Ecuatii exponentiale si inecuatii exponentiale

Ecuatii exponentiale si inecuatii exponentiale

Ecuatii exponentiale

1) Ecuatii exponentiale de forma ; a > 0 ; a 1

Ecuatia este echivalenta cu f(x) = g(x).Solutiile acestei ecuatii sunt si solutii ale ecuatiei date.

2) Ecuatii exponentiale de forma ; a > 0 ; a 1

Daca b > 0 atunci se logaritmeaz 13113f59n a ambii membrii intr-o baza convenabila.Daca se logaritmeaza in baza a atunci ecuatia se scrie echivalent si se rezolva aceasta ecuatie.Daca b 0 ecuatia nu are solutii (intotdeauna exponentiala ia valori pozitive).

3) Ecuatii exponentiale de forma

Se logaritmeaza ambii membrii ai ecuatiei intr-o baza convenabila si apoi se rezolva ecuatia astfel obtinuta. Solutiile acestei ecuatii sunt si solutii ale ecuatiei date.

4) Ecuatii exponentiale de forma

Ecuatiile de acest tip se rezolva prin substitutie.Se noteaza si se obtine o ecuatie de gradul doi in y , cu solutiile .Ecuatiile au solutii daca .In general ecuatia de forma se rezolva substituind si apoi rezolvand ecuatiile exponentiale unde sunt solutiile ecuatiei f(y) = 0.In final , reuniunea acestor solutii reprezinta multimea de solutii pentru ecuatia data.

5) Ecuatii exponentiale de forma

Este o ecuatie exponentiala in care figureaza bazele a,b cu proprietatea ca produsul lor este unu (ab = 1).De aici , iar ecuatia se scrie echivalent : .Se noteaza si se obtine ecuatia de gradul doi in y : cu solutiile .Se revine la substitutie si se rezolva ecuatiile . Reuniunea acestor solutii reprezinta multimea de solutii pentru ecuatia data.

6) Ecuatii exponentiale de forma : 

In ecuatiile exponentiale care contin exponentiale cu baze diferite a b este indicat sa grupam intr-un membru termenii care contin exponentiale de aceeasi baza a , iar in celalalt membru termenii care au in componenta lor exponentiale cu aceeasi baza b . In fiecare membru se da factor comun exponentiala de exponent cel mai mic , ajungandu-se la o ecuatie exponentiala de forma ; . Solutiile acestei ecuatii sunt si solutii ale ecuatiei date.

7) Ecuatii exponentiale de forma : 

O ecuatie de acest tip o numim omogena , deoarece fiecare termen al ecuatiei in a₁ , a₂ , are exponent acelasi 2f(x).Pentru a rezolva astfel de ecuatii se recomanda impartirea ambilor membrii ai ecuatiei prin cand se obtine ecuatia echivalenta care este de tipul 4.

Se poate imparti ecuatia prin cand obtinem care este de tipul 5.

8) Ecuatii care se rezolva prin descompuneri in factori sau substitutii

In general pentru rezolvarea ecuatiilor exponentiale cu baze diferite , se recomanda , descompunerea bazelor in factori primi , observand astfel o anume posibilitate de a grupa termenii ecuatiei in idee de a scrie ecuatia ca un produs de factori egal cu zero.Alteori este profitabil de a lucra cu cat mai putine baze.In fine , in unele cazuri , se remarca o anume expresie depinzand de necunoscuta care poate fi substituita si se recrie ecuatia data in functie de noua necunoscuta.Asa sunt ecuatiile care au forma generala :

i).

In acest caz se noteaza .Prin ridicare la patrat rezulta .

ii)

In acest caz se noteaza .De aici prin ridicare la cub rezulta .

9) Ecuatii exponentiale cu solutie unica

Rezolvarea acestor ecuatii consta in a le aduce la forma f(x) = c , unde f este strict monotona , iar c este o constanta si observand ca ecuatia are o solutie x₀.Cum f este strict monotona se deduce ca f este injectiva si deci ecuatia are solutia unica x₀.

10) Ecuatii exponentiale de forma f(x)^g(x) = f(x)^h(x)

Se stie ca daca f(x) > 0 , f(x) 1 , atunci ecuatia considerata este una exponentiala si se reduce la rezolvarea ecuatiei g(x) = h(x).Vor fi solutii acele valori x pentru care f(x) > 0 si f(x) 1.Daca posibilitatea f(x) 0 sau f(x) = 1 nu este eliminata de la inceput , atunci se analizeaza mai multe cazuri

i)Daca f(x) = 1 , atunci egalitatea se verifica oricare ar fi g(x) , h(x)

ii)Daca f(x) = - 1 , atunci egalitatea devine

iii)Daca f(x) = 0 , atunci egalitatea are loc pentru g(x) > 0 , h(x) > 0

Inecuatii exponentiale

- se rezolva ecuatia f(x) = 0

- se realizeaza tabelul de semn al functiei f tinand seama de faptul ca aceasta functie daca nu se anuleaza pe un interval , atunci are pe acest interval semn constant.Pentru a vedea semnul lui f pe un astfel de interval se alege de aici o valoare x₀ pentru care calculul f(x₀) sa fie cat mai simplu.Semnul lui f(x₀) va fi pe tot intervalul analizat