CURS 10

Derivate. Functii derivabile

Fie f o functie pe un interval I si un punct din I.

Definitie: Se spune ca functia este derivabila īn punctual daca raportul

are īn punctul limita finita. Limita īnsasi se numeste derivate functiei f in punctul si se noteaza :

se citeste derivata functiei f īn raport cu x īn punctul .

In loc de se mai folosesc pentru derivata si notatiile:

Daca limita exista, insa este infinita (+ ∞ sau - ∞) spunem ca derivata functiei din punctul este infinita. Īn aceasta situatie īnsa, functia nu este derivabila īn punctul .

Observatii

Functia trebuie sa fie definita in punctual . Daca o functie nu este definita īntr-un punct, nu se pune problema derivabilitatii īn acel punct.

Derivata īntr-un punct este un numar.

Teorema Daca functia este derivabila īn punctual atunci f este continua īn punctul .

Demonstratie: Pentru , avem egalitatea:

si

de unde rezulta ca are limita īn punctul pe .

Īntradevar:

deci este continua īn punctul .

Interpretarea geometrica a derivatei

Fig.1

Fie si graficul functiei f pentru : , care este un arc de curba plana. Daca este un punct īn care functia f este derivabila, iar x un punct oarecare din interval, conform figurii alaturate avem din triunghiul M₀MN.: (1), unde este coeficientul unghiular al secantei M₀M. Daca punctul , secanta M₀M se apropie ca pozitie de dreapta M₀Q, tangenta la grafic īn punctul M₀ (daca graficul are o tangenta unica īn punctul M₀), deci: . Deci derivata functiei , īntr-un punct este egala cu tangenta trigonometrica a unghiului pe care īl face tangenta la grafic īn punctul cu axa 0X. Daca derivata este infinita (+∞ sau -∞), , dreapta M₀Q este paralela cu axa 0Y. Daca raportul (1) nu are limita, graficul nu are tangenta unica īn punctul M₀ (punct unghiular) sau tangenta nu exista.

Interpretarea cinematica a derivatei

Fie M un punct mobil care descrie axa 0X. La fiecare moment t drumul parcurs pe axa este o functie care ne da legea de miscare a punctului. Punctul se misca uniform daca legea de miscare este data de relatia liniara īn t:

, constante

Spatiul parcurs īntre doua momente oarecare t₁ < t₂ este

si raportul

se numeste viteza punctului M īn miscare rectilinie si uniforma. Deci īntr-o miscare rectilinie si uniforma viteza este constanta. Fie acum o miscare oarecare a punctului M pe axa 0X, miscare data de legea x(t), si sa consideram doua momente t₁, t_2, precum si raportul (1). Daca substituim miscarile date, īn intervalul (t₁, t₂) o miscare uniforma a unui alt punct, care coincide cu punctul M la timpul t₁ si t₂ raportul (1) poate fi considerat ca viteza medie a punctului M īn intervalul de timp (t₁, t₂) si el ne da o caracterizare a miscarii īntre aceste momente, caracterizare care va fi cu atāt mai buna cu cāt intervalul (t₁, t₂) este mai mic. Astfel putem considera limita vitezei medii cānd adica: . Daca aceasta limita exista si este finita, ea este prin definitie viteza punctului M la momentul t₁, deci: .

Functii derivabile pe un interval

Definitie

Se spune ca functia este derivabila pe I daca este derivabila in fiecare punct . Functia care face ca fiecarui punct sa-i corespunda derivata functiei īn punctul x, se numeste functia derivata a functiei f sau, mai simplu, derivata lui f si se noteaza: f', sau Df. Cu ajutorul acestor relatii, derivata functiei īntr-un punct se mai scrie: .

Derivata la stānga. Derivata la dreapta.

Definitie

Fie functia si . Se spune ca functia f este derivabila la dreapta īn punctul x₀ daca raportul are limita la dreapta finita, īn punctul x₀. Aceasta limita se numeste derivata la dreapta a functiei f īn punctul x₀ si se noteaza : .

Definitie

Fie functia si . Se spune ca functia f este derivabila la stānga īn punctul daca raportul are limita la stānga finita, īn punctul . Aceasta limita se numeste derivata la stānga a functiei f īn punctul x₀ si se noteaza : .

Observatii

1. Din definitie rezulta ca o functie este derivabila īntr-un punct daca este derivabila la dreapta si la stānga īn punctul si daca cele doua derivate (numite derivate laterale) sunt egale: .
2. Pentru o functie definita pe un interval compact (īnchis si marginit [a, b] ) are sens problema derivatei īn orice punct din interval. Īn punctul a are sens problema derivatei la dreapta, iar īn punctul b are sens problema derivatei la stānga.
3. Daca derivata la dreapta (sau la stānga) a unei functii f īntr-un punct este infinita (+ ∞ sau - ∞), functia nu este derivabila la dreapta (sau la stānga) īn punctul .

Interpretarea geometrica a derivatei la dreapta si a derivatei la stānga.

a)      O functie este derivabila la dreapta īn punctul daca:

. Prin urmare, conform figurii urmatoare,

semidreapta M₀M, cānd (M la dreapta lui M₀), se apropie ca pozitie

de semitangenta la dreapta īn punctul M₀, M₀Q. Coeficientul unghiular al semidreptei M₀Q este .

Fig. 1

Daca = + ∞, semitangenta M Q este paralela cu axa 0Y si este situata deasupra punctului M₀ (conform figurii 2).

Fig. 2

Daca = - ∞, semidreapta M Q semitangenta la grafic īn punctul , este paralela cu axa 0Y si este situata sub punctul M.

b)      O functie este derivabila la stānga īn punctul daca . Prin urmare (conform figurii 3) semidreapta

Fig. 3

M₀M cānd (M la stānga lui M₀) se apropie ca pozitie de semitangenta la stānga īn punctul M₀, M₀Q. Coeficientul unghiular al semidreptei M₀Q este . Daca = + ∞, semitangenta M Q este paralela cu axa 0Y si este situata sub punctul M₀ (conform figurii 4). Daca = - ∞, semitangenta M₀Q este paralela cu axa 0Y si este situata deasupra punctului M

Fig. 4

c)      Daca functia f are īn punctul derivatele laterale diferite si cel putin una din ele este finita, punctul se numeste punct unghiular al graficului functiei , iar cele doua semitangente fac īntre ele un unghi si (conform figurii 5).

Fig. 5

d)      Daca functia f are īn punctul derivatele laterale infinite si egale, cele doua semitangente sunt īn prelungire punctul x este un punct de inflexiune al graficului functiei (conform figurii 6).

Fig. 6

e)      Daca functia f are īn punctul derivatele laterale infinite si diferite = = - ∞ sau = = + ∞, cele doua semitangente se suprapun; punctul se numeste punct de īntoarcere al graficului functiei (conform figurii 7).

Fig. 7

Reguli de derivare.

Operatii cu functii derivabile.

Teorema 1

Daca functiile sunt derivabile īntr-un punct , atunci functia este derivabila īn punctul si:

.

Demonstratie

si pentru ca f si g sunt derivabile īn punctul , avem:

(1), deci

(2).

Observatii

1. Teorema ramāne adevarata pentru suma unui numar finit de functii derivabile f₁, f₂, ..... f_n īntr-un punct , si anume

2. Regula (2) ramāne adevarata si īn cazul cānd derivatele si sunt infinite, cu conditia ca suma sa aiba sens.

Consecinta

Daca functiile si sunt derivabile pe I, atunci suma este derivabila pe I si: .

Teorema 2

Daca functiile sunt derivabile īntr-un punct , atunci functia este derivabila īn punctul si:

.

Demonstratie

Avem

si pentru ca sunt derivabile īn punctul , obtinem:

(3).

Observatie

1. Regula (3) ramāne valabila si īn cazul cānd derivatele si sunt infinite, cu conditia ca diferenta sa aiba sens.

Consecinta

Daca functiile si sunt derivabile pe I, atunci diferenta este derivabila pe I si: .

Teorema 3

Daca functiile sunt derivabile īntr-un punct , atunci functia este derivabila īn punctul si:

.

Demonstratie

Pentru din I avem:

Prin ipoteza, functiile f si g sunt derivabile īn punctul , deci

sunt continue īn punctul prin urmare si , astfel īncāt putem scrie:

adica (4).

Daca sunt n functii derivabile īn punctul x₀ , produsul lor este derivabil īn punctul si:

(5)

Demonstratie

Pentru n 2 formula este adevarata, deoarece este formula (4). Presupunem ca este adevarata pentru n-1 sa aratam ca este adevarata si pentru n:

care este tocmai formula (5).

Īn particular, daca atunci .

Consecinta: Daca functiile sunt derivabile pe intervalul I, atunci functia este derivabila pe I si:

.

Teorema 4

Daca functiile sunt derivabile īntr-un punct , atunci functia este derivabila īn punctul si:

.

Demonstratie Functia g(x) ia īn punctul x₀ valoare diferita de 0; deoarece este continua in punctul x₀, exista o vecinatate V a lui x₀ īn care . Pentru avem:

, īnsa

deci avem la limita:

adica:

.

Consecinta: Daca functiile sunt derivabile pe I si , atunci este derivabila pe I si:

.

Derivabilitatea functiilor compuse.

Sa consideram functia , cu domeniul valorilor I si functia ; pentru functia compusa avem urmatoarea

Teorema: Daca functia este derivabila īn punctul si functia este derivabila este derivabila īn punctul corespunzator atunci functia compusa este derivabila in punctul si

.

Demonstratie

Functia u fiind derivabila īn punctul x₀, avem:

(1). Functia f(u) fiind derivabila īn punctul u₀, avem: ; īnainte de a trece la limita, putem scrie:

cu (3).

Functia data de (2), cu , este continua īn punctul . Īntradevar, si pentru , avem deoarece f(u) este derivabila īn punctul u₀. Derivabilitatea functiei F(x) este:

. Deci la limita avem:

si daca tinem seama de (1) si (3) avem: .

Consecinta Daca functia este derivabila pe I si functia f este derivabila pe I atunci functia compusa este derivabila pe I si: .

Derivabilitatea functiilor inverse

Teorema Fie functia , care se poate inversa pe I. Daca f(x) este derivabila īn punctul , atunci functia sa inversa este derivabila īn punctul si (1).

Demonstratie

Am aratat ca functia este continua pe J; ramāne sa mai aratam ca pentru orice sir (y_n) cu avem: . Functia f fiind biunivoca, la corespunde un x_n astfel īncāt y_n=f(x_n), deci , astfel īncāt: , si la limita, deoarece sirul (y_n) este arbitrar, avem:

.

Consecinta daca functia , este derivabila pe I si , atunci functia inversa este derivabila pe si

Observatii

1. Am aratat ca functiile au graficele simetrice fata de prima bisectoare a axelor. Relatia dintre derivatele lor īn punctele corespunzatoare: confirma acest fapt, anume ca tangentele la cele doua curbe īn punctele sunt asimetrice fata de prima bisectoare.
2. Daca , relatia (1) se mentine, anume derivata functiei inverse este infinita. Mai precis, daca f(x) este strict crescatoare, deoarece pentru orice si daca f(x) este strict descrescatoare deoarece pentru orice .

Derivatele functiilor trigonometrice

a)      Functia este derivabila pe domeniul de definitie R. Avem:

, deci

.

Consecinta Daca este derivabila, functia este derivabila pe I si: .

b)      Functia este derivabila pe domeniul de definitie R. Deoarece , folosind regula de derivare a functiilor compuse, precum si rezultatul precedent:

c)      Functia este derivabila pe domeniul Pentru avem:

d)      Functia este derivabila pe domeniul Pentru ,

Derivata functiei logaritmice

Functia este derivabila pe tot domeniul de definitie . Avem: , deci , deoarece Din formula rezulta ca .

Observatie Daca .

Derivata functiei exponentiale

Functia este derivabila pe tot domeniul de definitie . Functia este inversa functiei logaritmice .

Asadar .

Observatii

Daca .

Daca u(x) definita pe I este derivabila pe I, atunci .

Functii hiperbolice

Functia , numita ,,sinus hiperbolic", se defineste cu ajutorul functiei exponentiale īn modul urmator: . Domeniul valorilor este . Functia este o functie impara, deoarece . Graficul este simetric fata de originea axelor (conf. fig. (1)), .

Fig. 1

Functia , numita ,,cosinus hiperbolic", este definita de . Domeniul valorilor este . Functia este o functie para, deoarece . Graficul este simetric fata de axa 0Y (conf. fig. (2)). Graficul functiei se numeste si ,,curba lantisor". Curba da pozitia de echilibru a unui fir omogen, flexibil, inextensibil, supus la actiunea gravitatiei si ale carui capete sunt fixate (A, B), .

Fig. 2

Functia , numita ,,tangenta hiperbolica" (conf. fig. (3)), este definita de .

Fig. 3

Functia , numita ,,cotangenta hiperbolica" (conf. fig. (4)), este definita de .

Fig. 4

Proprietatile functiilor hiperbolice

Functiile hiperbolice au proprietati care le apropie de functiile circulare. Dam cāteva dintre ele

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

Toate se dovedesc īnlocuind functiile hiperbolice cu expresiile lor īn functie de exponentiale. Astfel, pentru 1 avem

Derivatele functiilor hiperbolice

a)      Functia este derivabila pe domeniul de definitie R. ; .

b)      Functia este derivabila pe domeniul de definitie R. ; .

c)      Functia este derivabila pe domeniul de definitie R. ; .

d)      Functia c este derivabila pe domeniul de definitie R-. ; .

Derivatele functiilor circulare inverse

Functia arcsin x, definita pe [-1, +1], este derivabila pe (-1, +1): , deci . Īn punctele +1 sau -1, arcsin x are derivata +

Functia arccos x, definita pe [-1, +1], este derivabila pe (-1, +1): , deci . Īn punctele +1 sau -1, arcsin x are derivata -

Functia arctg x, definita pe ), este derivabila pe domeniul de definitie: , deci .

Functia arcctg x, definita pe ), este derivabila pe domeniul de definitie: , deci .

Functii hiperbolice inverse

a)      Functia este strict monotona pe tot domeniul sau de definitie R. Avem sau . Solutia care convine este . Schimbānd pe y īn x dupa logaritmare, obtinem functia inversa a functiei : , numita ,,argument sinus hiperbolic". Functia este derivabila pe domeniul de definitie

.

b)      Functia este strict monotona pe intervalele . Avem sau . Schimbānd pe y cu x, obtinem functia inversa a functiei numai pentru ramura monotona definita pe : , numita ,,argument cosinus hiperbolic"; pentru ramura din intervalul avem: .

c)      Functia este strict monotona pe multimea de definitie. Avem sau , numita ,,argument tangenta hiperbolica". Functia este derivabila pe domeniul de definitie: .

d)      Functia , este monotona pe intervalele . Avem: . Schimbānd pe x cu y, obtinem functia inversa a functiei , pentru ramura monotona definita pe , numita ,,argument cotangenta hiperbolica"; pentru ramura din intervalul avem .