Elemente algebrice si transcendente. Extinderi algebrice

Elemente algebrice si transcendente.

Extinderi algebrice

Fie k un corp, K o extindere a sa si M o submultime a lui K. Atunci intersectia tuturor subcorpurilor lui K care contin pe k si submultimea M este un subcorp al lui K si o extindere a lui k care contine multimea M. Acest subcorp al lui K se noteaza cu k(M) si se spune ca este corpul obtinut prin adjunctionare la k a elementelor multimii M. Corpul k(M) este corpul de fractii al inelului k[M] generat peste k de multimea M. Fie I o multime; notam cu k[K ; I] inelul polinoamelor de I-nedeterminate cu coeficienti in corpul k si cu k(K ; I) corpul sau de fractii. Corpul k(K ; I) poate fi privit ca obtinut prin adjunctionare la k a nedeterminatelor X,iI. O extindere K a unui corp k se numeste tip finit daca exista o submultime finita M a lui K, astfel incat k(M) = K. Daca exista un element xK astfel incat K = k(x), atunci K se numeste extindere simpla a lui k.

Propozitia 1.1. Fie kK o extindere de corpuri. Sunt adevarate urmatoarele afirmatii:

i)            k(K) = K, iar k(M) = k daca si numai daca submultimea M este din k.

ii)           Daca M si N sunt doua submultimi ale lui K, atunci k(MN) = k(M)(N) = =k(N)(M).

iii)         Daca , iI este un sistem de submultimi ale lui K filtrant la dreapta (adica pentru orice i, jI exista lI astfel incat MM si MM) si M =M, atunci:

k(M) =k(M).

Demonstratie. Toate afirmatiile rezulta direct din definitia de mai sus. Pentru demonstrarea afirmatiei din iii) este suficient sa se observe ca intrucat sistemul , iI, este filtrant la dreapta k(M) este un subcorp al lui K.

In conditiile din propozitia precedenta se noteaza de obicei cu k(M,N) corpul k(MN).

Fie A un inel comutativ si B o A-algebra (nu neaparat comutativa). Atunci adunarea lui B si operatia externa definita prin ab = u(a)b, pentru aA, bB, unde u : AB este morfismul canonic, determina pe B o structura de A-modul. In particular, daca k este un corp si K este un corp (nu neaparat comutativ) care este k-algebra, are sens dimensiunea lui K peste k care se noteaza [K : k] si se numeste gradul lui K peste k. Corpul K se numeste extindere finita a lui K daca [K : k]< si infinita daca [K : k] =. Revenind la cazul extinderilor comutative, observam ca o extindere finita K a unui corp k este de tip finit. Mai mult, daca x, x, , x este un sistem de generatori de spatiu vectorial al lui K peste k, atunci K= k(x, x, , x)= k[x, x, , x]. Reciproca acestei afirmatii nu este adevarata dupa cum arata exemplul corpului k(X) al functiilor rationale de nedeterminata cu coeficienti in k, care este o exindere simpla a lui k, insa elementele 1, X, X, ,X, sunt liniar independente peste k si deci [k(X) : k] =.

Fie kK o extindere de corpuri, M o parte a lui K si k[X;M] inelul polinamelor de M-nedeterminate cu coeficienti in K. Atunci exista un morfism unic de k-algebre u :k[X;M]K cu proprietatea u(X)=m pentru orice mM. Avem egalitatea Im u = k[M] si u induce un morfism surjectiv u' :k[X;M]k[M] pe care il numim in continuare canonic. Daca u este injectiv, adica u' este izomorfism, se spune ca elementele lui M sunt algebric-independente peste k; in caz contrar se spune ca ele sunt algebric-dependente peste k. Un element din K se numeste algebric peste k daca morfismul canonic v :k[X]k[] nu este injectiv, adica Ker v(0) sau, echivalent, exista un polinom nenul f din k[X] astfel incat f() = 0, adica este o radacina a lui f . Daca nucleul lui v este egal cu (0), deci daca nu exista niciun polinom nenul care are pe ca radacina, se spune ca este transcendent peste k. Asadar este transcendent daca si numai daca morfismul v este injectiv, adica k[] este k-izomorf cu inelul polinoamelor k[X] si deci k()k(X). Daca este element algebric peste k, atunci Ker v(0) si rezulta un k-izomorfism k[X]/Ker vk() care duce clasa lui X in . Deoarece k[] este subinel nenul al unui corp, rezulta ca este inel integru, deci Ker v este ideal prim nenul in k[X]. Deoarece k[X] este inel principal, Ker v este generat de un polinom ireductibil. Un polinom care genereaza idealul Ker v se numeste polinom minimal al lui ; el este, prin urmare, ireductibil si doua astfel de polinoame sunt asociate. Deci au in particular acelasi grad si exista unul singur cu coeficientul termenului de grad maxim egal cu 1, numit polinomul minimal al lui . Observam ca Ker v = . Deoarece un polinom minimal al lui genereaza pe Ker v, rezulta ca el este un polinom de grad minim care are pe ca radacina.

O extindere K a unui corp k se numeste algebrica daca orice element din K este algebric peste k.

Propozitia 1.2. Orice extindere finita este algebrica.

Demonstratie. Fie kK o extindere finita de corpuri si xK. Atunci elementele 1, x, x, , x, nu pot fi liniar independente, caci altfel ar rezulta [K;k]=. Asadar exista ak, i = 1, 2, , n, nu toate nule astfel ca =0. Rezulta atunci ca polinomul f=k[X] este nenul si f(x)=0.

Va fi utila in cele ce urmeaza urmatoarea caracterizarea elementelor algebrice dintr-o extindere de corpuri.

Propozitia 1.3. Fie kK o extindere de corpuri si K. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a) este algebric peste k;

b) k[] este corp;

c) k[]=k();

d) k() : k]<.

Demonstratie. a)b) rezulta din faptul ca k[] = k[X]/fk[X], unde f este un polinom ireductibil. Deci idealul fk[X] este maximal, adica k[X]/fk[X] este corp.

b)a). Daca k[] este corp, atunci morfismul canonic k[X]k[] nu este izomorfism deci este algebric peste k.

Echivalenta dintre afirmatiile b) si c) este imediata.

Implicatia d)a) rezulta din propozitia precedenta.

a)d) rezulta din faptul ca k[] k[X]/fk[X], unde f0 este un polinom nenul, aplicand lema care urmeaza.

Lema 1.3.1. Fie k un corp, k[X] inelul polinoamelor de o nedeterminata cu coeficienti in k, f k[X] si A= k[X]/(f) inelul factor. Atunci dim A este finita daca si numai daca f 0. Daca f 0 si grad f=n, atunci clasele elementelor 1, X, X, ,X, in A constituie o baza peste k, deci dim A=n.

Demonstratie. In k[X] exista o infinitate de elemente liniar independente peste k; astfel sunt, de exemplu, elementele 1, X, X, ,X, dupa cum rezulta din insasi definitia inelului k[X]. Pentru a incheia demonstratia lemei este suficient sa demonstram ultima afirmatie a sa. Notam cu g clasa polinomului g k[X] in A. Orice element din A este clasa unui polinom g k[X]. Din teorema impartirii intregi rezulta ca exista q, r k[X], cu grad r < grad f astfel incat g=fg+r. Atunci rezulta ca=, de unde deducem ca 1, , , constituie un sistem de generatori ai lui A peste k. Sa aratam ca acest sistem este liber peste k. In cazul contrar, ar exista o relatie de forma:

=0, ak,

unde elementele anu sunt total nule. Fie g=k[X]. Din relatia (1) rezulta ca f divide pe g si g, ceea ce contrazice faptul ca grad g<n.

Propozitia 1.4. Fie kextinderi de corpuri. Daca K este extindere finita a lui k si L extindere finita a lui K ,atunci L este extindere finita a lui k si in plus

[K : k][L : K]=[L : k]

(Tranzitivitatea extinderilor finite).

Demonstratie. Fie x, x, , x, m=[K : k], o baza a lui K peste k si y, y, , y, n=[L:K], o baza a lui L peste K. Va fi suficient sa aratam ca elementele

x,y, i=1, 2, , m; j=1, 2, , n

constituie o baza a lui L peste k. Aceste elemente constituie un sistem de generatori; caci daca xL, atunci x=, cu adeoarece y, y, , yeste un sistem de generatori al lui L peste K. Pe de alta parte, deoarece x, x, , x este un sistem de generatori ai lui K peste k, exista bcu proprietatea ca a=, j=1, , n. De aici se obtine x=. Sa aratam acum ca sistemul (3) este liber peste k. Intr-adevar,

daca =0, cu c, atunci din =0 si =0, pentru toti j=1, , n. Apoi din faptul ca sistemul x, x, , x este liber peste kse obtine ca c=0, i=1, , m; j=1, , n.

Relatia (2) din propozitia precedenta ramane adevarata si pentru extinderile infinite de

corpuri daca convenim sa notam a, pentru aN si . Mai precis, se poate arata ca daca , iI, este o baza a lui K peste k si , jJ, o baza a lui L peste K, atunci sistemul de elemente , iI, jJ este o baza a lui L peste k, pentru I si J multimi arbitrare.

Propozitia 1.5. Fie K un corp, extindere a corpului k, si , , , elemente algebrice peste k. Atunci k , , , ] este corp, extindere finita a corpului k.

Demonstratie. Vom face o inductie dupa n.Pentru n=1, afirmatia a fost dovedita in propozitia 1.3. Presupunem ca ea este adevarata pentru n-1. Atunci rezulta ca k[, , , ]=K' este corp, extindere finita a lui k. Avem k , , , ] = k[, , , ] ]=K'[].Insa este element algebric peste K' , deci din propozitia 1.3 se obtine

ca K' ] este corp de extindere finita a lui K'. Aplicand acum propozitia precedenta la extinderile k= k[, , , ],se obtine afirmatia propozitiei pentru n.

Cu notatiile din propozitia precedenta, daca M este o submultime de elemente din K algebrice peste k, rezulta ca k(M) este extindere algebrica a lui k, caci k(M)= cand M' parcurge submultimile finite ale lui M si o extindere a corpului k care este reuniune de extinderi algebrice ale lui k este si ea o extindere algebrica a lui k.

Corolarul 1.6. Daca keste o extindere de corpuri si , , sunt elemente algebrice peste k, atunci k[, ,]=k(, ,) iar nucleul morfismului canonic de k-algebre k[X, , X]k[, ,] este ideal maximal in k[X, , X]

Propozitia 1.7. Fie k un corp si K o extindere a sa. Atunci multimea K' a elementelor din K algebrice peste k formeaza un subcorp al lui K care contine pe k.

Demonstratie. Incluziunea krezulta din faptul ca orice elment ak este radacina a polinomului X-a. Pentru a arata ca submultimea K' este subcorp va trebui sa aratam ca pentru orice doua elemente , rezulta si daca , atunci .

Consideram corpul k(. Deoarece sunt algebrice peste k din 1.5 si 1.6 rezulta ca k( este o extindere finita a lui k. Din propozitia 1.2 deducem atunci ca orice element din k( este algebric peste k, in particular, si sunt elemente algebrice peste k deci apartin lui K'.

Este valabila urmatoarea proprietate de tranzitivitate a extinderilor algebrice.

Propozitia 1.8. Fie kextinderi de corpuri. Daca K este extindere algebrica a lui k, iar L este extindere algebrica a lui K, atunci L este extindere algebrica a lui k.

Demonstratie. Fie . Va trebui sa aratam ca este algebric peste k. Insa este algebric peste K. Deci exista un polinom f , f , astfel incat sa fie o radacina a lui f. Fie f=unde , i=0, 1, , n. Atunci este clar ca este algebric si peste corpul care este extindere finita a lui k. Rezulta deci ca corpul K'( este extindere finita a lui si, conform propozitiei 1.4, este extindere finita si a corpului k. Atunci din propozitia 1.2 se obtine ca este algebric peste k.

Exemple. Fie Q corpul numerelor rationale. Numerele complexe algebrice peste Q se numesc, de obicei, numere algebrice, iar numerele complexe care nu sunt algebrice peste Q se numesc numere transcendente. Numerele complexe i= sunt numere algebrice deoarece ele sunt respectiv radacini ale polinoamelor din Q

Din propozitia 1.7 rezulta ca multimea numerelor algebrice formeaza un subcorp al corpului numerelor complexe , numit corpul numerelor algebrice. Se poate arata ca multimea numerelor algebrice este numarabila, adica este equipotenta cu N (exista o functie bijectiva de la N la aceasta multime), pe cand multimea numerelor complexe este nenumarabila. De aici rezulta ca multimea numerelor transcendente este si ea nenumarabila. Cu toate acestea avem mai putine exemple de numere transcendente. In particular, aprobarea faptului ca un anumit numar complex este transcendent se constata a fi, in general, suficient de dificila. Distinctia dintre numerele algebrice si cele transcendente a fost pusa in evidenta in prima jumatate a secolului al XVIII-lea de catre Euler (1744). Abia peste un secol (1844) Liouville a dat un criteriu necesar ca un numar real sa fe algebric si deci un criteriu suficient ca un numar real sa fie transcendent, cu ajutorul caruia s-au putut da exemple de numere transcendente. Acest criteriu se enunta astfel:

Teorema 1.9. Fie un numar real care este radacina unui polinom ireductibil de grad r, iar p si q>0 numere intregi. Atunci exista un numar real c>0, care nu depinde de p si q astfel incat (s-a notat cu valoarea absoluta a numarului real a).

Demonstratie. Fie f=polinomul minimal al lui . Putem presupune ca , caci in caz contrar putem lua c=1. Atunci fie toate radacinile lui f . Avem

(4)

unde este o constanta care evident nu depinde de si . Pe de alta parte, avem evident

(5)

Din relatiile (4) si (5) rezulta afirmatia teoremei.

In demonstratia teoremei precedente am utilizat faptul ca orice polinom cu coeficienti complecsi are atatea radacini complexe cat este gradul sau.

Criteriul precedent exprima faptul ca, intr-un anumit mod, numerele algebrice nu pot fi suficient de bine aproximate prin numere rationale. Din acest criteriu se poate deduce ca, de exemplu, numarul

este transcendent. Intr-adevar, vom arata mai intai ca nu poate fi numar rational. Presupunem ca , unde p si q sunt numere intregi pozitive. Consideram atunci un numar intreg si inmultim relatia cu . Obtinem o relatie de forma

unde a si b sunt numere intregi. Este suficient sa aratam ca numarul

nu este intreg pentru k suficient de mare. Un astfel de k exista fiindca d este restul unei serii convergente. Deci nu poate fi numar intreg. Sa presupunem acum ca ar fi algebric. Atunci polinomul sau minimal ar avea gradul r. Fie c constanta din criteriul de mai sus asociata lui . Consideram un numar intreg si . Atunci avem

Luand un k suficient de mare, obtinem inegalitatea

ceea ce contrazice criteriul lui Liouville.

Hermit, in 1873, a demonstrat transcendenta numarului

iar Lindermann, in 1882, a demonstrat transcendenta numarului (raportul dintre lungimea cercului si diametrul sau). Importanta demonstrarii transcendentei numarului consta in faptul ca prin aceasta s-a dat un raspuns negativ unei vechi probleme de matematica cunoscuta inca din antichitate sub numele de problema cuadrurii cercului (constructia cu ajutorul riglei si al compasului a unui patrat cu aceeasi arie ca a unui cerc dat). Inca in secolul trecut s-a aratat ca, cu ajutorul riglei sau al compasului se pot construi doar radacinile unor clase particulare de ecuatii cu coeficienti intregi.

Fie R corpul numerelor reale si C corpul numerelor complexe.Atunci, dupa cum stim, orice C se scrie in mod unic sub forma , unde si sunt numere reale iar . Deci este algebric peste R (este si numar algebric caci este radacina a polinomului Xcare are coeficienti numere rationale). Atunci morfismul de R-algebre RC cu proprietatea ca este surjectiv , fiindca C=R. Deoarece , rezulta ca determina un morfism tot surjectiv RC. Morfismul este si injectiv, deoarece primul inel este corp, polinomul fiind ireductibil in R. Asadar este izomorfism. Din propozitia 1.2 rezulta ca orice numar complex este algebric peste R, fapt care se poate verifica si direct. Intr-adevar, daca este un numar complex, unde si sunt numere reale, atunci ele este radacina a polinomului

din R. Din cele de mai sus deducem ca C: R=2.

Bibliografie:

Ion D. Ion, R. Nicolae, "Algebra", Editura Didactica si Pedagogica, Bucuresti, 1981