Demonstratie practica a teoremei Fourier

Demonstratie practica a teoremei Fourier

Obiectivul acestui laborator/proiect este acela de a arata practic relatia dintre definitia in domeniul timp al unei functii u(t) periodice, continua in timp continuu, si spectrul sau de frecventa, ca rezultat direct al teoremei Fourier. Conform acesteia:

Unde: (2)

(3)

Se demonstreaza usor ca forma 1 a teoremei Fourier poate fi scrisa mai sintetic astfel:

Teorema Fourier are o deosebit de mare importanta teoretica si practica. De ce? Asa cum este ea formulata sintetic prin relatia 4, teorema Fourier, ne arata ca orice functie periodica poate fi descompusa in semnale sinusoidale si reciproc orice functie periodica poate fi construita prin insumarea acelor semnale sinusoidale.

Pentru intelegerea profunda a acestei realitati fizice, este extrem de util sa apara in cadrul aceleiasi ferestre atat reprezentarea in domeniul a functiei timp cat reprezentarea in domeniul frecventa a functiei analizate. Pentru aceasta este indicat a fi realizat un GUI de forma celui din figura 1.

Figura 1. GUI

Fereastra 1. "O perioada a functiei u(t)"

Se defineste pe ecran un cadru dreptunghiular de dimensiuni (L_fer x H_fer), pe care se va reprezenta o perioada a functiei de analizat.

Fiecare pixel din latimea ferestrei va reprezenta o valoare din domeniul de definitie. Deci domeniul de definitie al functiei u(t), va fi tI[0; L_fer] unde L_fer reprezinta latimea ferestrei in care se va reprezenta grafic functia.

Domeniul in care functia ia valori va fi uI[-H_fer/2; +H_fer/2] unde H_fer reprezinta inaltimea ferestrei

In meniu vor exista cateva functii predefinite precum: triunghi, dinte de fierastrau, sinus, sinus plus sinus, impuls simetric, impuls asimetric,

O a doua modalitate de a genera functii carora sa li se poata studia spectrul de frecventa este aceea de "a le desena grafic", cu ajutorul mouse-lui.

In ambele cazuri reprezentarea functiei se face prin puncte plasate pe fereastra grafica. Primul punct al functiei va fi de coordonate (0;0), iar ultimul de coordonate (0; L_fer). Intre aceste puncte functia va fi interpolata prin segmente de dreapta, ca in figura urmatoare:

Figura 2. Fereastra "o perioada a functiei u(t)"

In aceiasi fereastra, se va afisa si pozitia curenta a cursorului de mouse, pentru a se putea face estimari cantitative asupra valorilor functiei u(t).

Functia u(t) va fi memorata intr-un fisier de numere intregi cu semn, avand urmatoarea structura:

q       Prima inregistrare va contine numarul de puncte N_dat prin care a fost definita functia. La limita, N_dat = L_fer

q       Urmatoarea pereche de inregistrari o constituie coordonatele primului punct (x₁; y₁);

q       Fisierul continua cu inregistrarea succesiva a tuturor perechilor de puncte (x_n; y_n).

Observatie importanta. De la inceput am precizat ca marimea u(t) este o functie continua in timp continuu. Cu toate acestea, reprezentarea ei in calculator nu se poate face decat in mod discret. Sunt discretizate atat domeniul de definitie (timpul) cat si domeniul de valori. Timpul este discretizat (esantionat) prin insasi modul in care ne-am ales reprezentarea functiei si anume vor exista L_fer puncte in care functia ia valori, pentru fiecare perioada a semnalului. Dar semnalul u(t) poate avea diferite valori ale perioadei. De aceea trebuie introdusa de la tastatura valoarea perioadei T₀ (sau ale frecventei f₀ ) din care s-au luat cele L_fer esantioane. Valoarea introdusa nu afecteaza in nici un fel reprezentarea grafica ci va fi doar un parametru pentru calculul componentelor spectrale.

Fereastra 2. "Armonici componente ale functiei u(t)"

Se defineste pe ecran un cadru dreptunghiular de aceleasi dimensiuni (L_fer x H_fer), ca si fereastra in care s-a reprezentat o perioada a functiei u(t).

este destinata reprezentarii functiilor "sinus" rezultate in urma descompunerii Fourier.

Fereastra va fi prevazuta cu posibilitatea selectarii urmatoarelor doua regimuri de afisare:

q       Vizualizarea unei singure armonici. In acest caz va trebui introdus de la tastatura numarul armonicii ce se doreste vizualizata. Alaturat, in aceiasi fereastra, i se va afisa acesteia valoarea numerica a amplitudinii si a fazei.

q       Vizualizarea sumei primelor N armonici. Si in acest caz N se introduce de la tastatura.

Cand se afiseaza suma primelor N armonici, rezultatul va fi afisat de asemenea si in prima fereastra, suprapus peste semnalul u(t), pentru a putea compara mai usor gradul in care primele N armonici aproximeaza functia u(t).

Fereastra 3. "Spectrul de amplitudini al functiei u(t)". Acesta mai este cunoscut in literatura ca "Magnitude spectrum". In figura 3 este ilustrat un posibil exemplu.

Aceasta fereastra afiseaza valoarea amplitudinii primelor N armonici din spectrul semnalului u(t). Afisarea amplitudinii unei sinusoide se face sub forma unui segment avand lungimea proportionala cu amplitudinea sinusoidei, plasat vertical in dreptul frecventei sinusoidei.

Trebuie sa se poata face estimari cantitative legat de marimile afisate. Astfel la clic de mouse pe o bara reprezentand o sinusoida, se vor afisa alaturat valoarea numerica a acesteia, si in acelasi timp, va fi afisata sinusoida respectiva in fereastra 2.

Fereastra 4. "Spectrul de faza al functiei u(t)". Acesta mai este cunoscut in literatura ca "Phase spectrum"

Aceasta fereastra afiseaza valoarea fazei initiale a primelor N armonici din spectrul semnalului u(t). Afisarea se face sub forma unui segment avand lungimea proportionala cu faza initiala a sinusoidei, plasat vertical in dreptul frecventei sinusoidei.

Domeniul de valori al fazei initiale este [-p p

Figura 3. Ferestrele "Magnitude spectrum" si "Phase spectrum"

Pentru afisarea tuturor elementelor in ferestrele grafice 2, 3 si 4 trebuiesc calculate urmatoarele:

Calculul valorii U₀ (relatia 2), se face pornind de la observatia ca ea este numeric egala cu valoarea medie a ariei cuprinse intre axa orizontala si graficul curbei. Tinand cont de felul in care a fost definita functia u(t), aria totala se calculeaza ca suma a ariilor tuturor trapezelor, asa cum este hasurat trapezul din exemplul din fig. 2.

Rezulta: (6)

Pentru calculul amplitudinilor An si Bn se pleaca de la relatiile 3, de definitie.

Ecuatia dreptei ce uneste punctele (  x_i, y_i) si (x_i+1, y_i+1) este:

(7)

unde: (8)

Conform relatiei 3 integrala se efectueaza pentru fiecare interval [x_i, x_i+1], Pentru un astfel de interval va trebui calculata urmatoarea integrala: ar

(9)

Utilizand formula de integrare prin parti, integrala nedefinita devine:

(10)

In mod similar, se determina coeficientii Bn:

(11)

(12)

(13)

if A(n) > Þ

In relatiile 9..13, n reprezinta ordinul armonici. Pentru a calcula elementele tuturor armonicilor se vor itera calculele pentru toate cele N armonici, N intorducandu-se de la tastatura.