ELEMENTE DE ALGEBRA SUPERIOARA CU APLICATII IN ECONOMIE

ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAŢII ĪN ECONOMIE

1. SPAŢII VECTORIALE

Definitie, exemple

Definitie. Fie C o multime nevida si K un corp si fie:

- o lege de compozitie interna (notata aditiv)

- o lege de compozitie externa (notata multiplicativ)

Spunem ca tripletul (C ) este spatiu liniar (sau spatiu vectorial peste corpul K) notat daca:

formeaza structura de grup abelian:

satisface axiomele:

(elementul unitate din corpul K) astfel īncāt

Observatie: a)daca K este identic cu R (multimea numerelor reale) sau C (multimea numerelor complexe), atunci spatiul vectorial peste K este real, respectiv complex;

b)elementele lui C se numesc vectori iar elementele lui K se numesc scalari.

Exemplu

Multimea  cu operatiile: defineste spatiul vectorial al matricilor de dimensiune mxn peste corpul K, notat (M(m,n;K), +, ^.)

Caz particular m=1 sau n=1 este al matricilor cu o linie sau o coloana.

Pentru m=1 cu operatiile

Vectorii se numesc vectori linie, iar spatiul vectorial peste corpul K, notat (Kⁿ ,^.) se numeste spatiu aritmetic (pentru K=R spatiul aritmetic real si pentru K=C spatiul aritmetic complex).

Pentru n=1 se obtine analog, spatiul vectorilor coloana.

Dependenta si liniar independenta sistemelor de vectori. Baza si dimensiunea spatiului

Definite a) Fiind dati vectorii si scalarii k₁, ,k_n, vectorul x=k₁ x₁+ k₂ x₂+ +k_n x_n se numeste o combinatie liniara a vectorilor x_i, i=

Se pune problema obtinerii tuturor vectorilor spatiului ca si combinatii liniare, dar folosind un numar cāt mai mic de vectori generatori. Aceasta problema conduce la necesitatea introducerii notiunii de baza.

Definitie Vectorii x₁, x₂, ,x_n se numesc liniar independenti daca pentru orice k_i K,

Exemplu Īn vectorii sunt liniar independenti, unde

Definitie. Vectorii x₁, x₂, ,x_n se numesc liniar dependenti daca nu sunt liniar independenti, adica exista k_i K, nu toti nuli, astfel īncāt

Definitie Sistemul de vectori se numeste sistem de generatori pentru C daca orice vector din C este o combinatie liniara finita de vectori din G, i.e.

Definitie Un sistem de vectori formeaza o baza pentru C daca:
-B este sistem de vectori liniar independenti
-B este sistem de generatori pentru C

Exemplu Īn , multimea , unde formeaza baza, numita baza canonica.

Definitie Spatiul vectorial C se numeste finit dimensional daca are o baza finita.

Īn cele ce urmeaza consideram doar spatii liniare de dimensiune finita.

Propozitie Īntr-un spatiu vectorial, orice vector se scrie īn mod unic ca o combinatie liniara de vectori ai bazei.

Demonstratie: fie C spatiu vectorial cu baza, x C. Cum E este baza, rezulta ca E este sistem de generatori si putem scrie:

Definitie a₁, ,a_n se numesc coordonatele vectorului x īn baza E si vom nota

Exemplu Īn , vectorul este scris cu coordonatele īn baza canonica E

Propozitie spatiu vectorial cu baza si vectorii de coordonate . Consideram matricea atasata sistemului de vectori dat.

Īn aceste conditii, sistemul de vectori este liniar independent daca si numai daca rang A=m.

Propozitie C spatiu liniar finit dimensional ") 2 baze au acelasi numar de vectori.

Definitie Se numeste dimensiune a unui spatiu vectorial finit dimensional C, numarul de vectori al unei baze.

Propozitie Īntr-un spatiu vectorial de dimensiune n, orice sistem de n vectori liniar independent formeaza o baza.

Propozitie Īntr-un spatiu vectorial orice sistem de vectori liniar independent poate fi completat pāna la o baza a spatiului.

Exemplu Fie vectorul scris īn baza canonica a lui R³. Sa se scrie acest vector īn baza

Solutie:

i.e. sistemul liniar , unde cu M(E,F) s-a notat matricea de trecere de la baza canonica E la o alta baza F , formata prin completarea ei pe coloane cu vectorii bazei F.

Modificarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei; Metode iterative de calcul.

Īn spatiul C consideram bazele si coordonatelecunoscute.

Se cauta a se determina

Definitie Se numeste matricea de trecere de la baza E la baza F, matricea

(are drept coloane coordonatele vectorilor f exprimate in baza E.

Notam coordonatele vectorului x īn baza F.

. Cum scrierea īntr-o baza este unica, rezulta . Īn consecinta

sau scris matricial:

Īn presupunem , E baza canonica si alte doua baze din Rⁿ.

si unde

obtinem:

Consideram util īn astfel de calcule matriciale, cunoasterea unor procedee iterative de calcul, pe care le inseram mai jos.

Metode numerice de rezolvarea sistemelor liniare

Metoda eliminarii complete ( Gauss Jordan) permite rezolvarea unui sistem de,,n" ecuatii cu,,n"necunoscute compatibil,determinarea rangului si a matricei inverse.

Sistemul este adus prin transformari elementare la forma echivalenta:

Se aplica sistemului o transformare elementara T , astfel incāt īn etapa i, matricea atasata sistemului sa aiba coloana i egala cu cea corespunzatoare din matricea unitate I.

a se numeste pivotul transformarii. Ecuatia i se īmparte la pivot, iar celelalte(n-1) se īnlocuiesc cu ecuatia echivalenta, rolul transformarii fiind de a anula coeficientii lui x_i īn aceste ecuatii, ceea ce implica urmatoarele etape la o iteratie :

-linia pivotului se īmparte la pivot;

-coloana pivotului se completeaza cu 0;

-primele (i-1)coloane ramān neschimbate;

-elementele celorlalte coloane se calculeaza cu regula pivotului.

Schematic, regula pivotului sau a dreptunghiului este:

p...a

b x ;x devine x'=(px-ab)/p =x

Pentru linia pivotului se fac urmatoarele operatii:

_{k= k;}

_; sugerate de schemele:

linia(i)

linia (l)

Procedeul descris are urmatoarele etape:

Fie:AM (n, R), det.A0 si sistemul Ax=b , x,bRⁿ.

Pas 1 B₀ = (A⁽⁰⁾/ I⁽⁰⁾ /b⁽⁰⁾) cu A^(o)=A , I⁽⁰⁾=I ,b⁽⁰⁾=b, i=0

Pas 2 Se calculeaza: B_i+1=( A⁽ⁱ⁺¹⁾/ I⁽ⁱ⁺¹⁾/b⁽ⁱ⁺¹⁾ ) din B_i , astfel:

Elementul din pozitia (i,i) diferit de 0 se numeste pivotul transformarii.

Matricea A_i+1=T(A_i) , T-transformarea elementara de pivot p=

Pas 3 i devine i+1 si se trece la pas 2.

Procedeul se incheie pentru i=n. Se obtine B_n A⁽ⁿ⁾ = I / I⁽ⁿ⁾ / b⁽ⁿ⁾ )

B_n=( T₁T₂...T_n)B₀=(MA/MI/Mb) ; dar MA=I deci si deci B_n=(I/A^-1/A^-1b=x ) ceea ce īnseamna ca īn acest tablou se regasesc atāt inversa matricii A, cāt si solutia sistemului.

Izomorfism de spatii liniare

Definitie Fie spatii liniare (vectoriale) peste un corp K.

Se numeste izomorfism de spatii liniare, o functie f: cu proprietatile :

a)      f este bijectiva;

b)      f este liniara:

i.e. f aditiva

i.e. f omogena

Definitie Doua spatii liniare peste corpul K , se numesc izomorfe daca exista un izomorfism de spatii liniare (Notatie XY)

Teorema de izomorfism a spatiilor liniare finit dimensionale

Orice doua spatii liniare peste acelasi corp K,care au aceeasi dimensiune ,sunt izomorfe.

Observatie Relatia de izomorfism ( ) pe multimea spatiilor liniare este o relatie de echivalenta. 

Consecinte . Īn particular , daca dim si orice enunt adevarat pentru Rⁿ este adevarat si pentru X

Subspatii liniare

Definitie Fie spatiu liniar. O submultime Y X se numeste subspatiu liniar al lui X daca este spatiu liniar fata de operatiile din X.

Observatie Y X subspatiu liniar Y este parte stabila fata de cele doua operatii din X.

Propozitie Y X ,subspatiu al lui X , finit dimensional. Au loc proprietatile :

i) dim Ydim X

ii) dim Y=dimX X=Y

Operatii cu subspatii

Propozitie Daca Y_i ,i I sunt subspatii ale lui X atunci este un subspatiu al lui X.

O reuniune de subspatii liniare nu este, īn general, subspatiu liniar.

Definitie Fie. Se numeste subspatiu generat de multimea de vectori A (acoperirea liniara a lui A), multimea tuturor combinatiilor liniare cu vectori din A. Notam L(A) sau Sp(A)

L(A)=Sp(A)=

Definitie Fie x₁,.,X_n subspatii linire ale lui X. Se numeste suma acestor subspatii multimea

Propozitie Multimea X₁+.+X_n este subspatiu liniar al lui X.

Teorema dimensiunii Daca X₁,X₂ subspatii liniare ale lui X (sp.fin.dim.), atunci

dim(X₁+X₂) = dimX₁+dimX₂-dim(X₁ X₂)

Definitie Daca X_i,atunci suma acestor subspatii se numeste suma directa.

Exemplu: R₄[x] sp.polinoamelor de grad cel mult 4 cu coeficienti īn R