ECUATIA DE GRADUL I CU O NECUNOSCUTA

Definitie: O ecuatie este o propozitie cu o variabila in care apare o singura data semnul egal.

Ecuatia cu o necunoscuta are forma generala S(x) =D(x), xM, unde M este multimea de valori necunoscuta x si care se mai numeste domeniu de definitie al ecuatiei.

In cazul in care multimea M nu este precizata, este considerata multimea numerelor reale.

Necunoscuta x poate fi inlocuita (substituita), in enuntul ecuatiei, cu orice element din multimea M; ca rezultat enuntul poate exprima, sau nu, un adevar. Acele elemente ale lui M care, introduse in enunt, in locul necunoscutei, fac ca enuntul sa exprime un adevar , se numesc solutii ale ecuatiei.

Rezolvarea unei ecuatii inseamna determinarea tuturor solutiilor sale.

O ecuatie are ,, mai mult de doua solutii" in R daca dupa efectuarea calculelor se obtine 0 = 0. O astfel de ecuatie se numeste si identitate, iar multimea solutiilor este

R(S = R) .

O ecuatie nu are nici o solutie in R daca dupa efectuarea calculelor se obtine 0 = a (a 0). O astfel de ecuatie are multimea solutiilor vida (S = Ø).

Doua ecuatii sunt echivalente daca au aceeasi multime de solutii.

Definitie: Doua ecuatii sunt echivalente daca au aceeasi multime de solutii.

Proprietatea 1. Adunand la (sau scazand din) ambii membri ai unei ecuatii acelasi numar real, obtinem o alta ecuatie, echivalenta cu prima.

Conform acestei proprietati, putem trece termenii dintr-un membru in altul schimband semnul.

Proprietatea 2. Inmultind (sau impartind) ambii membri ai unei ecuatii cu acelasi numar real, diferit de zero, obtinem o alta ecuatie echivalenta cu prima .

O ecuatie de forma

ax + b = 0, xR (a,b R, a 0) este numita ecuatie de gradul I cu o necunoscuta. Aceasta ecuatie are solutia unica .

Exemplu1: 

Exemplu 2:

Exemplu 3:

Exemplu 4:

Exemplu 5:

Exemplu 6:

Exemplu 7:

Determinati numarul real m stiind ca ecuatia m(x-2)+6=-3(x+m-1) admite solutia 1.

Rezolvare:

Exemplul 8

Definitie:

O propozitie cu o variabila care contine in scrierea sa semnul < , ≤ sau > , ≥ este o inecuatie. Litera care apare ca variabila se numeste necunoscuta.

Dand literei diferite valori se obtin propozitii false sau adevarate. Numerele pentru care propozitia este adevarata se numesc solutii ale inecuatiei.

A rezolva o inecuatie inseamna a afla toate solutiile sale .

Doua inecuatii sunt echivalente daca au aceeasi multime de solutii.

Observatii:

In rezolvarea inecuatiilor se folosesc urmatoarele proprietati ale inegalitatilor(intre numere).

1) Daca a < b, atunci a + c < b + c si a - c < b - c.

2) Daca a < b si c > 0 , atunci a·c < b·c si a : c < b:c.

3) Daca a < b si c < 0 , atunci a·c > b·c si a : c > b:c.

4) Daca b < a se poate scrie si a > b.

Aceleasi proprietati sunt valabile si daca < cu semnul ≤, iar semnul > cu ≥.

Exemplu 1:

Exemplu 2:

Exemplu 3:

Exemplu 4:

Exemplu 5:

Exemplu 6:

Exemplu 7:

Exemplu 8:

Propozitiile cu doua variabile de tipul ax +by +c = 0, unde a,bsi cse numesc ecuatii cu doua necunoscute (variabile).

x si y sunt necunoscutele (sau variabilele) ecuatiei;

a si b coeficientii necunoscutelor;

c este termenul liber.

Perechile ordonate de numere reale ( x, y) pentru care propozitia ax +by = c este adevarata formeaza multimea solutiilor (radacinilor) ecuatiei in RR.

In functie de multimea in care x si y iau valori , o ecuatie de forma ax +by =c poate avea o infinitate de solutii , un numar finit, care se afla dand lui x (sau y) o valoare si aflandu-l pe y (sau x), rezolvand ecuatia cu o necunoscuta obtinuta , sau poate sa nu aiba solutii.

A rezolva o ecuatie cu doua necunoscute inseamna a-i gasii multimea solutiilor dintr-un domeniu de variatie .

Fie (x,y)o solutie a ecuatiei; inseamna ca, inlocuind necunoscuta x cu numarul x, iar necunoscuta y cu numarul y in ecuatie , obtinem propozitia adevarata

ax + by +c =0. Din aceasta egalitate putem obtine (tinand seama ca b 0) . Perechile de forma , unde x este un numar oarecare , sunt solutiile ecuatiei. Punctele din plan avand aceste coordonate formeaza o dreapta ; aceasta dreapta va fi numita dreapta solutiilor ecuatiei ax + by +c =0. Pentru a desena o dreapta este suficient sa cunoastem doua puncte ale ei. Mai precis punctul si punctul . Sa consideram ecuatia ax+ c =0, unde a0. Ea este o ecuatie de gradul I cu o necunoscuta x. Solutia ecuatiei este numarul . Sa scriem ecuatia in forma ax +0y +c=0. Asfel, ea devine asemanatoare cu ecuatia de gradul I cu doua necunoscute. Care perechi de numere reale (x,y) ar putea fi solutia ? Este evident ca y poate fi orice numar , iar x=. Dreapta solutiilor este deci paralela cu axa ordonatelor. Si solutia by+c =0, unde b0, scrisa in forma 0x +by +c = 0 devine asemanatoare cu o ecuatie de gradul I cu doua necunoscute. Solutiile ei sunt in acest caz perechile de numere (x,y), in care x poate fi un orice numar, iar y=.

Exemplu 1:

Reprezentati grafic multimea solutiilor ecuatiei

Exemplu 2:

Determinati numarul real a stiind ca ecuatia admite solutia (1,-1).

Exemplul 3: Verificati care din perechile (-2, 3) si (1,2) sunt solutii ale ecuatiei

2x -3y + 4 =0.

nu este solutie a ecuatiei date.

(A)

(1,2) este solutie a ecuatiei.

Exemplul 4: Sa se rezolve prin metoda grafica fiecare ecuatie si sa se reprezinte in acelasi sistem de coordonte dreptele solutiilor ecuatiilor:

2x+ y+2 = 0 si 3x +2y +1 = 0.

2x+ y+2 = 0

Daca x=1

A(1,-4)

Daca x= -2

B

3x +2y +1 = 0

Daca x = 3

C

Daca x = -1

D(-1,1)

Coordonatele punctul P de intersectie al celor doua drepte verifica fiecare ecuatie.Aceasta metoda de rezolvare se poate aplica la rezolvarea sistemelor de ecuatie (Metoda grafica)

Notiunea de sistem de ecuatii

In general, un sistem de doua ecuatii de gradul I cu doua necunoscute (x si y) are forma .

Se spune ca a, b, a', b' sunt coeficientii sistemului, iar numerele c si c' sunt termenii liberi. Spunem ca perechea de numere reale (x, y) este solutie a sistemului de mai sus daca amandoua propozitiile si sunt adevarate. A rezolva un sistem de ecuatii inseamna a- i gasi toate solutiile . Solutiile primei ecuatii ax + by + c = 0 poate fi identificate cu punctele unei drepte (d) din plan. Solutiile celei de a doua ecuatii a'x + b'y +c' = 0 pot fi identificate cu punctele dreptei (d') din plan. Daca dreptele (d) si (d') se intersecteaza , atunci coordonatele (x, y) ale punctului lor de intersectie vor constitui solutia sistemului de ecuatii.

Observatii: Daca dreptele sunt paralele atunci sistemul nu are solutie, iar daca dreptele se suprapun (coincid) atunci sistemul are o infinitate de solutii.

Sa consideram sistemul:

Daca , atunci sistemul este compatibil determinat . Sistemul are solutie unica.

Daca , atunci sistemul nu are solutii reale si scriem S = Ø. Spunem in acest caz ca sistemul este incompatibil.

Daca , atunci sistemul are o infinitete de solutii. In acest caz sistemul este compatibil determinat.

Metoda Substitutiei

Metoda substitutiei in rezolvarea unui sistem de doua ecuatii cu doua necunoscute consta in exprimarea unei necunoscute dintr-una din ecuatii in functie de cealalta necunoscuta si inlocuirea ei in cealalta ecuatie , obtinand astfel o ecuatie pe care o rezolvam.

Metoda substitutiei consta in respectarea urmatoarelor etape:

Se stabileste sistemul la forma:

.

Se stabileste care necunoscuta o exprimam in functie de cealalta necunoscuta (de obicei cea care are coeficientul cel mai mic in valoare absoluta) si din care ecuatie.

Se exprima necunoscuta stabilita in functie de cealalta necunoscuta.

Se inlocuieste expresia acestei necunoscute in cea de-a doua ecuatie si se rezolva aceasta .

Se afla si valoarea celeilalte necunoscute.

Metoda reducerii.

Daca intr-un sistem se aplica proprietatile egalitatilor pentru una sau ambele ecuatii obtinem un sistem echivalent cu cel dat.

Daca inlocuim una dintre ecuatiile sistemului cu o ecuatie obtinuta prin adunare parte cu parte a celor doua ecuatii, obtinem un sistem echivalent cu cel dat.

Sa se rezolve prin metoda substitutiei sistemul:

Sa se rezolve prin metoda reducerii sistemul:

Sa se rezolve sistemul de ecuatii prin metoda combinata:

Sa se rezolve sistemul de ecuatii prin metoda combinata:

Sa se rezolve sistemul de ecuatii prin metoda combinata:

Sa se rezolve sistemul de ecuatii prin metoda combinata: