Elemente fundamentale ale strategiei experimentelor factoriale totale (EFC). Prezentare generala

De la bun început trebuie sa analizam, ca problema propusa spre rezolvare sa fie corect definita si sa fie consistenta: adica rezolvarea ei sa furnizeze informatii utile experimentatorului privind sistemul studiat, iar factorii de influenta sa corespunda caracteristicilor pe care aceste marimi trebuie sa le îndeplineasca. Daca numarul factorilor de influenta este mare în raport cu posibilitatile de experimentare, factorii de influenta trebuiesc ierarhizati în ordinea importantei lor, iar la proiectarea experimentului factorial vor fi luati în considerare factorii semnificativi pentru functia obiectiv studiata.

In practica experimentelor planificate, factorilor de influenta li se atribuie câte doua nivele de variatie: un nivel superior x _sup si un nivel inferior, x_inf. Aceste doua nivele sunt alese la distanta egala fata de nivelul central x₀ al factorului de influenta, numit si nivel de baza sau nivel zero. Nivelul zero indica valoarea factorilor de influenta în jurul carora se doreste a se realiza modelarea experimentala. Intervalul limitat de valorile inferioare si superioare ale factorilor de influenta defineste domeniul experimental. Toti factorii de influenta pot lua valori în acest interval de variatie considerat. În stabilirea domeniului experimentarii pot aparea restrictii. Acestea pot fi de natura principiala (fenomenologice: temperatura, viteza, presiune, etc) sau tehnico-economice (costul materialelor, durata proceselor, conditii materiale-tehnologice si de natura organizatorica, etc.).

Remarcam faptul ca, alegerea intervalului de variatie poate influenta valoarea evaluata a functiei obiectiv. Daca intervalul de variatie este mic actiunea factorului de influenta poate fi neglijabila asupra functiei obiectiv, iar un interval de variatie larg poate sa conduca la pierderea linearitatii modelului experimental!

Planificarea experimentelor înseamna precizarea formei matricii-program a experimentului. Urmarind strategia experimentelor factoriale complete, vom obtine un tabel cu date structurate în care apar toate combinatiile posibile între nivelele factorilor de influenta. Aceste date definesc matricea experientelor sau altfel spus matricea-program al experimentelor planificate. Pentru exemplificare sa consideram studiul dependentei unei functii obiectiv   y=f(x₁,x₂) având argumentele x₁ si x₂ cei doi factori de influenta: Un astfel de tabel este prezentat mai jos.

TABEL 1: "Matricea sistem al experientelor" pentru un "experiment factorial complet EFC 2^{2 "} (definit pentru cazul a doi factori de influenta la doua nivele).

Diagrama dispunerii punctelor structurii prezentate în matricea experientelor este indicata pe figura alaturata.

Fig. 1 Graficul dispunerii punctelor caracteristice experimentelor planificate EFC 2²

Matricea experientelor se caracterizeaza prin faptul ca, fiecarei încercari experimentale îi corespunde alta combinatie de nivele ale factorilor de influenta. In cazul prezentat a doi factori de influenta cu doua nivele prestabilte, trebuiesc realizate un numar de n=2² experimente independente (pentru epuizarea tuturor încercarilor experimentale de combinatii posibile ale factorilor de influenta).

În general, experimentele factoriale complete cu k factori de influenta, fiecare având doua nivele de variatie se simbolizeaza prin EFC 2^k. În acest caz se necesita efectuarea unui numar de n=2^k masurari experimentale pentru epuizarea tuturor combinatiilor posibile între cele doua nivele ale celor k factori de influenta. Experimentele factoriale de acest tip, în care apar toate combinatiile posibile între nivelele factorilor de influenta, se numesc experimente factoriale complete (sau totale), iar matricile dupa care sunt conduse experimentele poarta numele de matrici-program ale experimentelor factoriale totale.

III.4. Codificarea nivelelor factorilor de influenta. Definirea factorilor transformati

Pentru simplificarea modului de prezentare si în vederea generalizarii matricilor-program ale experimentelor factoriale, se poate aplica o transformare de coordonate prin adoptarea urmatoarei conventii: se ataseaza nivelului superior al factorului de influenta simbolul "+1", iar nivelului inferior simbolul "-1".

Trecerea de la variabilele fizice reale la cele transformate este realizata prin efectuarea unei schimbari de variabila care se obtine prin schimbarea unitatii de masura si o schimbare a originii sistemului de axe de coordonate. O astfel de transformare se poate obtine prin aplicarea relatiei:

Prin notatia cu simbolul tilda deasupra marimii factorilor naturali, respectiv fara simbolul tilda deasupra marimilor transformati (factorilor "codificati"), matricile-program ale experimentelor factoriale complete, având un anumit numar k de factori de influenta capata, structura identica idependent de natura fizica a factorilor de influenta care intervin în analiza functiei obiectiv. Marimea reprezinta valoarea intervalului de variatie al factorului natural. Variabilele se mai numesc variabile reduse sau codificate, unde:

-este valoarea fizica naturala a factorului de influenta i

-este valoarea fizica a factorului de influenta i în centrul domeniului sau de variatie

=- este intervalul fizic de variatie al factorului de influenta i.

Astfel, tabelul structurat cu factorii transformati determina forma matricii experientelor:

TABEL 2: Forma generala a matricii-program pentru un experiment factorial complet EFC 2² în care nivelele factorilor de influenta sunt codificate

Graficul 3. indica dispunerea punctelor selectate în reprezentarea noilor coordonate.

Fig. 3. Dispunerea punctelor selectate în reprezentarea prin coordonatele transformate.

Coeficientii b_i se determina pe baza datelor experimentale obtinute în cadrul experientelor planificate, efectuate într-o ordine aleatoare (randomizata). Stabilirea ordinii de efectuare a experientelor se alege cu ajutorul tabelului datelor cu distributie probabilistica. Tabelul structurat al nivelurilor factorilor determina matricea sistemului, continând diferitele valori pentru factorii x_i:  unde k=1,2,3,.,n reprezinta numarul de ordine al experimentelor independente, iar i=1,2,. f indica numarul factorilor.

Daca fiecare experiment individual cu nivele prestabilite se repeta de m -ori, în vederea cresterii gradului de siguranta a rezultatelor, valorile marimilor masurate determina matricea valorilor de observtie: unde l=1,2,.,m reprezinta numarul replicilor (repetarilor) realizate.

Valoarea medie a datelor masurate determina matricea unicoloana: unde

Rezolvarea sistemului celor n ecuatii normale, scrise cu ajutorul valorilor medii de observatie,

respectiv sub forma matriciala, determina valorile coeficientilor b₀, b_i, b_ii, b_ij:

Pentru stabilirea unor atribute ale modelului polinomial privind repetabilitatea experimentelor, unicitatea valorilor coeficientilor si adecvanta polinomului trebuiesc efectuate teste de verificare ale ipotezelor statistice.

III.5. Verificarea ipotezelor statistice.

In general la aplicarea testelor statistice se efectueaza o comparare a dispersiei rezultatelor datorata erorilor aleatoare (numite si dispersia de reproductibilitate) cu dispersia rezultatelor datorata unor cauze sistematice, specifice analizei ce se efectueaza. In analiza modelului factorial se efectueaza o estimare a dispersiei reproductibilitatii, specifice procesului si conditiilor experimentale particulare în care acesta se studiaza.

Repetabilitatea experimentelor se verifica cu ajutorul testului Cochran, prin estimarea erorii experimentale si a dispersiei variabilei dependente. Estimarea dispersiei reproductibilitatii s_y² se face cu ajutorul mai multor masurari replicate în centrul domeniului experimental:

unde

în care m este numarul de replici l=1,., m; y_kl sunt valorile masurate ale functiei obiectiv, este media valorilor masurate ale functiei obiectiv în centrul domeniului experimental.

Cu ajutorul dispersiei reproductibilitatii poate fi calculata dispersia de estimare a coeficientilor de regresie (repetabilitatea experimentelor). În acest scop se aplica testul Cochran ("testul-G"), conform caruia se considera suficient numarul experimentelor repetate la satisfacerea conditiei:

G_calc.<G_tabel ^{(0.05, n; m-1)}

Functia discriminanta (variabila de testare) este definita prin expresia:

Pentru verificarea semnificatiei statistice a coeficientilor polinomului de regresie se aplica testul Student ("testul-t"), prin care se concluzioneaza asupra unicitatii coeficientilor polinomului de regresie.

Daca functia discriminanta definita prin expresia:

satisface conditia t_I > t_tabel ^(0.05,n;m-1) , atunci coeficientul de regresie se considera echivoc determinat. Daca aceasta conditie nu este satisfacuta, valoarea coeficientului b_i se considera statistic egal cu zero (are actiune nesemnificativa asupra functiei obiectiv, întrucât aceasta cade în domeniul dispersiei).

Astefel, se apreciaza cu o probabilitatea P=1-a ca valoarea coeficientului de regresie prezinta semnificatie, daca valoarea absoluta a acestuia este superioara intervalului de încredere cu care acest coeficient a fost estimat.

Verificareaa adecvantei modelului are loc cu ajutorul testului Fischer ("testul-F"). Se considera adecvat polinomul determinat, daca pentru variabila de testare:

unde

este satisfacuta conditia F<F_tabel^{(0.05,n-f-1;n)} pentru y_k valoarea calculata cu ajutorul polinomului functiei obiectiv.

Daca polinomul nu se dovedeste a fi adecvat, atunci prin micsorarea intervalului de variatie al factorilor, sau alegerea unui polinom de grad mai înalt, polinomul poate fi facut adecvat. Însa, aceasta înseamna un plan experimental nou si efectuarea unei serii noi de experimente planificate (cheltuieli experimentale suplimentare!).

si în sfârsit, prin aplicarea unei transformari inverse, trecând de la coordonatele transformate la coordonatele naturale, ajungem la forma cautata a polinomului de regresie.

Modelul regresional formulat poate fi utilizat pentru estimarea valorilor functiei obiectiv numai în masura în care el ofera rezultate suficient de apropiate de cele masurat (pentru care trebuie sa existe o concordanta satisfacatoare între valorile masurate si cele estimate cu ajutorul modelului).

Multimea tuturor valorilor estimate ale functiei obiectiv, în interiorul domeniului experimental, alcatuiesc suprafata de raspuns estimata, a carei sectionare la diferite nivele duce la obtinerea curbelor estimate de nivel constant.

Bibliografie recomandata

1. Eugen Florin Cicala: Metode de prelucrare statistica a datelor experimentale, Editura Politehnica, Timisoara (1999).

2. Fridrik László: Válogatott fejezetek a gépgyártás-technológiai kísérletek tervezése témakörből. Kézirat.Tankönyvkiadó, Budapest, (1986).