Presupunem cunoscute notiunile de "functii primitive" si integrala nedefinita, "functii integrabile" si integrala definita în sens Riemann, împreuna cu metodele de integrare pentru diferite clase de functii integrabile, conform programei analitice a disciplinei de analiza matematica din clasa a XIIa.
Asa cum s-a vazut, notiunea de integrala definita a fost introdusa în conditiile în care limitele de integrare si functia de integrat sunt marginite. Deci nu se punea problema daca integrala are sens (este convergenta) sau nu are sens (divergenta) ci urmaream doar calculul ei folosind formula Leibniz-Newton:
(3.1.1)
Vom arata însa, ca exista si integrale care nu se încadreaza în conditiile de mai sus, ceea ce presupune (înaintea calculului, daca este cazul) o etapa premergatoare si anume stabilirea naturii integralei.
Acestea pot fi sub una din formele:
(3.1.2)
Deoarece ultimele doua tipuri se pot reduce la primul tip, vom considera deci numai integralele cu limita inferioara finita si cea superioara infinita.
Definitie. Fie f:[a,b] R, integrabila pe [a,b], (") b>0. Daca 
exista (si
este finita) vom spune ca 
are sens sau ca
este convergenta si notam :
(3.1.3)
Analog se defineste convergenta si pentru integrala: 
.
O integrala care nu este convergenta spunem ca este divergenta sau fara sens (nu are sens calculul ei).
1)
(convergenta)
2)
(divergenta)
3) 
(convergenta)
4) Sa se discute
în functie de k, natura integralei 
Rezulta deci: pentru k>1, I este convergenta
pentru k 1, I este divergenta
Analogia cu seriile numerice
Notam cu b=a+n, n N.
Atunci :
,
sau 
(3.1.4)
unde am notat
: 
(3.1.5)
Integrala I este convergenta daca si numai daca seria numerica din 3.1.4 este convergenta. Conform criteriului general de convergenta al lui Cauchy pentru serii, seria Suk este convergenta daca si numai daca pentru orice e>0, exista un rang N(e), de la care începând (")n>N(e) sa avem :
(3.1.6)
În cazul nostru,
(3.1.7)
si astfel putem enunta urmatorul :
Criteriu de convergenta
Conditia necesara si suficienta ca integrala I sa fie convergenta este ca : (" e>0, ( )N(e)>0, astfel încât :
(3.1.8)
Având în vedere analogia integralei I cu seriile cu termeni pozitivi, se poate enunta urmatorul criteriu de convergenta foarte util în aplicatii :
Criteriul comparatiei. Acest criteriu se aplica atunci când functia f(x) pastreaza semn constant pe intervalul [a, ), asa încât seria din (3.1.4) atasata integralei, sa fie cu termeni pozitivi.
Fie deci f:[a, ), f(x) "x a si sa presupunem ca în aceste conditii exista o functie g(x):[a, ) astfel încât 0 f(x) g(x), (")x a. Atunci :
a) 
convergenta 
convergenta
b) divergenta divergenta
Demonstratia se bazeaza pe criteriul comparatiei de la seriile numerice cu termeni pozitivi. Astfel, putem scrie :
si 
Conditia f g ne conduce la uk vk si deci, conform criteriului de la serii, daca Svk convergenta atunci Suk convergenta, iar daca Suk divergenta atunci Svk divergenta.
Aplicarea acestui criteriu presupune cunoasterea naturii uneia din integralele de comparatie. De obicei, ca integrala de comparatie se ia :
, k>0, 
(3.1.9)
tratata în exemplele precedente.
O conditie necesara de
convergenta (ca si la seriile numerice), pentru integrala
improprie I este ca 
.
Criteriul integral de convergenta al lui Cauchy. Daca f:[a, ) este continua, pozitiva si monoton descrescatoare catre zero, atunci :
si 
au aceeasi
natura.
Demonstratia se bazeaza pe criteriul comparatiei la seriile cu termeni pozitivi.
Pentru a+k-1<a+k, functia fiind descrescatoare, avem :
f(a+k) f(x) f(a+k-1), deci 
pentru care
aplicam criteriul comparatiei si criteriul este demonstrat.
Functia f(x) este numita functie
generatoare.
Integrala 
si seria
atasata 
sunt ambele
convergente, conform criteriului de comparatie :
; 
,
iar 
(k=2>1) este
convergenta, respectiv 
(serie Riemann) este
de asemenea convergenta, deci integrala si seria atasata ei
sunt convergente.
Integrale absolut convergente. Presupunem data f:[a, ) care nu pastreaza semn constant pe [a, ). Prin definitie:
F Criteriul
practic de convergenta
daca
este convergenta,
atunci 
este absolut convergenta ;
daca I1 este divergenta si I este convergenta, spunem ca I este semiconvergenta (simplu convergenta) ;
Daca I este absolut convergenta, mai spunem ca f(x) este absolut integrabila.
Retinem ca o integrala absolut convergenta este convergenta.
Într-adevar, I1 fiind convergenta, atunci: "ε>0, ( )N>0 astfel ca:
Dar: 
, deci I este convergenta.
Sa se stabileasca natura integralelor:
Solutie. Avem evident, inegalitatile:
si 
Pentru k>1 stim ca:
este convergenta.
Aplicând criteriul comparatiei, integralele modulelor functiilor generatoare de mai sus sunt convergente, deci I1 si I2 absolut convergente.
Criteriu practic de convergenta
Presupunem ca se cere natura integralei improprii :
Se cauta un exponent p astfel ca : 
Daca : 
Demonstratie. Fie 
. Atunci, exista λ>0 astfel ca 
sau 
. În baza criteriului de comparatie, deoarece 
este convergenta
(p>1) atunci si I este convergenta.
De asemenea, daca p 1 si 
, exista μ>0 astfel ca 
sau 
. Tot prin comparatie, rezulta ca I este divergenta
în acest caz.
1) Integrala 
este convergenta
deoarece:
pentru p=2>1.
2) Integrala 
este divergenta
deoarece: 
pentru p=1.
3) Integrala 
este divergenta,
deoarece:
pentru p=1.
4) Integrala 
este convergenta,
deoarece
pentru p=2>1.
Criteriul de mai sus este într-adevar "practic" pentru ca stabileste natura integralei fara a implica calculul ei.
Sa consideram integrala:
cu a>b finite
si presupunem ca exista cel putin un punct c [a,b] astfel încât:
(fara sens)
Proprietatea de aditivitate a intervalului de integrare, ne da posibilitatea descompunerii integralei I, când a<c<b:
,
dar c trebuie izolat, deci:
si prin definitie, I este convergenta
daca limita exista si este finita. Generalizând, pentru n
puncte c (a,b) în care functia devine
nemarginita, avem:
luându-se intervale simetrice, de raza ε, pentru izolarea punctelor ck, pentru a simplifica scrierea si rationamentul.
Din cele de mai sus, rezulta ca se impune analiza cazurilor când functia devine nemarginita fie în limita inferioara de integrare, fie în limita superioara.
Astfel, daca 
atunci:
si spunem, ca I este convergenta (are sens)
daca limita exista si este finita. În caz contrar, I este
divergenta. De asemenea,
este convergenta daca limita din membrul drept
exista si este finita.
Teorema. Daca 
si daca f(x)
este continua pe [a,c) (c,b] iar primitiva ei, F(x) este
continua pe [a,b] (inclusiv în c), atunci I are sens (convergenta).
Demonstratie
(functia f fiind continua în c), deci I are sens, fiind calculata conform formulei Leibniz-Newton.
Nota. si integralele improprii din functii nemarginite (ca si celelalte de la punctul 3.1.1) se pot transforma în serii numerice si se pot stabili criterii de convergenta corespunzatoare.
Daca 
si 0 g(x) f(x), (") x (a,b], atunci :
daca 
este convergenta,
rezulta ca si 
este convergenta.
Daca 
si g(x) f(x) ") x (a,b], atunci :
daca 
este divergenta,
rezulta ca si 
este divergenta.
, unde 
.
si observam
ca daca k<1 integrala este convergenta iar daca k 1, integrala este divergenta.
Criteriu practic de convergenta
1) Daca 
, atunci se cauta un exponent p astfel încât :
2) Daca 
, atunci se cauta un exponent p
astfel încât :
. Daca 
1) 
este convergenta,
deoarece:
pentru 
2) 
este convergenta,
deoarece:
pentru
Într-adevar,
calculul integralei are sens: 
3) 
. Avem x2+x-2=(x-1)(x+2), deci functia este
nemarginita pentru x=1.
pentru p=1 ; I3 este divergenta si nu
are sens calculul ei. Într-adevar,
, deci :
4) 
, deci f devine improprie si în a=1 si în b=2
pentru
I4 convergenta
pentru I4 convergenta
Integrala are sens în ambele limite de integrare, deci se poate calcula:
1. Functia Gamma este functia sau integrala euleriana de speta a doua si se defineste prin :
(3.1.10)
fiind improprie pentru ambele limite de integrare. Vom scrie:
si fiecare integrala trebuie sa aiba sens, pentru ca G(x) sa fie definita.
Avem: 
; deoarece e-t<1 pentru t>0.
Daca x>0, atunci
, deci prima integrala are sens. Din dezvoltarea lui et
în serie, pentru t>0 putem scrie:
adica
, deci: tx-1e-t<m!tx-m-1
Pentru un N>1, avem:
Luând m>x
(x-m<0), vom avea: 
, deci si integrala a doua are sens pentru x>0,
adica Γ(x) este definita pentru x>0.
Proprietati.
1) Γ(x+1)=xΓ(x)
relatie care se arata
usor integrând prin parti functia 
. Astfel, punând tx=u, e-tdt=dv se
obtine relatia ceruta.
2) Pentru x=1, 
Pentru 
, 
3) Dând valori naturale lui x, din prima proprietate, tinând seama ca Γ(1)=1, obtinem:
Γ(n)=(n-1) Γ(n-1)
Γ(n+1)=n Γ(n)
Înmultindu-le membru cu membru si simplificând, obtinem o relatie extrem de importanta în calculele numerice (factorialul):
Γ(n+1)=n!=1 2...n
Prin definitie 0!=1, 1!=1.
Cu ajutorul functiei Γ se pot calcula unele integrale improprii utile în practica, ca de exemplu:
2. Functia Beta este functia sau integrala euleriana de prima speta:
Ne propunem sa aflam valorile lui p si q pentru care Β(p,q) are sens.
Astfel, aplicând criteriul practic de convergenta pentru
limita inferioara, avem: 
pentru k=1-p.
Daca k=1-p<1, adica p>0, integrala este convergenta.
Pentru limita superioara, vom avea:
; daca k=1-q<1, adica q>0, integrala este
convergenta. Deci Β(p,q) are sens pentru p,q>0.
Între functiile lui Euler are loc relatia:
(3.1.11)
În cazul q=1-p (complementare), are loc formula de complementaritate
(3.1.12)
Utilizând functiile lui Euler, sa se calculeze:
Vom scrie:
Aplicam formula (3.1.11):
Se considera o functie reala de doua variabile reale, f:E R2 R, unde E=AxB (produs cartezian), cu A si B multimi liniare: A=[a,b], B=[α,β], adica:
E=
Se presupune ca una din variabile joaca rol de parametru, de exemplu t B, iar f(x,t) este integrabila în [a,b], oricare ar fi t.
Atunci,
(3.2.1)
are sens si este o functie de parametrul t (variabila auxiliara).
Legatura ce exista între structurile functiilor f(x,t) si F(t) o vom evidentia tratând doua aspecte importante: trecerea la limita si derivarea lui F(t).
Teorema 1. Daca f(x,t):E R este continua pe E, atunci F(t) este continua pe [α,β].
Demonstratie: Fie t0 punct de acumulare pentru [α,β]. Din ipoteza, f(x,t) este continua pe compactul E=AxB, deci este uniform continua, adica: (")ε>0, ( )δ(ε)>0 astfel încât (")x A=[a,b] si (")t t0 ce satisface conditia t-t0 <δ(ε), sa avem f(x,t)-f(x,t0) <ε. Cu alte cuvinte, se poate scrie:
(3.2.2)
Apoi, 
, ceea ce arata ca F(t) este continua în t0 B: 
.
În concluzie, F(t) este continua pe [α,β] si are loc relatia:
(3.2.3)
sau:
Teorema 2. Daca f(x,t) este continua pe E=AxB iar a=a(t) si b=b(t) sunt functii de parametrul t, continue pe B=[α,β], atunci F(t) este continua pe B.
Demonstratie: Functia f fiind continua pe
un compact, E, este marginita pe E. Fie
si ε>0 un numar arbitrar. Exista
atunci η1, η2, η3 astfel ca:
oricare ar fi t B, h R, t+h B, cu h <η=min(η1,η2,η3)
sa avem:
si 
, oricare ar fi x [a,b]=A
Atunci,
ceea ce arata ca F(t) este continua pe B=[α,β].
Deosebim doua cazuri:
1) Limitele de integrare sunt independente de parametrul t
; a,b constante
Teorema Daca f:[a,b] a b R este continua în raport cu x pentru orice t fixat din [a b] si exista ft'(x,t):E R continua pe E, atunci pentru orice t a b] are loc relatia :
(3.2.4)
Demonstratie. Fie t0 [α,β] si h=t-t0.
Deoarece f este continua si derivabila, i se poate aplica formula cresterilor finite (Lagrange): f(x,t0+h) - f(x,t0) =hft'(x,t0+θh); θ
Deci:
Se trece la limita, pentru h 0 (t t0) si obtinem:
Cum t0 a fost ales arbitrar în [α,β], relatia de mai sus are loc oricare ar fi t [α,β], care este (3.2.4).
2) Limitele de integrare sunt functii de parametrul t
(3.2.5)
În acest caz F'(t) se calculeaza în baza teoremei (fara demonstratie):
Fie f:[a,b] [c,d] R si a=a(t), b=b(t) definite pe [a b]. Daca :
a(t), b(t) sunt derivabile într-un punct arbitrar t0 a b
f(x,t) este continua partial în a0=a(t0) si b0=b(t0) ;
f(x,t) este derivabila partial în raport cu t si ft'(x,t0) este continua pe E=[a,b] a b], atunci F(t) data de (3.2.5) este derivabila în t0 si are loc relatia :
(3.2.6)
Într-un punct curent t [α,β] în care F(t) este derivabila, vom avea deci:
(3.2.7)
Folosind procedeul derivarii sub semnul integrala, respectiv relatiile (3.2.4) si (3.2.7) se pot calcula unele integrale din altele cunoscute.
1) Cunoscând
sa se calculeze:
si 
Solutie: Se observa ca I1 si I2 se deduc din derivatele lui F în raport cu parametrul a si respectiv în raport cu parametrul b:
2) Utilizând procedeul derivarii integralei depinzând de un parametru sa se calculeze:
Solutie: Derivam F(t) conform formulei (3.2.4):
, pe care o calculam cu substitutia generala: 
si
Deci:
de unde, prin integrare
Pentru t=0, F(0)=0 si rezulta C=0, deci F(t)=πarcsint.
3) Folosind integrala:
sa se calculeze:
Solutie
4) Sa se calculeze integrala lui Dirichlet (sinus integral), 
, pornind de la integrala: 
Solutie: I(λ) este convergenta, utilizând criteriul comparatiei:
si
(convergenta)
Observam ca 
si I(0)=Si(x) care
se cere.
Integram prin parti:
Deci:
Mai integram o data prin parti:
.
Rezulta:
,
de unde: 
Deducem ca (prin integrare): I(λ)= -arctgλ+C si I(0)=C. Pentru λ , I(λ) 0 si obtinem valoarea constantei:
. Deci:
Consideram functiile f(x) si g(x) definite si marginite pe [a,b] si fie (dn)= o diviziune a intervalului [a,b]. Suma
(3.3.1)
se numeste suma integrala Stieltjes asociata functiilor f si g si punctelor xi
Lungimea celui mai mare interval partial este norma diviziunii: n(d)=max xi+1-xi . Considerând un sir de diviziuni din ce în ce mai fine, norma sirului tinde catre zero (când n
Definitie. Spunem ca f este integrabila
Stieltjes în raport cu g pe [a,b] daca : 
si 
Numarul I se numeste integrala Stieltjes a lui f în raport cu g si se noteaza :
(3.3.3)
Teorema. Functia f este integrabila (S) în raport cu g pe [a,b] daca si numai daca: (")ε>0, ( )δ(ε) si I astfel încât pentru orice (dn) a lui [a,b] si oricare ar fi alegerea punctelor ξi [xi,xi+1] sa avem:
σn(ξi)-I <ε, daca v(δn)<δ(ε) (3.3.4)
Observatie. Daca g(x)=x (3.3.1) devine o suma integrala Riemann iar (3.3.3) o integrala definita în sens Riemann. Sumei integrale (3.3.1) i se mai spune suma integrala Riemann-Stieltjes asociata functiilor f si g si exprima o generalizare a sumei Riemann.
Ca si în cazul integralei Riemann, presupunând g(x) crescatoare, se definesc sumele Darboux-Stieltjes asociate lui f si g:
(3.3.5)
Proprietatile sumelor integrale
1) m[g(b)-g(a)] s S M[g(b)-g(a)]
")d',d" avem s' S"
3) Daca d' d (d' mai fina ca d) atunci: s s' S' S
4) Oricare ar fi alegerea punctelor intermediare ξi în (dn), avem: sn σn(f,g) Sn
5) Multimile si sunt marginite.
Din proprietatile 3) si 5) rezulta ca daca se considera un sir de diviziuni (dn) cu v(dn) 0, sirurile (sn) si (Sn) sunt convergente, astfel ca, în baza proprietatii 4) si conform definitiei integralei Stieltjes, obtinem urmatoarea
Definitie. f este integrabila Stieltjes în
raport cu g daca si numai daca : 
(3.3.6)
Ca si la integrala Riemann, se demonstreaza urmatorul
criteriu de integrabilitate, al lui Darboux: Daca f este marginita si g crescatoare pe acelasi interval [a,b], o conditie necesara si suficienta ca f sa fie integrabila prin raport cu g pe [a,b] este: (")ε>0, ( ) δ(ε) astfel încât (")(dn) cu v(dn)<δ(ε) sa avem: Sn(f,g)-sn(f,g)<ε.
Folosind acest criteriu putem demonstra urmatoarea teorema, care precizeaza o clasa de perechi de functii integrabile Stieltjes.
Teorema: Daca f este continua si g crescatoare pe [a,b], atunci f este integrabila (S) în raport cu g pe [a,b].
Demonstratie. Fie Mi-mi=ωi
unde Mi si mi sunt marginile lui f pe [xi,xi+1].
Avem:
Functia g fiind crescatoare, g(xi+1)-g(xi)>0
iar f fiind continua putem alege δ(ε) astfel ca 
daca xi+1-xi <δ(ε). Deci, daca v(dn)<δ(ε),
Sn-sn<ε adica f este integrabila (S) în
raport cu g.
P1) Daca f este integrabila pe [a,b] în raport cu functiile gj, iar lj R, j=1,k atunci f este integrabila în raport cu combinatia liniara g=l g1+.+lkgk (a doua proprietate de liniaritate a integralei S).
Vom avea deci:
(3.3.7)
Demonstratie
Trecând la limita, pentru n , obtinem :
P2) Daca f este integrabila în raport cu g pe [a,b], atunci si g este integrabila în raport cu f pe [a,b] si are loc :
(3.3.8)
Aceasta este proprietatea de reversibilitate a integrabilitatii Stieltjes si formula de integrare prin parti (3.3.8).
Demonstratie: Consideram diviziunea (dn)
a lui [a,b]. Punctele intermediare 
formeaza si
ele o diviziune (d'n) a lui [a,b], în care ξ0=a
si ξn-1=b. Putem scrie:
Deci: 
Luam acum diviziunea (d'n) a lui [a,b] si punctele
intermediare 
(variabilele îsi
schimba rolul) si trecem la limita pentru n în relatia de mai sus, adica v(d'n) 0 implica de fapt si v(dn) 0, ambii membrii ai egalitatii
au limita si astfel obtinem formula (3.3.8) de integrare prin
parti, din care deducem si integrabilitatea functiei g în
raport cu f.
P3) Daca f(x) este continua, iar g(x) are derivata continua pe [a,b], atunci f este integrabila în raport cu g pe [a,b] si are loc relatia :
(3.3.9)
ce face legatura între o integrala Stieltjes (S) si una Riemann (R).
Demonstratie: Aplicam functiei g formula lui Lagrange pe [xi,xi+1]:
În diviziunea (dn) alegem punctele intermediare ξi si scriem suma integrala Stieltjes:
în care fg' este o functie continua pe [a,b], deci integrabila Riemann si vom avea:
Observatii :
Proprietatea ramâne valabila si daca :
, a R, unde j(s) este integrabila :
(3.3.10)
Teorema ramâne valabila si daca g(x) este continua pe [a,b], are derivata integrabila si continua pe [a,b], exceptând un numar finit de puncte.
Aceasta afirmatie rezulta în baza observatiei 1) si a faptului ca:
, unde g'(x) este integrabila.
P4) Proprietatea de ereditate: Daca f este integrabila în raport cu g pe [a,b] si [c,d] [a,b] atunci f este integrabila în raport cu g pe [c,d].
P5) Proprietatea de aditivitate fata de intervalul de integrare. Daca c (a,b) si daca f este integrabila în raport cu g pe [a,b], atunci ea este integrabila pe [a,c] si [c,b] si are loc relatia :
(3.3.11)
P6) Prima proprietate
de liniaritate. Daca fj, j=1,k sunt integrabile în raport
cu g pe [a,b] si lj R, atunci si functia 
este integrabila în raport cu g pe [a,b] si are loc
:
(3.3.12)
P7) Proprietatea de medie : Daca f este continua, iar g crescatoare pe [a,b], atunci ( x [a,b] astfel ca :
(3.3.13.)
Observatie. Vedem ca multe proprietati (P4-P7) le întâlnim si la integrala Riemann, însa sunt situatii când apar si deosebiri. Aceste deosebiri dispar daca macar una dintre functiile f si g este continua.
Desigur, exista o serie de probleme legate de integrala Stieltjes care nu se pun în cazul integralei Riemann.
Fie f(x) continua pe [a,b]. Are loc (fara demonstratie):
Teorema Daca :
g(x) are derivata pe [a,b], exceptând eventual un numar finit de puncte;
derivata g'(x) este integrabila pe [a,b] ;
g(x) are un numar finit de puncte de discontinuitate de prima speta : c0=a<c1<.<ck<.<cm=b,
atunci f(x) este integrabila Stieltjes în raport cu g(x) pe [a,b] si are loc relatia :
(3.3.14)
Conform proprietatii 3, calculul integralei (S) se reduce la calculul unei integrale (R), în baza relatiei (3.3.9). (În acest caz g este continua pe [a,b]).
1) 
Avem: 
si 
continue pe [0,2].
Aplicând formula (3.3.9) obtinem:
2) 
, unde:
În acest caz, suntem în conditiile teoremei de mai sus, când f(x)=x3+1 este continua iar g(x) are numai discontinuitati de prima speta în punctele x1= -1 si x2=0 unde salturile lui g(x) sunt egale cu 1 (fig. 3.3.1).
Fig. 3.3.1
Derivata lui g(x) este:
si ea exista cu exceptia punctului x=-1. Se observa usor ca este integrabila pe [-2,2].
Aplicând formula (3.3.14) obtinem:
3) Sa se calculeze 
, unde f,g:R R,
Mai întâi stabilim daca f este integrabila (S) în raport cu g(x) pe [1,2].
si f(1)=0, deci ld(1)=ls(1)=f(1), f(x) este continua în x=1 si continua pe [1,2] (functie elementara). Derivata g'(x)=1 este o functie integrabila pe [1,2] deci f este integrabila (S) în raport cu g pe [1,2] si avem:
,
pe care o integram prin parti:
4) Se dau functiile f,g:R R,
si 
Solutie. f(x) este continua si are derivata continua pe R: f'(x)=2x. Se observa usor ca si g(x) este continua, pentru ca g(x+0)=g(x-0)=g(0), iar derivata:
se verifica imediat ca este continua pe R.
Rezulta usor ca f
este integrabila (S) în raport cu g pe 
si reciproc,
deci se poate aplica formula de
reversibilitate (integrarea prin parti):
5. Sa se calculeze:
Solutie. f si g sunt continue si cu derivate continue pe [-1,1]. Deci integrala are sens:
deoarece functia de integrat (fg') este impara, pe un interval simetric (vezi proprietatile integralei definite în sens Riemann).
6. f(x)=arctgx
este continua si are 
continua. La fel
si g(x)=x2 are g'(x)=2x continua pe [0,1]. Se aplica
integrarea prin parti:
Consideram o functie de doua variabile, f(x,y),
definita si marginita pe un domeniu plan 
închis de o curba
(C), simpla (fara puncte multiple, formata dintr-un
numar finit de arce netede). O curba plana x=x(t), y=y(t)
(ecuatiile parametrice) este neteda daca x(t) si y(t) sunt
continue si au derivatele de ordinul I continue pe D.
Presupunem ca D este continut în intervalul bidimensional
care este un dreptunghi cu laturile paralele axelor de coordonate (fig. 3.4.1).
Prin paralelele 
si 
realizam
diviziunile d si d' ale intervalelor [a,b] si [c,d]:
În acest mod iau nastere intervalele partiale (subintervalele) bidimensionale:
Fig. 3.4.1
Multimea acestora, constituie o diviziune (Δ) a domeniului D.
Norma diviziunii (Δ) se defineste ca fiind numarul pozitiv:
(3.4.1)
unde v(d) si v(d') sunt normele intervalelor [a,b] si [c,d]
(asa cum au fost definite la integrala Riemann). Daca d1
este mai fina decât d 
si d1 mai fina decât d' 
, zicem ca (Δ1) este mai fina ca
(Δ), adica 
si 
. Pentru un sir de diviziuni (Δn) din ce
în ce mai fine, 
Fie mij, Mij marginile lui f(x,y) în δij si σij=(xi+1-xi)(yj+1-yj) aria domeniului partial δij.
Expresiile :
(3.4.2)
se numesc sumele Darboux (inferioara, respectiv superioara) ale lui f(x,y) corespunzatoare diviziunii (D
De asemenea, considerând un punct arbitrar în dij, fie el Pij(xi,yj), situat la intersectia liniei j cu coloana i (pentru a usura rationamentul), vom avea f(Pij)=f(xi,yj), iar suma integrala :
(3.4.3)
se numeste suma Riemann corespunzatoare diviziunii (D
Definitia 1. Zicem ca f(x,y) (definita mai sus) este integrabila pe (D) daca (" Dn) cu n Dn 0 (m,n ) sumele Darboux corespunzatoare tind catre aceeasi limita finita, I :
(3.4.4)
Definitia 2. Zicem ca f(x,y):D R2 (respectând conditiile de mai sus) este integrabila pe (D) daca : (" Dn) cu n Dn 0 (m,n ) si oricare ar fi alegerea punctelor Pij dij, sumele Riemann corespunzatoare tind catre o limita comuna I :
(3.4.5)
Numarul I se numeste "integrala dubla a functiei f(x,y) pe domeniul D" si se scrie :
(3.4.6)
Aici întelegem ca (D) este domeniul de integrare iar elementul dublu diferential dσ=dxdy este elementul de arie plana.
Observatii
1) Daca în particular f(x,y)=1 pe (D) atunci
(aria domeniului) (3.4.7)
2) Ca si la integrala simpla riemanniana, notând:
(marginea
superioara a sumelor inferioare Darboux)
(marginea
inferioara a sumelor superioare Darboux),
zicem ca f(x,y) este integrabila pe (D)
daca:
.
3) Definitiile 1 si 2 date mai sus se pot "transcrie" folosind notiunea de limita. De exemplu, pe baza definitiei 2, putem da urmatorul:
Criteriu de integrabilitate: O functie f(x,y):D R2, marginita pe (D) închis si marginit este integrabila pe (D) daca si numai daca: (")ε>0, ( )η(ε) si I R astfel încât (")(Δ) cu v(Δ)<η(ε) si (")Pij δij Δ sa avem σ(Δ)-I <ε. (3.4.8)
Proprietati :
Daca f(x,y) este integrabila pe (D) si f(x,y) ") (x,y) (D), atunci :
Daca f,g : D R2 sunt integrabile pe (D) si f g, ")(x,y) (D), atunci :
Daca f,g : D R2 sunt integrabile pe (D), atunci (f+g) este integrabila pe (D) si are loc relatia :
(3.4.9)
(aditivitatea functiilor de integrat)
Daca f : D R2 este integrabila pe (D) si k - constanta, atunci kf este integrabila pe D si :
(3.4.10)
Observatie: Proprietatile 3 si 4 arata ca multimea functiilor integrabile pe D R2 formeaza spatiu liniar (vectorial). Generalizând se poate arata prin inductie:
unde fi sunt integrabile pe (D) si ki
constante 
Daca D=D1 (D2 si f este integrabila pe (D) (împartit de o curba (C) în cele doua subdomenii), atunci f este integrabila si pe D1, D2, având loc relatia :
(3.4.11)
(aditivitatea fata de domeniul de integrare)
Daca f este integrabila pe (D) atunci si ( f ( este integrabila pe (D) si are loc :
(3.4.12)
Daca f : D R2 este marginita (de margini m, M) si integrabila pe (D), atunci exista un numar m ([m,M] astfel încât :
(3.4.13)
Daca în plus f(x,y) este continua pe (D) atunci exista un punct P(x h) astfel ca f(x h m si relatia precedenta devine :
(3.4.14)
Cele doua formule (3.4.13) respectiv (3.4.14) constituie prima formula de medie a integralei duble care în cazul general devine:
Daca f este marginita (respectiv si continua) pe D, iar g pastrând semn constant pe D (de exemplu g 0), ambele functii fiind integrabile pe D, atunci formula generala a mediei (a doua formula de medie) va fi :
(3.4.15)
respectiv : 
(3.4.16)
În particular, pentru g 1 obtinem (3.4.13) si (3.4.14).
Asemanator cu criteriul lui Darboux de la integrala Riemann simpla, avem urmatorul:
Criteriu. Fie f(x,y):D R2, marginita pe (D) - închis si marginit (compact). Conditia necesara si suficienta ca f sa fie integrabila pe (D) este ca pentru orice ε>0 sa existe numarul δ(ε)>0 astfel încât pentru orice diviziune (Δ) a lui (D) cu norma v(Δ)<δ(ε) sa avem: S(Δ)-s(Δ)<ε.
Demonstratie. Conditia este necesara: Presupunem f integrabila pe (D), deci exista:
Altfel zis, (")ε>0, ( )N(ε) astfel ca (")n>N(ε):
si 
,
respectiv: 
si 
, care prin adunare dau relatia din enunt,
adica conditia este necesara.
Conditia este suficienta: Presupunem ca are loc conditia din enunt: S-s<ε, (")Δn cu v(Δn)<δ(ε), respectiv pentru orice ε>0 ( )N(ε) astfel încât S(Δn)-s(Δn)<ε, (")n>N(ε).
Sa presupunem ca s si S tind catre limite diferite:
si 
, I I2
Atunci, conform unei proprietati este clar ca:
sau:
Cum I2-I1=constanta iar ε arbitrar, presupunerea facuta este falsa. Deci I1=I2=I si f este integrabila pe (D).
Teorema. Orice functie continua pe un compact (D) (închis si marginit) este integrabila pe D.
Demonstratie: Fie f(x,y):D R2, continua pe D
(compact). Functia f este totodata si marginita pe D,
deci: ( )m,M a.î. m f(x,y) M (")(x,y) D. Consideram diviziunea (Δ) a
lui (D) cu subdomeniile 
pe care avem: mij f(x,y) Mij. Functia fiind
continua, exista punctele (x'i,y'j) si
(x"i,y"j) în δij astfel ca mij=f(x'i,y'j)
si Mij=f(x"i,y"j), asa
încât sumele Darboux corespunzatoare diviziunii (Δ) vor fi:
,
iar diferenta lor:
Functia f
fiind continua pe un compact este uniform continua, deci: (") ε > 0, ( ) η
(ε) astfel încât (")
(x',y') (x",y") care satisfac
conditiile : x' - x" < η
(ε), y' - y" < η (ε), sa avem : 
, unde σ este aria lui D.
Rezulta ca, daca alegem diviziunea (Δ) astfel ca
v(Δ)<v(ε), atunci 
, deci: 
si conform
criteriului de integrabilitate al lui Darboux, f este integrabila pe (D).
Observatie. Daca f este marginita pe D (compact) si are un numar finit de puncte de discontinuitate, multimea lor fiind formata dintr-un numar finit de arce netede, atunci f este integrabila pe D.
De aici deducem ca: clasa functiilor integrabile Riemann este mai larga (mai cuprinzatoare) decât clasa functiilor continue.
Cazul I: (D) este un dreptunghi cu laturile paralele la axele de coordonate (fig. 3.4.2)
Fie f:D R2, integrabila pe D care este
dreptunghiul 
Formam diviziunea (Δ) si alegem Pij δij astfel ca Pij(xi,yj), în coltul din dreapta sus al diviziunii δij.
Fig. 3.4.2
Functia fiind integrabila înseamna ca exista:
Calculam suma dubla, în mod iterativ si trecem la limita. Sa presupunem mai întâi (ordinea nu conteaza) ca pastram indicele i constant si adunam pe verticala (pe fâsia corespunzatoare intervalului partial [xi-1,xi]). Obtinem:
Dar, în paranteza avem o suma de tip Riemann asa ca, presupunând f integrabila în raport cu y, avem:
Acum sumam si în raport cu indicele i (adunând fâsiile) si trecem la limita, presupunând functia F integrabila în raport cu x.
Dar, cu notatia de mai sus, vom avea 
În concluzie
(3.4.17)
Observatii
1) Ordinea de integrare în formula (3.4.17) este de la dreapta spre stânga. Aceasta ordine evident ca (daca în demonstratia de mai sus inversam calculul sumei duble) se poate inversa, asa ca:
(3.4.18)
2) Doar în cazul particular: f(x,y)=j(x) ψ(y) (si numai când toate limitele de integrare sunt constante, deci D = dreptunghi) în relatia de mai sus putem considera ca este vorba de un produs de integrale si ordinea integrarii deci este indiferenta:
(3.4.19)
1) 
, unde (D)=
Rezulta:
2) 
Putem aplica (3.4.19):
Cazul II: (D) este închis si marginit de o curba plana neteda, întâlnita de o paralela la una din axe în cel mult doua puncte (fig. 3.4.3)
Fig. 3.4.3
Reducem problema la cazul I, înscriind domeniul (D) în dreptunghiul
Fie deci f(x,y):D R2 si în ipoteza ca f este integrabila pe D, ne propunem sa calculam integrala:
Pentru aceasta, sa consideram o functie auxiliara (ajutatoare), F(x,y):Δ R2, definita astfel:
(3.4.20)
F(x,y) este integrabila pe (Δ)=(D) (Δ-D) deci:
Rezulta:
Am dus o paralela la Oy, în mod arbitrar, care taie curba (C) în punctele P(x,y1) si Q(x,y2). Ţinând seama de (3.4.20) avem:
(3.4.21)
Daca schimbam ordinea de integrare, ducem o paralela, arbitrar, la Ox care sa taie curba (C) în M(x1,y) si N(x2,y),
(3.4.22)
1) Sa se calculeze 
, unde (D) este domeniul marginit de curba y2=2x
si dreapta y=x.
Solutie
Este recomandabil sa se reprezinte grafic
domeniul de integrare. Intersectând
parabola y2=2x cu bisectoarea întâi, y=x obtinem: x2-2x=0,
x1=0, x2=2 O(0,0) si A(2,2) (fig. 3.4.4).
Ducând o paralela la Oy care sa taie domeniul (D), deducem limitele de integrare în raport
cu y si anume: ordonata punctului de intrare în domeniu este y-ul
dreptei (y1=x) iar ordonata punctului de iesire din domeniu
este y-ul parabolei 
.
Vom avea deci:
Fig. 3.4.4
2) Sa se calculeze: 
Solutie. Domeniul este reprezentat în fig. 3.4.5.
Fig. 3.4.5
3) Sa se calculeze: 
, extinsa la domeniul (D) din figura 3.4.6.
Solutie. Scriem ecuatia dreptei ce trece prin A si B:
adica: 2x+y-4=0.
Fig. 3.4.6
Ordinea de integrare optima, în acest caz este:
unde:
Deci: 
4) Dându-se domeniul din fig. 3.4.7, sa se calculeze:
.
Solutie. (D) se descompune în doua
subdomenii (D1) si (D2) ducând paralela la Oy prin
(1,0). Punctul A se afla la intersectia cercurilor x2+y2=1
si (x-1)2+y2=1. Rezolvând sistemul format cu
ecuatiile lor obtinem:
Fig. 3.4.7
Deci : 
Fie de calculat : 
, raportata la un domeniu (D) din planul xOy. Presupunem
ca se face (se da, se impune sau se cere) schimbarea de variabile :
(3.4.23)
cu conditia ca x(u,v) si y(u,v) sa fie independente functional adica determinantul functional (jacobianul) al lor sa fie nenul. Daca x si y sunt derivabile partial în raport cu u si v atunci determinantul lor functional este:
(3.4.24)
Relatiile (3.4.23) reprezinta o transformare punctuala a domeniului (D) din planul xOy într-un alt domeniu (D') din planul uO'v. Se demonstreaza ca si elementul diferential dxdy se modifica conform relatiei:
(3.4.25)
(Se ia modulul jacobianului pentru ca transformarea punctuala sa fie directa).
În concluzie, schimbarea de variabile (3.4.23) are ca efect:
iar integrala I, care în mod normal trebuie sa devina mai simpla (mai usor de calculat), va fi de forma:
Transformarea în coordonate polare este folosita uzual în calculul unor integrale duble:
(3.4.26)
unde ρ>0 este raza polara iar θ [0,2π] unghiul polar (fig. 3.4.8). Se verifica usor ca:
Fig. 3.4.8
Deci:
(3.4.27)
1) Sa se calculeze: 
, unde: A(1,0), B(2,0), C(0,2), D(0,1), în doua
variante:
a) pe cale directa (fara schimbare de variabile)
b) prin schimbarea de variabile: x=u, x+y=v
Solutie
a) Domeniul este cel din figura 3.4.9 (a)
Avem (D)=(D1) (D2) si 
Scriem mai întâi dreptele (prin taieturi):
(AD) x+y=1 si (BC) x+y=2
Rezulta: 
Fig. 3.4.9
b) Avem: 
si 
, iar domeniul (D) se transforma în (D') (fig. 3.4.9
(b)) prin schimbarea de variabile data. În acest caz, 
si observam varianta b) este mai avantajoasa.
2) Sa se calculeze în coordonate polare, 
extinsa la un
sfert din domeniul închis de cercul cu centrul în origine si raza 2,
din primul cadran.
Solutie: Cercul este de ecuatie x2+y2=4. În coordonate polare: x=ρcosθ, y=ρsinθ, dxdy=ρdρdθ.
Vom avea:
3) Sa se calculeze integrala: 
unde:
.
Solutie: Trecând în coordonate polare
(ρ,θ) domeniul transformat va fi: 
, iar dxdy=ρdρdθ.
Deci:
4) Sa se calculeze: 
unde:
Solutie: Domeniul fiind închis de un cerc, de ecuatie (x-a)2+y2=a2, se recomanda transcrierea în coordonate polare: x=a+ρcosθ, y=ρsinθ. Obtinem: dxdy=ρdρdθ si (D')=.
1. Aria unui domeniu plan. Asa cum am amintit în §3.4.1, daca (D) este închis si marginit în R2, de o curba neteda (C) aria sa este data de formula (3.4.7)
2. Volumul unui corp. Din definitia integralei duble rezulta ca volumul marginit de suprafata (S) definita de ecuatia z=f(x,y), (x,y) D R2, de cilindrul proiectant al suprafetei (S) pe planul xOy (generatoarele paralele la Oz) si de planul xOy, va fi dat de:
(3.4.28)
(Daca f 0 atunci se renunta la valoarea absoluta).
3. Centrul de greutate al unui domeniu plan.
Se numeste placa sau corp plat, un corp la care una din dimensiuni (cota de exemplu) este mult mai mica decât celelalte doua (practic este neglijabila). Un astfel de corp îl asimilam cu un domeniu plan (D) daca placa este plana (are toate punctele în xOy).
Formulele cunoscute din mecanica (statica), pentru coordonatele centrului de greutate, devin în calculul integral sub forma:
(3.4.29)
unde ρ=ρ(x,y) este densitatea placii în punctul (x,y) iar ρdxdy=dm este elementul de masa. Daca placa este omogena, atunci ρ = constanta în orice punct, deci:
(3.4.30)
Teorema a doua a lui Guldin: Volumul obtinut din rotatia unui domeniu plan (D) în jurul unei drepte din planul sau (dreapta care nu traverseaza domeniul) este egal cu produsul dintre aria domeniului si lungimea cercului descris prin rotatie de centrul de greutate al domeniului.
Astfel,
(3.4.31)
1) Sa se afle aria elipsei de semiaxe a si b.
Solutie. Ecuatia carteziana a elipsei este:
iar aria va fi data de: 
, pe care o calculam mai simplu în coordonate polare:
x=aρcosθ, y=bρsinθ. Deducem: dxdy=abρdρdθ,
deci:
, unde: (D')=
2) Utilizând formula 3.4.31 (Guldin), sa se afle volumul torului generat de rotatia în jurul axei Ox, a cercului:
Solutie. V=2π y0 Acerc=2π y0 πR2=2π2R2 y0 . (Aici G coincide cu centrul cercului (x0,y0) deci yG=y0).
3) Sa se afle centrul de greutate al unui sfert de cerc cu centrul în origine si raza R, situat în cadranul I. (x2+y2=R2)
Solutie. Din motiv de simetrie (sau simtul practic), xG=yG (punctul de echilibru = centrul de greutate, se afla pe prima bisectoare)
;
facem R2-x2=t2; xdx=-tdt
Deci: 
1. Sa se cerceteze natura integralelor urmatoare, iar în caz de convergenta sa se calculeze :
a) 
b) 
2. Calculati urmatoarele integrale duble, pe domeniile indicate :
a) 
, unde (D) este patratul aflat la intersectia
dreptelor de ecuatii y=x-1, y=x+1, y=1-x, y=-1-x
b) 
, unde (D) este sfertul de cerc cu centrul în origine, de
raza 2, aflat în al treilea cadran.
3. Calculati
integrala 
folosind rezultatul
obtinut la calcularea integralei 
.
Criteriul comparatiei
Fie deci f:[a, ), f(x) "x a si sa presupunem ca în aceste conditii exista o functie g(x):[a, ) astfel încât 0 f(x) g(x), (")x a. Atunci :
a)
convergenta convergenta
b) divergenta divergenta
O conditie necesara de
convergenta pentru integrala improprie I este ca .
Criteriul integral de convergenta al lui Cauchy. Daca f:[a, ) este continua, pozitiva si monoton descrescatoare catre zero, atunci :
si au aceeasi
natura.
Integrale absolut convergente. Presupunem data f:[a, ) care nu pastreaza semn constant pe [a, ). Prin definitie:
daca
este convergenta,
atunci este absolut convergenta ;
daca I1 este divergenta si I este convergenta, spunem ca I este semiconvergenta (simplu convergenta) ;
Criteriu practic de convergenta
Presupunem ca se cere natura integralei improprii :
Se cauta un exponent p astfel ca :
Daca :
Daca si 0 g(x) f(x), (") x (a,b], atunci :
daca este convergenta,
rezulta ca si este convergenta.
Daca si g(x) f(x) ") x (a,b], atunci :
daca este divergenta,
rezulta ca si este divergenta.
Criteriu practic de convergenta
1) Daca , atunci se cauta un exponent p astfel încât :
2) Daca , atunci se cauta un exponent p
astfel încât :
. Daca
Functia Gamma este functia sau integrala euleriana de speta a doua si se defineste prin :
Functia Beta este functia sau integrala euleriana de prima speta:
Integrala are sens si este o functie de parametrul t
(variabila auxiliara).
sau:
Derivarea integralelor cu parametru
1) Limitele de integrare sunt independente de parametrul t
; a,b constante
Daca f:[a,b] a b R este continua în raport cu x pentru orice t fixat din [a b] si exista ft'(x,t):E R continua pe E, atunci pentru orice t a b] are loc relatia :
2) Limitele de integrare sunt functii de parametrul t
Fie f:[a,b] [c,d] R si a=a(t), b=b(t) definite pe [a b]. Daca :
a(t), b(t) sunt derivabile într-un punct arbitrar t0 a b
f(x,t) este continua partial în a0=a(t0) si b0=b(t0) ;
f(x,t) este derivabila partial în raport cu t si ft'(x,t0) este continua pe E=[a,b] a b], atunci F(t) data de (3.2.5) este derivabila în t0 si are loc relatia :
(3.2.6)
Într-un punct curent t [α,β] în care F(t) este derivabila, vom avea deci:
f este integrabila Stieltjes
în raport cu g pe [a,b] daca : si
Daca f este integrabila în raport cu g pe [a,b], atunci si g este integrabila în raport cu f pe [a,b] si are loc :
Daca f(x) este continua, iar g(x) are derivata continua pe [a,b], atunci f este integrabila în raport cu g pe [a,b] si are loc relatia :
ce face legatura între o integrala Stieltjes (S) si una Riemann (R).
Daca :
g(x) are derivata pe [a,b], exceptând eventual un numar finit de puncte;
derivata g'(x) este integrabila pe [a,b] ;
g(x) are un numar finit de puncte de discontinuitate de prima speta : c0=a<c1<.<ck<.<cm=b,
atunci f(x) este integrabila Stieltjes în raport cu g(x) pe [a,b] si are loc relatia :
Zicem ca f(x,y):D R2 este integrabila Reimann pe (D) daca : (" Dn) cu n Dn 0 (m,n ) si oricare ar fi alegerea punctelor Pij dij, sumele Riemann corespunzatoare tind catre o limita comuna I :
Calculul integralei Riemann.
Cazul I: (D) este un dreptunghi cu laturile paralele la axele de coordonate
Cazul II: (D) este închis si marginit de o curba plana neteda, întâlnita de o paralela la una din axe în cel mult doua puncte
Schimbarea de variabile în integrala Riemann
Fie de calculat : , raportata la un domeniu (D) din planul xOy. Presupunem
ca se face schimbarea de variabile
:
cu conditia ca x(u,v) si y(u,v) sa fie independente functional adica determinantul functional (jacobianul) al lor sa fie nenul. Daca x si y sunt derivabile partial în raport cu u si v atunci determinantul lor functional este:
, deci :
Transformarea în coordonate polare
unde ρ>0 este raza polara iar θ [0,2π] unghiul pola. Se verifica usor ca:
1. Aria unui domeniu plan. este data de formula :
2. Volumul unui corp. Din definitia integralei duble rezulta ca volumul marginit de suprafata (S) definita de ecuatia z=f(x,y), (x,y) D R2, de cilindrul proiectant al suprafetei (S) pe planul xOy (generatoarele paralele la Oz) si de planul xOy, va fi dat de:
(Daca f 0 atunci se renunta la valoarea absoluta).
3. Centrul de greutate al unui domeniu plan.
Se numeste placa sau corp plat, un corp la care una din dimensiuni (cota de exemplu) este mult mai mica decât celelalte doua (practic este neglijabila). Un astfel de corp îl asimilam cu un domeniu plan (D) daca placa este plana (are toate punctele în xOy).
Formulele cunoscute din mecanica (statica), pentru coordonatele centrului de greutate, devin în calculul integral sub forma:
unde ρ=ρ(x,y) este densitatea placii în punctul (x,y) iar ρdxdy=dm este elementul de masa. Daca placa este omogena, atunci ρ = constanta în orice punct, deci:
Teorema a doua a lui Guldin: Volumul obtinut din rotatia unui domeniu plan (D) în jurul unei drepte din planul sau (dreapta care nu traverseaza domeniul) este egal cu produsul dintre aria domeniului si lungimea cercului descris prin rotatie de centrul de greutate al domeniului.
Astfel,
|
