Divizibilitatea in domenii de integritate

Divizibilitatea in domenii de integritate.

In continuare , inelele considerate vor fi domenii de integritate daca nu se va face vreo mentiune contrara expresa.

Definitie Fie A un domeniu de integritate. Spunem ca un element a A divide elementul bA (sau ca a este divizor al lui b sau ca b este multiplu de a ) si scriem a/b daca exista c A a.i. b=ac.

Propozitia 1.1. Relatia de divizibilitate are urmatoarele proprietati:

a/b (b) (a) ; (a)- idealul general de a.

a/a "a A;

daca a/b si b/c a/c;

daca a/bi, i=1,2,3,.,n, atunci a/(c1b1+c2b2+.+cnbn),

" c1,c2,.,cn A.

a/b si b/a exista u U(A) a.i. b=ua.

Demonstratie:

Presupunem  ca a/b , deci exista c A a.i. b=ac ; Daca x (b) atunci exista u A a.i. x=ub. Cum b=ac atunci x=(uc)a si , deci x (a) , adica (b) (a).

Fie (b) (a) . Cum b (b) , atunci b (a) si deci , exista c A a.i. b=ac, adica a/b.

Relatia a/a rezulta din faptul ca a=1 a.

Daca a/b si b/c , atunci exista elementele u,v A a.i. b=ua si c=vb . Deci c=v(ua)=(uv)a, adica a/c.

Cum a/bi, oricare ar fi I=1,2,.,n , exista ui A a.i. bi=uia , I=1,2,.,n , deci c1b1+c2b2+.+cnbn=c1u1a+c2u2a+.+cnuna=(c1u1+c2u2+.+cnun)a si , deci, a/(c1b1+.+cnbn).

Presupunem ca a/b si b/a. Inseamna ca exista u,v A , a.i. b=ua si a=vb. Daca a=0 , obtinem b=0 si putem lua u=1. Daca b=0 , obtinem a=0 si , in mod similar, putem lua v=1.

Daca b 0 , a 0 , atunci din relatia de mai sus obtinem a=(uv)a si, cum a

rezulta ca uv=1, adica u U(A) .

Invers , daca b=ua , unde u U(A) , atunci a/b . Cum a=u b, atunci avem si b/a.

Prioritatile 2 si 3 arata ca relatia de divizibilitate pe A este o relatie binara reflexiva si tranzitiva. Relatia de divizibilitate nu este simetrica, asa cum se vede din contraexemplu 5/10, dar 10 nu divide 5 in inelul Z.

Relatia de divizibilitate nu este antisimetrica, asa cum se vede in exemplul 7/-7 si -7/7, dar -7 7. Proprietatea 5 ne permite sa definim alta relatie binara pe multimea A.

Definitie. Daca a,b A , spunem ca a si b sunt asociati in divizibilitate , si notam a~b daca si numai daca a/b si b/a .

Propozitia 1.2.

Relatia de asociere in divizibilitate "~" are urmatoarele proprietati:

a~b (a)=(b);

"~" este o relatie de echivalenta;

a~1 a U(A) (a)=A.

Demonstratie:

Deoarece a/b (b) (a). Deoarece si b/a (a) (b). Din ambele rezulta ca (a)=(b).

Reflexivitatea : a~a , " a A . Intradevar , a=1 a ;

Simetria: Daca a~b, atunci b~a ; Daca a~b , exista u U(A) a.i. b=ua . Dar atunci a=u b si , cum u U(A), obtinem b~a.

Tranzitivitatea: Daca a~b si b~c , atunci a~c. Intr-adevar , din a~b avem a/b si b/a.

Din b~c avem b/c si c/b. Din a/b si b/c rezulta a/c . Din b/a si c/b rezulta c/a , deci a~c.

Astfel, relatia "~" fiind reflexiva , simetrica si tranzitiva este o relatie de echivalenta pe A.

Daca a~1, atunci a/1 si deci exista b A a.i. 1=ab si , deci, a U(a) .

Invers, daca a U(A), atunci exista b A a.i. 1=ab si deci a/1. Cum evident si 1/a , atunci a~1.

Echivalenta a U(A) (a)=A este evidenta . Intr-adevar , daca a este element inversabil, atunci 1 (a) (a)=A.

C.M.M.D.C. si C.M.M.M.C.

Definitie. Fie a,b A. Un element d A se numeste cel mai mare divizor comun (cmmdc) al elementelor a si b daca are urmatoarele proprietati:

d/a si d/b , adica d este un divizor comun al elementelor a si b .

daca d'/a si d'/b , atunci d'/d (orice alt divizor comun d' al lui a si b divide si pe d).

Cmmdc al elementelor a si b se mai noteaza cu (a,b).

Definitie Fie a,b A , unde A este un inel unitar si comutativ. Un element m A se numeste cel mai mic multiplu comun (cmmmc) al elementelor a si b daca are urmatoarele proprietati:

a/m si b/m , adica m este multiplu comun al elementelor a si b;

daca a/m' si b/m' , atunci m/m' (pentru orice multiplu comun al lui a su b , m divide pe m').

Cmmmc al elementelor a si b se mai noteaza cu [a,b].

Propozitia 1.3. Fie A un domeniu de integritate si a,b A . Atunci:

Daca d este cmmdc al lui a si b , atunci un element d' A este cmmdc al lui a si b daca si numai daca este asociat cu d.

Daca m A este cmmdc al lui a si b , atunci un element m' A este cmmmc al lui a si b daca si numai daca este asociat cu m.

Demonstratie:

Deoarece d=(a,b) , iar d'=(a,b) d/d' (pentru ca d este un divizor comun al lui a si b) si d'/d (pentru ca d' este un divizor comun al lui a si b) . Deci d si d' sunt asociate cu d  in divizibilitate. Reciproc, daca d' este asociat cu d , atunci din faptul ca d/a si d/b si d/d' rezulta ca d'/a si d'/b , adica d' este divizor comun al lui a si b.

Fie c un divizor comun al lui a si b ; atunci d fiind cmmdc al lui a si b , rezulta ca c/d si , cum d/d' , rezulta ca c/d' , adica d' este cmmdc al lui a si b.

In mod analog se demonstreaza si 2.

Din aceasta propozitie rezulta ca cmmdc si cmmmc a doua elemente sunt determinate abstractie facind de o asociere in divizibilitate.

Definitiile date pentru cmmdc si cmmmc a doua elemente se generalizeaza la un numar finit de elemente. Daca cmmdc si cmmmc exista pentru doua elemente , atunci exista si pentru un numar finit de elemente.

Definitie. Fie A un inel comutativ si unitar. Doua elemente a si b din A se numesc prime intre ele (relativ prime) daca (a,b0=1.

Propozitia 1.4. Fie A un domeniu de integritate si a,b doua elemente nenule . Daca d este cmmdc al lui a si b  si a=da' , b=db', atunci a' si b' sunt prime intre ele.

Demonstratie:

Fie u A un divizor comun al lui a' si b'. Atunci a'=ua", b'=ub" , cu a",b" A si a=d(a')=d(ua")=(du)a", b=(du)b", adica du este un divizor comun al lui a si b , deci du/d, adica d=duu', cu u' A. Din d(1-uu')=0 rezulta ca uu'=1, deoarece d 0 , adica u este inversabil , deci u~1. Din faptul ca orice divizor comun al lui a' si b' este asociat cu 1, rezulta ca cmmdc al lor este asociat cu 1 si deci a' si b' sunt prime intre ele.

Propozitia 1.5. Fie A un domeniu de integritate, a si b doua elemente nenule din A si d cmmdc al lor. Daca pentru c A, c 0 exista cmmdc al elementelor ca si cb , atunci acesta este asociat cu cd (deci cd este cmmdc al lui a si b).

Demonstratie:

Fie d' cmmdc al elementelor ca si cb. Deoarece cd/ca si cd/cb cd/d' , deci d'=cdu, cu u A ,. Din ipoteza rezulta ca exista a1,b1,a',b' A , astfel incit : ca=d'a1, a=da', cb=d'b1, b=db', din care deducem relatiile: cdua1=cda', cdub1=cdb' si deoarece cd 0 , rezulta ua1=a', ub1=b'. Deci u este divizor comun al elementelor a' si b' , iar din propozitia precedenta rezulta ca u este inversabil in A. Din d'=cdu, unde u este inversabil , rezulta ca d' este asociat cu cd.

Propozitia 1.6. Fie A un domeniu de integritate. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

Pentru orice doua elemente exista un cmmdc.

Pentru orice doua elemente exista un cmmmc.

Intersectia oricaror doua ideale principale este un ideal principal . In plus, daca este verificata una din conditiile echivalente de mai sus, atunci pentru orice a si b A , avem egalitatea : (a,b)[a,b]=ab.

Demonstratie:

Sa aratam mai intii ca 2 3. Este usor de vazut ca daca m=[a,b], atunci (m) (a) si (m) (b) , adica (m) (a) (b). Daca m' (a) (b), atunci a/m' si b/m' si , deci m/m', adica m (m) si , deci, avem incluziunea (a) (b) (m) si in final (m)= (a) (b).

Invers , se arata usor ca daca (m)= (a) (b), atunci m=[a,b]

Fie a,b A. Daca a=0 sau b=0 , atunci [a,b]=0 . Deci presupunem ca a,b 0 si fie d=(a,b). Inseamna ca a=da' si b=db', unde (a',b')=1.Sa notam cu  m=ab/d = a'b=ab' si sa dovedim ca m=[a,b]. Se vede ca a/m si b/m. Fie acum m' A, a.i. a/m' si b/m'; deci exista u,v A a.i. m'=au=bv.

Deci da'u=db'v si ,cum d 0 , rezulta ca a'u=b'v. Cum (a',b')=1, rezulta ca u=(a'u,b'u)=(b'v,b'u) si deci b'/u, adica u=b'u, deci m'=au=ab'u1=mu1, adica m/m'. In plus, arezultat ca [a,b]=ab/(a,b) sau (a,b) [a,b]=ab.

Evident ca putem presupune a,b 0 si fie m=[a,b]. Atunci exista a',b' A a.i. m=aa'=bb'. Deoarece a/ab si b/ab, atunci m/ab si deci exista d A a.i. ab=md. Sa dovedim ca d=(a,b). deoarece ab=aa'd=bb'd, obtinem prin simplificare ca b=a'd si a=b'd si deci d/a si d/b. Fie d'/a si d'/b , adica a=d'a1 si b=d'b1. Punem m'=d'a, b=ab1=ba1. Deci a/m' si b/m', de unde rezulta ca m/m', adica m'=mc si , deci ,d'm'=d'mc.

Cum d'm'=d' a1b1=(d'a1)(d'b1)=ab, obtinem ca ab=d'mc si deoarece ab=md md=d'mc si prin simplificare , rezulta ca d=d'c, adica d'/d.

Elemente ireductibile si elemente prime.

Definitie. Fie a un element nenul si neinversabil dintr-un domeniu de integritate A. Se spune ca a este ireductibil daca orice divizor al lui a este asociat cu a sau este inversabil (adica asociat cu 1) si reductibil , in caz contrar.

Din aceasta definitie rezulta ca daca a este un element ireductibil din inelul integru A si b un element oarecare din A, atunci cmmdc al elementelor a si b exista si este asociat cu a sau este element inversabil.

Intr-un domeniu de integritate A orice element asociat cu un element ireductibil este ireductibil.

Intr-adevar, fie a A un element ireductibil si b A un element asociat cu a. atunci b=au, cu u A , element inversabil. Fie c A un divizor al lui b. Atunci, b fiind asociat cu a , rezulta ca c este un divizor al lui a, deci c este inversabil sau c este asociat cu a , deci si cu b.

Propozitia 1.7. Fie A un domeniu de integritate si a A un element nenul si neinversabil in A. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a este ireductibil in A;

Daca a=bc, atunci a este asociat cu cel putin unul din elementele b,c;

Daca a=bc, atunci a este asociat cu cel putin unul din elementele b sau c , iar celalalt este inversabil.

Demonstratie:

Fie a A un element ireductibil . Atunci, din a=bc rezulta ca b este inversabil sau asociat cu a si , la fel, c este inversabil sau asociat cu a. Cum nu pot fi ambele inversabile , rezulta ca unul este asociat cu a. Deci a este inversabil.

Fie a=bc. Din 2 rezulta ca unul din elementele b,c este asociat cu a. Sa presupunem ca b este asociat cu a; atunci b=au, cu u element inversabil in A. Din a=auc si din faptul ca a 0 rezulta uc=1 , deci c este element inversabil in A.

Din 3 rezulta ca orice divizor al lui a este sau asociat cu a sau inversabil. Deci a este element ireductibil. Avind in vedere proprietatiel 2 si 3 , elementele ireductibile se mai numesc si elemente nedecompozabile.

Definitie. Fie A un domeniu de integritate. Un element p din A , nenul si neinversabil , se numeste element prim daca din faptul ca p/ab, cu a,b A, rezulta p/a sau p/b.

Intr-un domeniu de integritate A , orice element asociat cu un element prim este prim.

Intr-adevar, fie p un element prim din A si p' un element asociat cu p. Daca p'/ab rezulta p/ab si atunci p/a sau p/b; rezulta ca p'/a sau p'/b . Deci p' este element prim.

Propozitia 1.8. Intr-un domeniu de integritate A avem:

Orice element prim este ireductibil.

Daca inelul A are proprietatea ca pentru orice doua elemente exista un cmmdc, atunci orice element ireductibil este prim.

Demonstratie:

Fie p=ab, unde p este un element prim. Atunci p/ab, deci p/a sau p/b. Daca p/a, atunci a=pa' si prin urmare, p=pa'b, de unde rezulta ca a'b=1, adica b este inversabil. Analog, se arata ca daca p/b rezulta ca a este inversabil.

Deci p este ireductibil.

Presupunem ca q este ireductibil si ca q/ab. Fie d=(q,a). Cum d/q, rezulta ca d este inversabil sau d este asociat in divizibilitate cu q. In cazul ca d este inversabil, atunci 1=(q,a) si deci , b=(qb,ab) si, cum q/ab, rezulta q/b. daca q este asociat in divizibilitate cu d , atunci q/d si cum d/a , rezulta ca q/a. In concluzie, q este element prim in A.

Exemple:

Fie Z inelul intregilor. Numerele 2,3,5,7 etc sunt numere prime , deci ireductibile. Intr-adevar, sa demonstram ca 2 este prim. Fie 2/ab , a,b Z. Atunci, cel putin unul dintre numerele a si b se divide cu 2, deoarece, in caz contrar, am avea: a=2a'+1, b=2b'+1 si ab=4a'b'+2(a'+b')+1, care nu se divide cu 2. Analog, se arata ca numerele 3,5,7 etc sunt numere prime, deci ireductibile. Numerele -2,-3,-5,-7, sunt prime deoarece sunt asociate cu 2,3,5,7, deci sunt si ireductibile.

Fie K un corp comutativ . Atunci in inelul K[x] orice polinom de gradul intii este ireductibil. Intr-adevar, daca f K[x] este piolinom de gradul I , atunci din f=gh grad(f)=grad(g)+grad(h), rezulta sau grad(g)=1 si grad(h)=0 sau invers, afirmatia rezulta din faprul ca in K[x] un polinom de gradul zero este inversabil. Elementul x K[x] este prim in K[x] deoarece x/fg, atunci cel putin unul din polinoamele f si g se divide cu x. Daca K este corpul R al numerelor reale, polinoamele ireductibile din R[x] sunt doar cele de gradul intii si cele de gradul doi cu discriminantul negativ.

Polinoamele ireductibile in C[x], C-corpul numerelor complexe, sunt doar

polinoamele de gradul intii.

Fie inelul Z[i] al intregilor lui Gauss. Am vazut ca elementele sale inversabile sunt -1,1,-i,i. Fie 1+i Z[i], acesta este neinversabil. Sa aratam ca 1+i este ireductibil. Sa presupunem ca 1+i=uv. Atunci |1+i | = |u | |v |; deci |u | |v |=2, de unde  rezulta ca |u | =2 si |v |=1 sau invers. Deci, sau u este asociat cu 1+i si v inversabil, sau invers. Prin urmare, 1+i este element ireductibil in Z[i].

In schimb, 2 Z[i] este reductibil. Intr-adevar, el se descompune intr-un produs de forma  2=(1+i)(1-i) , unde 1+i si 1-i sunt elemente neinversabile.

Numarul 3 este ireductibil in Z[i]. Intr-adevar daca ar fi reductibil , atunci ar exista o descompunere a sa de forma 3=uv, in care u,v sunt neinversabile.

Atunci |3 |=|u | |v |=9, de unde rezulta ca |u |=3 si |v |=3, deoarece am presupus u,v neinversabile. Fie u=a+bi. Atunci |u |=a + b =3. Deci |a |,|b | 1, insa asemenea numere intregi care sa verifice egalitatera nu exista.

Prin urmare, un astfel de u nu exista si, deci 3 este ireductibil in Z[i].

Fie inelul  Z[i], unde Z[i]=. Fie u=a+bi, u este inversabil daca in mod necesar a + 5b =1, de unde rezulta ca u=+-1. Asadar, pentru acest inel, elementele inversabile sunt 1 si -1. Fie elementul 3 Z[i]. Elementul 3 este ireductibil, caci daca 3=uv, cu u,v neinversabile , rezulta ca |3 | =|u | |v | sau 9=|u | |v | , adica |u | =|v | =3. Daca u=a+bi, atunci 3=a + 5b , ceea ce nu este posibil. Insa 3 nu este prim in acest inel, caci 3/(4+i)(4-i)=21, iar 3 nu divide nici unul din factori.

Daca 3 ar divide, de exemplu, pe 4+i, rezulta ca |3 | =9 ar divide

| 4+i |=21, ceea ce nu este adevarat. Acest exemplu arata ca reciproca punctului 1 al teoremei nu este intotdeauna adevarata, adica exista elemente care nu sunt prime. In domenii de integritate notiunile de element prim si element ireductibil sunt in general distincte.