DETERMINANTI

Rezumat: Lucrarea este o consonsolidare a notiunii de determinant aducand cateva teoreme noi fata de curriculumul scolar : Teorema Cayley-Hamilton pentru matrici n dimensionale, teorema Binet-Cauchy, Teorema lui Laplace si demonstratia teoremei . De asemenea contine o initializare asupra notiunii de determinanti tridimensionali si lanseaza o provocare pentru mai tarziu: studiul determinantilor multidimensionali.

Introducere

Lucrarea contine urmatoarele capitole:

Determinanti – recapitulare si completari (Teorema Cayley –Hamilton)

Determinantul produsului a doua matrice

Formula Binet-Cauchy sau determinantul produsului a doua matice

2.2 Teorema lui Laplace si determinantul produsului a doupa matrice

Determinanti tridimensionali si generalizare pentru determinanti multidimensionali

1.Determinanti – recapitulare si completari (Teorema Cayley –Hamilton)

Determinantii pentru n=2 se cunosc inca din antichitate.

In jurul anului 1650, in Europa si in Japonia au fost rezolvate cateva sisteme liniare particulare conducand la notiunea de determinant; anul 1833 marcheaza inceputul teoriei moderne odata cu lucrarile lui Cayley .

Definitia determinantului de ordin n3

Fie A= o matrice patratica. Vom asocia acestei matrici un numar notat det(A) numit determinantul matricii A.

Definitie n=1 Daca A= este o matrice patratica de ordinul intai, atunci det(A) =.

Definitie n=2 . Determinantul matricii este numarul

si se numeste determinant de ordin 2. Termenii , se numesc termenii dezvoltarii determinantului de ordin 2.

Polinomul caracteristic pentru n=2

.

este polinomul caracteristic al matricii A

Definitie n=3 Determinantul matricii

este numarul

si se numeste determinant de ordin 3. Termenii care apar in formula se numesc termenii dezvoltarii determinantului.

Polinomul caracteristic pentru n=3

Det (=

=detdet=

= det det

+det+det =

= detdetdet

detdet+det

+det+det=

=det A - λ - λ - λ + λ² (a₁₁+a₂₂ +a33 ) - λ³ detI₃

=det A - λ ++ + λ² (a₁₁+a₂₂ +a33 ) - λ³ detI₃

1.2. Definitia determinantului de ordin n

Voi defini in continuare determinantul de ordin n prin recurenta cu ajutorul determinantilor de ordin n – 1. Pentru aceasta sunt necesare unele precizari.

Fie A=.

Definitie1. Se numeste minor asociat elementului determinantul matricii patratice de ordin n – 1 obtinut prin suprimarea liniei i si coloanei j din matricea A. Se noteaza acest minor prin sau .

Definitie2. Se numeste complement algebric al elementului numarul . Exponentul al lui (–1) este suma dintre numarul liniei i si coloanei j pe care se afla .

Definitie. Determinantul matricii A=de ordin n este suma produselor elementelor din prima linie cu complementii lor algebrici adica

Definitie Adjuncta matricii A este matricea A^*:

TEOREMA Cayley – Hamilton Orice matrice A isi verifica polinomul caracteristic:

n =2 A² –Tr(A) A + det(A)I₂ =O

Tr(A)=a+d (suma elementelor de pe diagonala principala)

n=3 A³–Tr(A) A² + Tr(A^*) A – det(A)I₃ =O₃

Tr(A)=a₁₁ + a₂₂ + a₃₃ (suma elementelor de pe diagonala principala)

Tr(A^*)= ++

(suma elementelor de pe diagonala principala a matricii adjuncte)

Observatii

) Formula din definitie spunem ca reprezinta dezvoltarea determinantului de ordin n dupa elementele primei linii.

Definitia determinantului de mai sus este inca putin eficienta (o voi ilustra mai jos pentru n = 4). De aceea se impune stabilirea unor proprietati ale determinantilor care sa fie comode atat din punct de vedere al teoriei si din punct de vedere calculatoriu. Aceste proprietati le prezint in paragraful urmator.

Continuand cu explicitarea determinantilor de ordin n – 1 din definitie se obtine pentru o suma de produse de elemente din determinant, fiecare produs continand elemente situate pe linii si coloane diferite.

Determinantul este o functie .

O alta definitie a determinantului de ordin n utilizeaza permutarile de n elemente si semnul permutarii ε(α).

det (A)=∑ ε(α)a_1α(1) a_2α(2) a_{3 α(3)} a_nα(n) unde α este o permutare de n elemente .

1.3. Proprietatile determinantilor

Determinantul unei matrici coincide cu determinantul matricii transpuse, adica daca A, atunci .

Daca toate elementele unei linii (sau coloane) dintr-o matrice sunt nule, atunci determinantul matricii este nul.

Daca intr-o matrice schimbam doua linii (sau doua coloane) intre ele obtinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricii initiale.

Daca o matrice are doua linii (sau coloane) identice, atunci determinantul sau este nul.

Daca toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrici sunt inmultite cu un numar , obtinem o matrice al carei determinant este egal cu inmultit cu determinantul matricii initiale.

Daca elementele a doua linii (sau coloane) ale unei matrici sunt proportionale, atunci determinantul este nul.

Daca linia i a unei matrici A este suma a doi vectori, atunci determinantul ei este egal cu suma a doi determinanti corespunzatori matricelor care au aceleasi linii ca A, cu exceptia liniei i unde au cate unul din cei doi vectori.

.

Daca o linie (o coloana) a unei matrici patratice este o combinatie liniara de celelalte linii (coloane), atunci determinantul matricii este zero.

Daca la o linie (o coloana) a matricii A adunam elementele altei linii (coloane) inmultite cu acelasi numar, atunci aceasta matrice are acelasi determinant ca si matricea A.

A.

Daca A= este o matrice triunghiulara (sau diagonala), atunci . (Valoarea determinantului este egala cu produsul elementelor de pe diagonala principala).

Daca A, B, atunci (Determinantul produsului a doua matrici patratice este egal cu produsul determinantilor acelor matrici). In particular n.

Determinantul unei matrici A este egal cu suma produselor dintre elementele unei linii si complementii lor algebrici, adica

.

(Formula lui da dezvoltarea determinantului dupa elementele liniei i).

Aceasta teorema permite sa calculam determinantul unei matrici dupa oricare linie. Se va alege acea linie care are mai multe zerouri sau pe care se pot realiza (cat mai usor) mai multe zerouri.

Observatie: Tinand seama de proprietatea teorema precedenta are loc si pentru coloane sub forma:

.

Teorema Daca A, B, atunci

(Determinantul produsului a doua matrici patratice este egal cu produsul determinantilor acelor matrici).

In particular n.

Demonstratia acesteoi teoreme va fi subiectul paragrafului urmator.

Definitie. Fie A. Matricea A se numeste inversabila daca exista matricea B cu proprietatea ca , fiind matricea unitate.

Matricea B din definitie se numeste inversa matricii A si se noteaza . Deci

.

Teorema. Matricea A este inversabila daca si numai daca O astfel de matrice se numeste nesingulara.

2. Determinantul produsului a doua matrice

Formula Binet-Cauchy sau determinantul produsului a doua matice

Fie m si n doua numere naturale nenule astfel incat mn, iar R multimea numerelor reale. Notam prin M (m,n,R) (respectiv M (n,m,R) multimea matricelor cu m linii si n coloane (respectiv cu n linii si m coloane) peste multimea R . Fie acum A=(a)M(m,n,R)

(respectiv B=(b) M (n,m,R)).Pentru orice k,…,k nu

neaparat distinctele notam cu A,…,(respective B) matricea patratica de ordinal m avand m coloane (respective m linii),egale in ordine cu coloanele (respective liniile) de indici k,…,kale matricei A respectiv B).Sa consideram k,…,kє cu kkpentru ij si fie j,…,j o rearanjare a elementelor k,…,kastfel incat j<j<…<j.Atunci exista o unica permutare S astfel incat k=j.

Din proprietatile determinantilor rezulta ca:

det A= () det A,,j si

det B=()det B

Pe de alta parte, din definitia determinantului avem ca

det A=()aaa=

= ()aaa

O relatie analoaga avem si pentru B,adica

det B=()bbb

Cu notatiile introduse mai sus avem Teorema Binet-Cauchy

Teorema :Fie m,n numere naturale nenule cu mn.Atunci pentru orice doua matrice A M (m,m,R) si B M(n,m,R)

are loc egalitatea:

det (AB)=det A·det B.

Demonstratie: fie C=AB M(m,m,R),adica C=(c).

Aplicand definitia determinantului matricei C,avem :

det C= ()ccc=

= ()=aa.

()bb=aa·det B=

=aa·det B

Am folosit faptul ca determinantul unei matrice cu doua linii identice este nul.

Grupand termenii cu =pentru 1j<<jn arbitrar fixati,obtinem:

aa·det B=det B·aa=

= det B·det A

Deci det (AB)= · det A· det Bceea ce trebuia demonstrat.

Corolarul 5.2.Fie n un numar natural nenul.Atunci pentru orice doua matrice A,B M(R)are loc egalitatea:

det (AB)=det (A) det (B).

Demonstratie : se obtine imediat din formula Binet-Cauchy pentru m=n

2.2 Teorema lui Laplace si determinantul produsului a doua matice

Definim cofactorul unui minor in mod asemanator cu complementii algebrici ai unui element a_ij

Daca un minor este determinat de liniile i₁ ,i₂ ,i₃ ,,i_K si de coloanele j₁, j₂ , j₃ ,,j_K atunci cofactorul sau este determinatul ce ramane suprimand liniile i₁ ,i₂ ,i₃ ,,i_K si coloanele j₁ ,j₂ ,j₃ ,,j_K inmultit cu (-1) la puterea

i₁ +i₂+i₃ ++i_K +j₁ +j₂ +j₃ ++j_K

Teorema lui Laplace

Fie A o matrice cu n linii si n coloane . Alegem liniile i₁ ,i₂ ,i₃ ,,i_K. . Atunci determinatul matricii A este suma tuturor produselor dintre minorii obtinuti de pe liniile fixate si cofactorii lor.

Demonstram in continuare teorema ce se refera la determinantul produsului a doua matrice

Construim urmatoarea matrice al carei determinant este: =

Vom calcula determinantul ∆ cu regula lui Laplace in doua moduri:

Metoda 1: Dezvoltand determinantul dupa primele n linii, singurele produse nenule sunt detA · detB

Metoda 2: Vom efectua transformarile coloanelor n+1, n+2,, 2n (ultimele n coloane) adaugand la fiecare dintre ele o combinatie liniara a primelor n coloane.

Am notat in cele ce urmeaza coloana k : C_k

.

Dupa aceste transformari se obtine determinantul urmator:

=

pe care-l dezvoltam dupa ultimele n linii cu teorema lui Laplace si obtinem det (A·B). Deci det (AB)=det (A) det (B).

Determinanti tridimensionali si generalizare la determinantii multidimensionali

Sa consideram o matrice tridimensionala

cu dimensiunile 2

Sau cu dimensiunile 3

Sau cu dimensiunile 3

Exista o functie asemanatoare notiunii de determinant ?

La matricile tridimensionale vom vorbi despre sectiuni ( echivalentele liniilor si coloanelor)

Sectiuni verticale  Sectiuni orizontale   Sectiuni laterale

Determinantul unei matrici tridimensionale 3 3 se calculeaza dupa urmatoarea regula

Observatii

O prima remarca: liniaritatea tuturor sectiunilor este o cerinta prea tare , nu se poate pastra la matricile multidimensionale

Schimband doua sectiuni verticale hiperdet

nu se schimba.

Schimband doua sectiuni orizontale

valoarea hiperdeterminantului se inmulteste cu

Formula Binet-Cauchy det(AB)=det(A)det(B) poate fi extinsa la hiperdeterminanti (Dionisi-O., J. Algebra 259 (2003) ).

Bibliografie

On Three Dimensional Determinants E. R. Hedrick

The Annals of Mathematics, 2nd Ser., Vol. 1, No. 1/4. (1899 - 1900), pp. 49-67.