1.8.3. Divergenta unui produs vectorial
Expresia divergentei unui produs vectorial este:
În forma dezvoltata formula de mai sus se prezinta astfel:
Daca tinem seama de proprietatile produsului mixt
obtinem: 343e41d
1.8.4. Divergenta unui gradient
Expresia prin care se obtine divergenta unui gradient este:
div(grad f) = Δf
Verificare:
1.8.5. Divergenta unui rotor
Divergenta unui rotor este zero
Demonstratie:
1.8.6. Divergenta unui Laplacian
Demonstratie:
Membrul al doilea din relatia de mai sus se poate scrie sub forma:
1.8.7. Rotorul unui gradient
Rotorul unui gradient este nul
rot(grad f) = 0
Demonstratie:
1.8.8. Rotorul produsului dintre o functie scalara si o functie vectoriala
Expresia rotorului produsului dintre o functie scalara si o functie vectoriala este:
Demonstratie:
1.8.9. Rotorul unui produs vectorial
Expresia rotorului unui produs vectorial este:
Demonstratie:
Proiectia primului membru pe axa Ox are expresia:
Proiectia membrului al doilea pe axa Ox are expresia:
Se observa ca cele doua proiectii sunt egale.
1.8.10. Rotorul unui rotor
Expresia rotorului unui rotor este:
Demonstratie:
Consideram
un vector .
Proiectia vectorului rot
pe axa Ox este:
Daca este
egal cu rot
,
atunci
Proiectia vectorului rot rot
pe axa Ox este:
Se scrie relatia de mai sus pentru axele Oy si Oz si rezulta expresia rotorului unui rotor.
1.9. Potential scalar
Orice vector, functie de un punct M, al carui rotor este identic nul, poate fi considerat ca gradientul unei functii scalare de punctul M.
Demonstratie:
Fie un vector astfel incat
rot
=0, adica
(***)
Consideram o functie f astfel încât
Se va demonstra ca egalitatile (***) conduc la expresiile:
Din
relatia deducem ca
unde este o functie arbitrara.
Derivam expresia integrala în raport cu y si obtinem: 343e41d
Folosim egalitatea în expresia de mai sus
si rezulta:
sau, dupa efectuarea integralei
Similar obtinem: 343e41d
Vom arata ca:
Consideram functia φ(y, z) astfel încât
unde φ(y) este o functie nedeterminata. Derivam în raport cu y si obtinem: 343e41d
Folosim o egalitate data mai sus si vom putea scrie
sau
Vom alege
Am determinat pe φ astfel încât
ceea ce atrage dupa sine faptul ca sunt adevarate relatiile:
Rezulta,
deci, ca daca rot = 0, atunci se poate gasi o functie
astfel încât
;
Reciproc, daca
;
atunci rot = 0.
Conditia
necesara si suficienta pentru ca un câmp de vectori sa fie
gradientul unui scalar f este ca rotorul vectorului sa fie nul. Daca
functia f este uniforma, se spune ca vectorul provine dintr-un
potential scalar V care, prin conventie, este egal cu - f. Egalitatea
= grad V si exprersia div(grad f) = Δf,
conduc la relatia:
div = -ΔV
Se spune ca un astfel de câmp de vectori este newtonian, lamelar sau irotational.
Aceste denumiri ne spun ca si câmpul atractiei universale este de acest tip. Câmpul electric se determina dintr-un potential scalar.
1.10. Cazul particular al unui vector care trece printr-un punct fix
Fie O punctul fix
si M punctul variabil(fig(1.11). Notam cu r distanta vectorul unitar al vectorului
.
Fig.1.11. Vector care trece print-un punct fix
Vectorul
se poate scrie astfel
=
r.
.
Sa
consideram un vector care trece prin punctul O. Daca modulul
sau nu depinde decât de distanta
Din formula gradientului avem
Dar si
si prin urmare
Rezulta
grad(f ( r)) =f'(r ).
.
Vom calcula acum divergenta vectorului .
Formula de mai sus ne arata ca daca avem o functie astfel încât
F'( r) = f ( r), atunci
.
Rezulta ca acest vector se deduce dintr-un potential scalar
Demonstratie:
Scriem si expresiile analoge
pentru si le adunam.
Vom obtine:
1.11. Potential vector
Orice vector care este functie de un punct M si a carui divergenta este identic nula, poate fi considerat ca rotorul unui vector.
Fie
vectorul . Prin ipoteza avem:
Cautam
un vector astfel încât
, adica
Într-adevar,
vom arata ca vectorul se poate obtine într-o infinitate de
moduri. Sa alegem un vector
astfel încât bz = 0. Cu aceasta
alegere egalitatile de mai sus devin:
Din cele de mai sus rezulta:
Expresia lui az de mai sus devine o ecuatie în y, din care deducem:
Derivam expresia lui ay în raport cu y si obtinem: 343e41d
Derivam expresia integrala de mai sus în raport cu z si comparam rezultatul cu ultima egalitate, si avem:
sau
ceea ce este adevarat în
virtutea ipotezei . Asadar, vectorul
este astfel încât bz
=0,
, daca si numai daca
.
Fie un alt vector astfel încât
.
Deducem ca
sau
adica
Vectorii
de tip ca solutii ale
problemei nu sunt definiti decât cu aproximatia gradientului unui
scalar oarecare, functie de punctul M.
Aceasta este evident, deoarece câmpului de
vectori i se poate adauga
un câmp de vectori oarecare, cu rotor nul. În aceasta infinitate de
vectori, încercam sa cautam un vector particular a carui
divergenta sa fie nula.
Fie acest vector. El va fi determinat prin functia scalara
al carui gradient trebuie sa se adauge vectorului
definit mai sus.
Avem:
de unde rezulta:
= div grad f = Δ f
cum ,
rezulta ca functia f este determinata de ecuatia
.
În
concluzie, daca , atunci exista un vector
astfel încât
si
.
Vectorul
se numeste potentialul vector al
vectorului
.
Vectorul
pentru care
se numeste vector solenoidal. Câmpul de vectori
se numeste laplacian sau solenoidal, deoarece câmpul magnetic al unui sistem
de curenti al caror câmp elementar este dat de legea lui Laplace este
de acest tip.
Observatie: Potentialul vector nu este definit decât cu aproximatia unui gradient.
Fie
un vector astfel încât
Aplicam relatiei de mai sus rotorul si obtinem: 343e41d
Dar rot grad
φ = 0 si rezulta ca . Daca φ este ales astfel încât div grad φ =
Δ φ =0 atunci avem
1.12. Câmpul vectorial foarte general
Un câmp vectorial oarecare poate fi considerat ca rezultând din suprapunerea a doua câmpuri, unul newtonian si altul laplacian.
Fie
un câmp de vectori . Fie un vector
astfel încât rot
= 0. Alegem
= grad f, unde f este o functie scalara pe care o
vom determina mai târziu.
Sa
consideram vectorul . Încercam sa facem aceasta diferenta
nula. Pentru aceasta trebuie ca
Daca
alegem pe f în asa fel încât si
si
. Dar
si teorema este demonstrata.
Vectorul
deriva dintr-un potential scalar, V = -f. Vectorul
deriva dintr-un potential vector si avem:
1.13. Integrale vectoriale.
1.13.1. Circulatia unui vector
Consideram un arc AB pe care se deplaseaza un punct M într-un sens precizat.(fig1.12).
Fig.1.12: Circulatia unui vector
Fie un vector, functie
de punct.
Definitie:
Se numeste circulatia vectorului de-a lungul arcului AB
valoarea integralei curbilinii
Daca
este o forta, circulatia acestei forte
de-a lungul arcului AB este lucrul mecanic al acestei forte.
Observatie: Daca vectorul deriva dintr-un potential scalar V, atunci din
formula
rezulta:
În acest caz circulatia depinde doar de punctul de plecare si cel de sosire.
1.13.2. Fluxul unui vector
Consideram o
suprafata S pe care se disting doua fete. Fie M un punct din S, un vector functie de punctul M, MN normala la suprafata
S pe care a fost ales un sens pozitiv, dσ un element de suprafata
care înconjoara punctul M. Fixam pe normala în sensul pozitiv un
vector de lungime egala cu dσ. Notam cu
acest vector.
Definitie: Se numeste fluxul vectorului prin suprafata S integrala dubla
Formule fundamentale
Consideram S o suprafata
închisa suficient de uniforma care margineste un volum D, M un
punct oarecare din D si fie vectorul definit mai
sus, orientat spre exteriorul lui D.
Alegem o functie scalara de
punct f si o functie vectoriala de punct continui si
finite împreuna cu primele lor derivate în toate punctele domeniului D, inclusiv în punctele suprafetei
S.
Exista trei formule care înlocuiesc o integrala tripla printr-o integrala dubla:
Formula gradientului
Formula divergentei sau teorema lui Ostrogradski
Formula rotorului
1.14. Semnificatia divergentei
Formula lui
Ostrogradscki ne arata ca fluxul total al unui vector printr-o
suprafata închisa care margineste un volum infinit mic
dτ are o expresie de forma
. Divergenta unui câmp de vectori într-un punct este,
asadar fluxul care iese din unitatea de volum ce înconjoara acest
punct. Divergenta poate fi considerata ca fiind data de
expresia:
Consideram
un fluid a carui viteza este (functie vectoriala de punct) în fiecare punct din
spatiu, la momentul t si densitatea fluidului ρ(functie
scalara de punct). Alegem o suprafata si un vector unitar
al normalei la suprafata
. Masa de fluid care trece prin suprafata S în unitatea
de timp este data de expresia:
Daca suprafata S este închisa si se delimiteaza un volum D, atunci expresia de mai sus reprezinta masa care iese din D în unitatea de timp.
Pe de alta parte, cresterea masei din interiorul volumului D în unitatea de timp va fi data de expresia:
Aplicam teorema lui Ostrogradski si obtinem: 343e41d
Daca se considera ca nu avem variatii ale cantitatii de fluid, nici cresteri si nici pierderi în interiorul volumului D, atunci este adevarata expresia:
Daca tinem seama de continuitatea functiilor si a derivatelor lor, atunci, din formula de mai sus, putem deduce expresia
Expresia de mai sus reprezinta ecuatia de continuitate a unui fluid.
Daca fluidul este incompresibil atunci
Daca, în
plus, exista un potential scalar V al vitezei , atunci ecuatia de continuitate devine
ΔV = 0
1.15. Formula lui Green
Consideram o suprafata închisa S care margineste un volum D. Alegem doua functii scalare de punctul M, p si q .
Putem scrie formula
Demonstratie:
Cunoastem ca este adevarata expresia:
în care înlocuim pe prin p.grad q. Expresia
div
devine:
div = div(p.grad q)=p.(div
grad q)+grad q.grad p
însa div grad q = Δq
de unde deducem expresia:
div =div(p.grad q) = p.Δ q+grad q.grad p
Înlocuim acum în formula divergentei si obtinem: 343e41d
Calculam diferenta ultimelor doua formule si obtinem: 343e41d
care reprezinta formula lui Green.
1.16. Formula lui Stokes
Consideram o suprafata S cu doua fete, marginita de o curba C pe care s-a fixat un sens de circulatie. Orientam fiecare normala astfel încât sensul de circulatie sa fie cel direct(fig.1.13).
Fig.1.13.
În fiecare punct
P al suprafetei S consideram pe normala o lungime
Daca lungimea
Din
punctul M ducem normala NP la suprafata S. Fie l lungimea MP. Avem relatia
,
în care
este vectorul unitar al normalei (fig.1.13).
Consideram
un punct învecinat lui M, caruia îi corespunde un punct
.
Putem scrie urmatoarea relatie
Înmultim
scalar relatia de mai sus cu si obtinem: 343e41d
Însa , deoarece cei doi vectori sunt perpendiculari. În plus,
deoarece un vector de lungime
de unde rezulta
Cunoastem
ca . Deci
oricare ar fi
Rezulta:
Daca aplicam rotorul celor doi membri ai relatiei de mai sus, obtinem: 343e41d
Aplicam acum teorema lui
Ostrogradscki vectorului si obtinem: 343e41d
Însa este vectorul de
lungime dσ luat pe normala, pe suprafata S el este egal cu
, unde
reprezinta
vectorul unitar al normalei la suprafata Σ.
Rezulta
Consideram acum
produsul . Vectorul
este ortogonal cu
, deci produsul sau scalar cu
este nul.
Rezulta:
Consideram
acum produsul . Acest produs este egal cu
. Însa
este vectorul unitate
al tangentei la curba C atunci când punctul P se afla pe C (fig.1.14).
Deci .
Fig.1.14
În plus,
Deoarece .
Rezulta
Daca facem ca distanta PP' = d δ sa descreasca, atunci avem dτ = dσ.dδ unde dσ este un element de suprafata a lui S.
Daca dσ este un element de suprafata a lui Σ, atunci dσ = dl .dδ, în care dl este un element de arc al curbei C.
Rezulta:
Deci,
Rezulta
ca circulatia unui vector de-a lungul unei curbe închise C este
egala cu fluxul rotorului sau printr-o suprafata
marginita de C. În cazul unui câmp laplacian sau solenoidal se stie ca
acest câmp deriva dintr-un potential vector astfel încât
.
Conform formulei
lui Stokes, fluxul vectorului prin suprafata este egal cu circulatia
lui
pe contur.
Deci, fluxul unui vector solenoidal printr-o suprafata este egal cu circulatia potentialului sau vector pe conturul acestei suprafete. Teorema lui Stokes permite sa se dea vectorului rotor o alta definitie.
Fie de calculat
componenta într-un punct A pe o directie determinata AW a vectorului
rotor al unei functii vectoriale, de punct.
Din punctul A ca centru, cu o raza f, sa descriem o circumferinta C în planul perpendicular pe directia considerata (fig.1.15)
Fig.1.15. Rotorul
Componenta vectorului rotor va fi data de expresia:
|