Divergenta unui produs vectorial

1.8.3. Divergenta unui produs vectorial

Expresia divergentei unui produs vectorial este:

În forma dezvoltata formula de mai sus se prezinta astfel:

Daca tinem seama de proprietatile produsului mixt

obtinem: 343e41d

1.8.4. Divergenta unui gradient

Expresia prin care se obtine divergenta unui gradient este:

div(grad f) = Δf

Verificare:

1.8.5. Divergenta unui rotor

Divergenta unui rotor este zero

Demonstratie:

1.8.6. Divergenta unui Laplacian

Demonstratie:

Membrul al doilea din relatia de mai sus se poate scrie sub forma:

1.8.7. Rotorul unui gradient

Rotorul unui gradient este nul

rot(grad f) = 0

Demonstratie:

1.8.8. Rotorul produsului dintre o functie scalara si o functie vectoriala

Expresia rotorului produsului dintre o functie scalara si o functie vectoriala este:

Demonstratie:

1.8.9. Rotorul unui produs vectorial

Expresia rotorului unui produs vectorial este:

Demonstratie:

Proiectia primului membru pe axa Ox are expresia:

Proiectia membrului al doilea pe axa Ox are expresia:

Se observa ca cele doua proiectii sunt egale.

1.8.10. Rotorul unui rotor

Expresia rotorului unui rotor este:

Demonstratie:

Consideram un vector . Proiectia vectorului rot pe axa Ox este:

Daca este egal cu rot, atunci

Proiectia vectorului rot rot pe axa Ox este:

Se scrie relatia de mai sus pentru axele Oy si Oz si rezulta expresia rotorului unui rotor.

1.9. Potential scalar

Orice vector, functie de un punct M, al carui rotor este identic nul, poate fi considerat ca gradientul unei functii scalare de punctul M.

Demonstratie:

Fie un vector astfel incat rot =0, adica

(***)

Consideram o functie f astfel încât

Se va demonstra ca egalitatile (***) conduc la expresiile:

Din relatia deducem ca

unde este o functie arbitrara.

Derivam expresia integrala în raport cu y si obtinem: 343e41d

Folosim egalitatea în expresia de mai sus si rezulta:

sau, dupa efectuarea integralei

Similar obtinem: 343e41d

Vom arata ca:

Consideram functia φ(y, z) astfel încât

unde φ(y) este o functie nedeterminata. Derivam în raport cu y si obtinem: 343e41d

Folosim o egalitate data mai sus si vom putea scrie

sau

Vom alege

Am determinat pe φ astfel încât

ceea ce atrage dupa sine faptul ca sunt adevarate relatiile:

Rezulta, deci, ca daca rot = 0, atunci se poate gasi o functie astfel încât

;

Reciproc, daca

;

atunci rot = 0.

Conditia necesara si suficienta pentru ca un câmp de vectori sa fie gradientul unui scalar f este ca rotorul vectorului sa fie nul. Daca functia f este uniforma, se spune ca vectorul provine dintr-un potential scalar V care, prin conventie, este egal cu - f. Egalitatea = grad V si exprersia div(grad f) = Δf, conduc la relatia:

div = -ΔV

Se spune ca un astfel de câmp de vectori este newtonian, lamelar sau irotational.

Aceste denumiri ne spun ca si câmpul atractiei universale este de acest tip. Câmpul electric se determina dintr-un potential scalar.

1.10. Cazul particular al unui vector care trece printr-un punct fix

Fie O punctul fix si M punctul variabil(fig(1.11). Notam cu r distanta OM si cu vectorul unitar al vectorului .

Fig.1.11. Vector care trece print-un punct fix

Vectorul se poate scrie astfel = r. .

Sa consideram un vector care trece prin punctul O. Daca modulul sau nu depinde decât de distanta OM, acest vector se poate scrie astfel

Din formula gradientului avem

Dar si

si prin urmare

Rezulta

grad(f ( r)) =f'(r ). .

Vom calcula acum divergenta vectorului . Formula de mai sus ne arata ca daca avem o functie astfel încât F'( r) = f ( r), atunci .

Rezulta ca acest vector se deduce dintr-un potential scalar

Demonstratie:

Scriem si expresiile analoge pentru si le adunam.

Vom obtine:

1.11. Potential vector

Orice vector care este functie de un punct M si a carui divergenta este identic nula, poate fi considerat ca rotorul unui vector.

Fie vectorul . Prin ipoteza avem:

Cautam un vector astfel încât , adica

Într-adevar, vom arata ca vectorul se poate obtine într-o infinitate de moduri. Sa alegem un vector astfel încât b_z = 0. Cu aceasta alegere egalitatile de mai sus devin:

Din cele de mai sus rezulta:

Expresia lui a_z de mai sus devine o ecuatie în y, din care deducem:

Derivam expresia lui a_y în raport cu y si obtinem: 343e41d

Derivam expresia integrala de mai sus în raport cu z si comparam rezultatul cu ultima egalitate, si avem:

sau

ceea ce este adevarat în virtutea ipotezei . Asadar, vectorul este astfel încât b_z =0, , daca si numai daca .

Fie un alt vector astfel încât .

Deducem ca

sau

adica

Vectorii de tip ca solutii ale problemei nu sunt definiti decât cu aproximatia gradientului unui scalar oarecare, functie de punctul M.

Aceasta este evident, deoarece câmpului de vectori i se poate adauga un câmp de vectori oarecare, cu rotor nul. În aceasta infinitate de vectori, încercam sa cautam un vector particular a carui divergenta sa fie nula.

Fie acest vector. El va fi determinat prin functia scalara al carui gradient trebuie sa se adauge vectorului definit mai sus.

Avem:

de unde rezulta:

= div grad f = Δ f

cum , rezulta ca functia f este determinata de ecuatia .

În concluzie, daca , atunci exista un vector astfel încât si . Vectorul se numeste potentialul vector al vectorului . Vectorul pentru care se numeste vector solenoidal. Câmpul de vectori se numeste laplacian sau solenoidal, deoarece câmpul magnetic al unui sistem de curenti al caror câmp elementar este dat de legea lui Laplace este de acest tip.

Observatie: Potentialul vector nu este definit decât cu aproximatia unui gradient.

Fie un vector astfel încât

Aplicam relatiei de mai sus rotorul si obtinem: 343e41d

Dar rot grad φ = 0 si rezulta ca . Daca φ este ales astfel încât div grad φ = Δ φ =0 atunci avem

1.12. Câmpul vectorial foarte general

Un câmp vectorial oarecare poate fi considerat ca rezultând din suprapunerea a doua câmpuri, unul newtonian si altul laplacian.

Fie un câmp de vectori . Fie un vector astfel încât rot = 0. Alegem = grad f, unde f este o functie scalara pe care o vom determina mai târziu.

Sa consideram vectorul . Încercam sa facem aceasta diferenta nula. Pentru aceasta trebuie ca

Daca alegem pe f în asa fel încât si si . Dar si teorema este demonstrata.

Vectorul deriva dintr-un potential scalar, V = -f. Vectorul deriva dintr-un potential vector si avem:

1.13. Integrale vectoriale.

1.13.1. Circulatia unui vector

Consideram un arc AB pe care se deplaseaza un punct M într-un sens precizat.(fig1.12).

Fig.1.12: Circulatia unui vector

Fie un vector, functie de punct.

Definitie: Se numeste circulatia vectorului de-a lungul arcului AB valoarea integralei curbilinii

Daca este o forta, circulatia acestei forte de-a lungul arcului AB este lucrul mecanic al acestei forte.

Observatie: Daca vectorul deriva dintr-un potential scalar V, atunci din formula rezulta:

În acest caz circulatia depinde doar de punctul de plecare si cel de sosire.

1.13.2. Fluxul unui vector

Consideram o suprafata S pe care se disting doua fete. Fie M un punct din S, un vector functie de punctul M, MN normala la suprafata S pe care a fost ales un sens pozitiv, dσ un element de suprafata care înconjoara punctul M. Fixam pe normala în sensul pozitiv un vector de lungime egala cu dσ. Notam cu acest vector.

Definitie: Se numeste fluxul vectorului prin suprafata S integrala dubla

Formule fundamentale

Consideram S o suprafata închisa suficient de uniforma care margineste un volum D, M un punct oarecare din D si fie vectorul definit mai sus, orientat spre exteriorul lui D.

Alegem o functie scalara de punct f si o functie vectoriala de punct continui si finite împreuna cu primele lor derivate în toate punctele domeniului D, inclusiv în punctele suprafetei S.

Exista trei formule care înlocuiesc o integrala tripla printr-o integrala dubla:

Formula gradientului

Formula divergentei sau teorema lui Ostrogradski

Formula rotorului

1.14. Semnificatia divergentei

Formula lui Ostrogradscki ne arata ca fluxul total al unui vector printr-o suprafata închisa care margineste un volum infinit mic dτ are o expresie de forma . Divergenta unui câmp de vectori într-un punct este, asadar fluxul care iese din unitatea de volum ce înconjoara acest punct. Divergenta poate fi considerata ca fiind data de expresia:

Consideram un fluid a carui viteza este (functie vectoriala de punct) în fiecare punct din spatiu, la momentul t si densitatea fluidului ρ(functie scalara de punct). Alegem o suprafata si un vector unitar al normalei la suprafata . Masa de fluid care trece prin suprafata S în unitatea de timp este data de expresia:

Daca suprafata S este închisa si se delimiteaza un volum D, atunci expresia de mai sus reprezinta masa care iese din D în unitatea de timp.

Pe de alta parte, cresterea masei din interiorul volumului D în unitatea de timp va fi data de expresia:

Aplicam teorema lui Ostrogradski si obtinem: 343e41d

Daca se considera ca nu avem variatii ale cantitatii de fluid, nici cresteri si nici pierderi în interiorul volumului D, atunci este adevarata expresia:

Daca tinem seama de continuitatea functiilor si a derivatelor lor, atunci, din formula de mai sus, putem deduce expresia

Expresia de mai sus reprezinta ecuatia de continuitate a unui fluid.

Daca fluidul este incompresibil atunci

Daca, în plus, exista un potential scalar V al vitezei , atunci ecuatia de continuitate devine

ΔV = 0

1.15. Formula lui Green

Consideram o suprafata închisa S care margineste un volum D. Alegem doua functii scalare de punctul M, p si q .

Putem scrie formula

Demonstratie:

Cunoastem ca este adevarata expresia:

în care înlocuim pe prin p.grad q. Expresia div devine:

div = div(p.grad q)=p.(div grad q)+grad q.grad p

însa div grad q = Δq

de unde deducem expresia:

div =div(p.grad q) = p.Δ q+grad q.grad p

Înlocuim acum în formula divergentei si obtinem: 343e41d

Calculam diferenta ultimelor doua formule si obtinem: 343e41d

care reprezinta formula lui Green.

1.16. Formula lui Stokes

Consideram o suprafata S cu doua fete, marginita de o curba C pe care s-a fixat un sens de circulatie. Orientam fiecare normala astfel încât sensul de circulatie sa fie cel direct(fig.1.13).

Fig.1.13.

În fiecare punct P al suprafetei S consideram pe normala o lungime constanta, în sensul negativ. Locul geometric al punctului P' este o suprafata S' paralela cu S, marginita de o curba C'. Normala la S de-a lungul curbei C genereaza o suprafata riglata Σ. Fie D volumul marginit de suprafetele S, S' si Σ.

Daca lungimea constanta este destul de mica atunci volumul D este bine definit. Fie M un punct al volumului D, care poate fi situat si pe frontiera volumului.

Din punctul M ducem normala NP la suprafata S. Fie l lungimea MP. Avem relatia , în care este vectorul unitar al normalei (fig.1.13).

Consideram un punct învecinat lui M, caruia îi corespunde un punct . Putem scrie urmatoarea relatie

Înmultim scalar relatia de mai sus cu si obtinem: 343e41d

Însa , deoarece cei doi vectori sunt perpendiculari. În plus, deoarece un vector de lungime constanta (în acest caz egala cu 1) este perpendicular pe derivata lui. Dar de unde rezulta

Cunoastem ca . Deci oricare ar fi

Rezulta:

Daca aplicam rotorul celor doi membri ai relatiei de mai sus, obtinem: 343e41d

Aplicam acum teorema lui Ostrogradscki vectorului si obtinem: 343e41d

Însa este vectorul de lungime dσ luat pe normala, pe suprafata S el este egal cu , unde reprezinta vectorul unitar al normalei la suprafata Σ.

Rezulta

Consideram acum produsul . Vectorul este ortogonal cu , deci produsul sau scalar cu este nul.

Rezulta:

Consideram acum produsul . Acest produs este egal cu . Însa este vectorul unitate al tangentei la curba C atunci când punctul P se afla pe C (fig.1.14).

Deci .

Fig.1.14

În plus,

Deoarece .

Rezulta

Daca facem ca distanta PP' = d δ sa descreasca, atunci avem dτ = dσ.dδ unde dσ este un element de suprafata a lui S.

Daca dσ este un element de suprafata a lui Σ, atunci dσ = dl .dδ, în care dl este un element de arc al curbei C.

Rezulta:

Deci,

Rezulta ca circulatia unui vector de-a lungul unei curbe închise C este egala cu fluxul rotorului sau printr-o suprafata marginita de C. În cazul unui câmp laplacian sau solenoidal se stie ca acest câmp deriva dintr-un potential vector astfel încât .

Conform formulei lui Stokes, fluxul vectorului prin suprafata este egal cu circulatia lui pe contur.

Deci, fluxul unui vector solenoidal printr-o suprafata este egal cu circulatia potentialului sau vector pe conturul acestei suprafete. Teorema lui Stokes permite sa se dea vectorului rotor o alta definitie.

Fie de calculat componenta într-un punct A pe o directie determinata AW a vectorului rotor al unei functii vectoriale, de punct.

Din punctul A ca centru, cu o raza f, sa descriem o circumferinta C în planul perpendicular pe directia considerata (fig.1.15)

Fig.1.15. Rotorul

Componenta vectorului rotor va fi data de expresia: