Elemente de geometrie analitica

Elemente de geometrie analitică

XIV.1. Segmente

Distanta dintre două puncte A(x₁,y₁), B(x₂,y₂): AB =

Panta dreptei AB:

Coordonatele (x,y) ale mijlocului segmentului AB:

Coordonatele punctului M care împarte segmentul (AB) în raportul k:

XIV.2. Ecuatia dreptei

Drepte paralele cu axele de coordonate:

(d):x = a (d Oy), (d):y = a (d Ox)

2. Dreapta determinată de punctul M_o(x_o,y_o) si vectorul nul , t R, -vectorul de pozitie a lui M_o; r-vectorul de pozitie a unui punct M al dreptei d.

, t R, ecuatiile parametrice;

3. Ecuatia explicită: y =mx + n (m R*, n R, m - panta, n - ordonata la origine);

4. Ecuatia prin tăieturi:

Ecuatia dreptei de pantă m, prin punctul M_o(x_o,y_o): y - y_o = m(x - x_o), (m 0);

Ecuatia dreptei determinată de punctele A(x₁,y₂), B(x₂,y₂):

sau

Ecuatia generală: ax + by + c = 0;

Aria triunghiului ABC (A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃)): A_ABC = , unde

, dacă D = 0 atunci A, B, C sunt colineare

Pozitia relativă a dreptelor (d₁) si (d₂):

si

d₁ = d₂, dacă

d₁ d₂, dacă ;

d₁ d₂ si d₁ d₂ , dacă

Distanta de la punctul M_o(x_o,y_o) la dreapta (h): ax + by + c = 0

Unghiul a determinat de dreptele:

si

d₁ d₂, dacă m₁m₂ = -1

XIV.3. Cercul

Cercul C de centru M(a,b) si rază r:

Ecuatia cercului (x - a)² + (y - b)² = r²; dacă M(a,b) = 0(0,0): x² + y² = r²;

Ecuatia generală: x² + y² + mx + ny + p = 0, unde , b = si

r² = (m² + n²) - p.

XIV.4. Conice raportate la axele de simetrie

1. Elipsa E: F(c,0), F'(-c,0), A(a,0), A'(-a,0), B(0,b), B'(0,-b), MF + MF' = 2a, M E

Ecuatia elipsei:

B

M

A' F' F A

O

B'

Ecuatia tangentei în punctul M(x_o,y_o), M E:

2. Hiperbola H: F(c,0), F'(-c,0), A(a,0), A'(-a,0), MF - MF' = 2a, M H.

Ecuatiea hiperbolei:

y

^M

_{F' A' O A F} x

Ecuatia tangentei în M_o(x_o,y_o), M_o H.

3. Parabola P: F(,0), h:x = - (h - dreapta directoare): d(M,h) = MF, M P.

Ecuatia parabolei P: y² = 2px

y

h M

x

O F

Ecuatia tangentei în M_o(x_o,y_o), M_o P: yy_o = p(x + x_o)