hi-patrat (c

Legea de distributie Hi-patrat (Pearson ) pe care o vom nota cu c , are functia densitate de probabilitate :

j(x)= ,

cu s > 0, d ¹ 0, numar natural.

Dupa cum se verifica usor, distributia c este un caz particular al repartitiei Gama, pentru a = d/2 si b=2s

Spunem ca distributia c depinde de parametrii d si s si in plus, distributia c are d grade de libertate, adica numarul gradelor de libertate fiind egal cu parametrul d al distributiei. Se mai noteaza densitatea de probabilitate cu c d

I. Sa aratam ca j(x) satisface conditiile unei functii densitate de probabilitate. Avem:

a. j(x) ³ 0, pentru orice x real;

b. Cu schimbarea de variabila: x=2s t, dx=2s dt Þ

=

= .

Graficul functiei densitate de probabilitate j(x) depinde de valorile parametrilor s si d. Din j'(x)=0, deducem x=(d s abscisa punctului de maxim, deci modul M_o = (d s . Curbele sunt asimetrice apropiindu-se pentru valori mari ale parametrului d de curba corespunzatoare distributiei normale.

II. Functia de repartitie

Apicand definitia, putem sa scriem :

P(X = c < c )=F(c )= .

In practica, de obicei se intrebuinteaza: P(c > c p; aceste probabilitati sunt calculate si date in tabele pentru diferite valori ale parametrului d si ale lui p (valori uzuale ale lui p

Reamintim ca :

P(c > c ) = p

geometric, aria marginita de curba y = j(x), axa Ox cu x > c da probabilitatea P(c > c p

III. Momentele de diferite ordine. Dispersia

Cu schimbarea de variabila :

x = 2s t , dx = 2s dt Þ

M_r = =

= 2^rs^2r M_r= d d d d+2r-2)s^2r

In particular , pentru :

r = 1 , M₁ = M(X) =ds

r = 2 , M₂ = d d s

r = 3 , M₃ = d d d s ,etc.

Dispersia:D(X)=M₂-M²(X)ÞD(X) =2ds si s_X=

Momentele centrate, sunt:

m₁ = 0 ;

m₂ = 2ds

m₃ = M₃ -3M₁M₂ + 2M₁³ Þ m₃ = 8ds

m₄ = 12d d s , etc.

IV. Functia caracteristica

Folosind urmatoarea relatie obtinuta din definitia functiei Gama: cu p=c(t)= =

Þ c(t) = .

V. Caracteristici ale formei graficelor.

Coeficientii de asimetrie si boltire, sunt:

a= ,b= cu excesul E= .

Fara demonstratie, enuntam urmatoarele proprietati din care rezulta un mod de a genera o variabila aleatoare cu o distributie c sau legatura intre distributia c si distributia normala.

P₁. Daca variabila aleatoare X are o distributie normala cu parametrii 0 si 1, atunci variabila aleatoare Y = X² are o distributie c de parametrii : d=1 si s

P₂. Daca din fiecare din variabilele aleatoare independente X₁,X₂, ,X_n are o distributie normala cu parametrii 0 si 1, atunci varaiabila aleatoare X=X₁²++X_n² are o distributie c cu d grade de libertate.

P₃. Daca variabila aleatoare X are distributia c cu d grade de libertate (d ³ 1) ,atunci densitatea de probabilitate a variabilei : tinde catre densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare cu distributie normala cu parametrii 0 si 1.

&13. Distributia 't' (Student)

O variabila aleatoare X are o distributie Student (Student este pseudonimul matematicianului englez V.S.Gosset) sau 't' cu n grade de libertate, daca functia densitate de probabilitate este definita de:

j(t) = , t real .

I. Functia j(t) este o functie densitate de probabilitate:

a. j(t) ³ 0, oricare ar fi t real;

b. Cu substitutia: t²=ny, 2tdt=ndy, avem:

=2.

.

In aceste calcule, am folosit relatia:

I=functia Beta modificata.

In adevar, cu substitutia:

I=

II. Momente de diverse ordine. Dispersia. Modul

Media variabilei aleatoare X cu distributia 't', este:

M(X) =

Cu substitutia: 1 + integrala nedefinita:

a carui valoare este zero pentru y = ¥ . Deci M(X) = 0.

Deoarece M(X) = 0, deducem ca M_r = m_r, adica momentele centrate de ordinul r ale variabilei aleatoare cu distributia Student sunt egale cu momentele de ordinul r obisnuite.

Cu substitutia:

D(X)==

.= D(X) =

Deoarece in calculul momentelor de ordin impar M_2r+1 intervin functii de forma: h(t)=t^2r+1 cu h(-t) = h(t) adica functii simetrice in raport cu originea iar intervalul de integrat este si el simetric (-¥ ¥) deducem ca M_2r+1 = 0.

Pentru momentele de ordin par, schimbarea de variabila: t² = ny conduce succesiv:

M_2r= =

.=

M_2r =

iar acesta exista daca , adica distributia 't' este aplicabila unei distributii rezultate din expresii statistice formate din variabile cu cel putin doua grade de libertate.

Folosind expresiile dezvoltate ale functiei Gama,adica:

;

M_2r = = m_2r .

In cazul particular, pentru:

r = 1 , M₂ = m₂ = D(X) =

r = 2 , M₄ = m₄ =

Daca se calculeaza derivata j'(x) , acesta se anuleaza numai pentru t = 0, cand functia j(x) admite un maxim. Deci M₀(X) = 0 .

III. Graficul functiei densitate de probabilitate

Functia j(t) fiind para in raport cu t: j(-t) = j(t), graficul

este o curba simetrica fata de axa Oy. Apoi, M(X)=0, D(X)=, ceea ce arata ca pentru n mare (practic >30), avem D(X) 1, adica aceeasi parametri ca la distributia normala n(x;0,1). Momentele centrate m_2r+1 = 0, m_2r ¹ 0, de asemenea o proprietate intalnita la distributia normala.

In plus avem:

adica tocmai momentele centrate in cazul distributiei n(x;0,1).

In concluzie, distributia 't' pentru n numar mare, tinde catre distributia normala.

IV. Functia de repartitie este:

P(X < x) = F(x) = .

In practica sunt calculate valorile functiei de repartitie sub forma de tabele si mai ales sunt folosite tabele care satisfac ecuatia: P( X > t) = e , adica se determina valoarea lui t, pentru un e dat.

&14. Distributia Fisher (F)

O variabila aleatoare X are o distributie Fisher avand gradele de libertate m si n, daca functia densitate de probabilitate are forma:

h(x) =

cu m,n din N* -numere naturale diferite de zero.

Functia h(x) satisface conditiile unei functii densitate de probabilitate, caci:

a. h(x) ³ 0 , pentru orice x real ;

b. Cu substitutia:

x=

= =

=

Media, momentele de ordinul r, dispersia si abaterea medie patratica sunt date de relatiile: ;

M(X) =;

M_r = .

Fara demonstratie, enuntam :

Daca variabilele aleatoare independente X₁,,X_m,X_m+1, ,X_m+n urmeaza legea normala cu parametrii 0 si s, atunci variabila aleatoare

Y = ,

urmeaza legea Fisher cu parametrii m si n (legatura intre distributia normala si distributia 'F').

&15. Distributia exponential negativa

Este un caz particular al distributiei Gama, obtinandu-se din aceasta pentru a=1 si b=1/p. Astfel, o variabila aleatoare X are o distributie exponential negativa de parametru p (p > 0), daca functia densitate de probabilitate este:

h(x) = .

Functia h(x) este o functie densitate de probabilitate:

a. h(x) ³ 0, pentru orice x ;

b. .

Functia de repartitie este:

F(x) = P(X < x) = .

Media, dispersia, abaterea medie patratica si functia caracteristica se obtin prin particularizare din cele ale distributiei Gama:

M(X) = , D(X) = Þ s_X = ;

c(t) = .