ALTE DOCUMENTE
|
||||||||||
Elemente prime in inelul intregilor al lui Gauss ( Z[i] )
Sa determinam elementele prime din inelul intregilor lui
Gauss, Z[i] , pornind de la cunoasterea numerelor prime din inelul Z.
Consideram functia norma j : Z[i] N, j(a+ib)=a+b. Stim ca Z[i]
este inel euclidian relativ la functia j. De asemanea, U(Z[i])=. Acest material poate constitui o tema de cerc pentru elevii claselor a
X-a.
Propozitia 2.1 Orice element prim din Z[i] este divizor al unui numar prim din Z.
Demonstratie:
Fie p un element prim din Z[i].Avem j p pp. Cum j p N si j p)>1 atunci j p)=p1p2.ps unde p1, p2, ., ps sunt numere prime din Z. Avem pp=p1p2.ps si, deci, p/p1p2.ps. Cum p este prim exista un pi astfel incat p/pi.
Propozitia 2.2
Numarul 1+I este prim in Z[i].In plus, 2 are urmatoarea descompunere in factori primi in Z[i] : 2=(-i)(1+i) (-i este inversabil in Z[i] ).
Demostratie:
Vom dovedi ca 1+i este ireductibil in Z[i]. Fie 1+i=z1*z2 cu z1=a1+ib1, z2=a2+ib2 . Avem: j(1+i)=j(z1)j(z2) sau 2=(a1+b1)(a2+b2). Deci, a1+b1=1 si a2+b2=2 sau a1+b1=2 si a2+b2=1.In primul caz, obtinem ca a1= 1 , b1=0 sau a1=0 , b1= 1, adica z1= i sau z2= i.Deci, z1 este element inversabil . In cazul a1+b1=2, rezulta ca a2+b2=1 si deci, z2 este element inversabil in Z[i] si conform propozitiei "Daca A este inel euclidian, atunci un element p A este prim daca si numai daca el este ireductibil" , rezulta ca este prim.
Observatie. 1-i este, de asemenea, element prim in Z[i], dar 1+i si 1-i sunt asociate in divizibilitate. Intr-adevar , 1-i=(-i)(1+i).
Propozitia.2.3 Orice numar prim p>2 este de forma p=4k+1 sau p=4k+3 , unde k>0.
Demonstratie:Intr-adevar, p are una din urmatoarele forme: p=4k ,p=4k+1, p=4k+2, p=4k+3. Cum p este prim si p>2, atunci p nu poate fi de forma 4k sau 4k+2.
Propozitia 2.4. Orice numar prim p de forma p=4k+3 este prim in Z[i].
Demonstratie:
Vom arata ca p este ireductibil in Z[i]. Vom folosi metoda reducerii la absurd si anume presupunem ca p nu este ireductibil.Exista z1, z2 apartinand lui Z[i] elemente neinversabile astfel incat p=z1*z2. Sa presupunem ca z1=a1+ib1, z2=a2+ib2. Avem j(p)=j(z1*z2)=j(z1)j(z2) sau p=(a1+b1)(a2+b2). Cum [a1]z1, z2 nu sunt inversabile, avem j(z1)>1 si j(z2)>1. Deci trebuie ca a1+b1=p si a2+b2=p . a1 si b1 sunt de una din urmatoarele forme a1=2r sau a1=2r+1 si b1=2s sau b1=2s+1. Este clar ca daca a1 si b1 sunt pare rezulta ca 4 divide pe a1+b1=p, ceea ce este imposibil. Sa presupunem ca a1=2r+1 si b1=2s. Avem, atunci, a1+b1=(2r+1)+4s=4r+4r+1+4s=4(r+s+1)+1, de unde ar rezulta ca p este de forma 4t+1, imposibil. Daca a1=2r+1 si b1=2s+1 , atunci a1+b1=(2r+1)+(2s+1)=4r+4r+1+4s+4s+1=2(2r+2r+2s+2s+1), ceea ce inseamna ca p este numar par, contradictie. Deci p este irductibil in Z[i].
Observatie:
Din propozitia 2.4 rezulta ca numerele prime 3, 7, 11, 19, 23, . sunt elemente prime in inelul Z[i].
Propozitia 2.5.
Orice numar prim p de forma 4k+1 este produsul a doua elemente prime din Z[i] care nu sunt asociate in divizibilitate.In plus, aceste elemente prime sunt conjugate unul celuilalt.
Demonstratie.
Pornim
de la teorema lui
(p-1)(p-2)[(p-1)/2+1] [1 2.((p-1)/2)] (mod p)
Cum p=4k+1, atunci (-1) =1 si deci, avem:
(p-1)(p-2)[(p-1)/2+1] [(p-1)/2]! (mod p), de unde, prin inmultire cu [(p-1)/2]!, obtinem ca : (p-1)!=[(p-1)/2]! (mod p).
Notand x=[(p-1)/2]!, din teorema lui Wilson obtinem ca 1+x=0 (mod p), adica p/1+x de unde obtinem in Z[i] ca p/(1+ix)(1-ix). Daca p ar fi prim in Z[i] , ar rezulta ca p/1+ix sau p/1-ix. Sa presupunem ca p/1+ix. Atunci exista a+ib in Z[i] astfel incat 1+ix=p(a+ib) si, deci, 1=pa, adica p= 1, contradictie. Analog p/1-ix ne conduce la o contradictie. Deci p nu este element prim in inelul Z[i]. In inelul Z[i] , p are o descompunere in factori primi p=p p pk unde pi Z[i] si pi sunt elemente prime.
Din cele aratate mai inainte, avem k 2.Aplicand functia j , avem: j(p)=j p p pk)=j p j p j pk) sau p=j p j p j pk). Cum j pi)>1, oricare ar fi 1 i k, rezulta ca trebuie ca k 2. Deci k=2, adica p=p p
Elementele p1 si p2 nu sunt asociate in divizibilitate.Intr-adevar , daca p p2, atunci exista u U(Z[i]) astfel incat p2=up1 si deci p=up1 , de unde j(p)=j(u)j p1), adica p=j p1). Cum j p1)>1, avem ca p=j p1). Sa presupunem ca p1=a+ib; atunci p=a+b si din demonstratia propozitiei 3.4 ar rezulta ca p este de forma 4k+3.
Exemplu:
Fie p=13. Avem 13=(2+3i)(2-3i). Din propozitia 2.5 rezulta ca 2+3I si 2-3I sunt elemente prime in Z[i]. Se observa ca avem descompunerea 13=(3+2i)(3-2i) si deci, 3+2i si 3-2i sunt si ele elemente prime in Z[i]. Dar observam ca 3+2i este asociat in divizibilitate cu 2-3i, iar 3-2i este asociat in divizibilitate cu 2+3i. Sa notam cu P multimea P= . Din propozitiile 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5 obtinem:
Teorema 2.6
Orice element prim din inelul Z[i] este asociat in divizibilitate cu un element din multimea P.
Din propozitia 2.5 obtinem urmatorul rezultat important in aritmetica:
Teorema2.7. Orice numar natural prim p de forma 4k+1 este suma a doua patrate.
Demonstratie:
Din propozitia 2.5 avem p=p p2. Fie p1=a+ib; cum p p1=a-ib atunci p=(a+ib)(a-ib)=a+b.
Exemplu.
Sa descompunem in factori primi numarul 1200 in inelul Z[i].Avem : 1200=2*3*5 in inelul Z. Cum 2=(-i )(1-i), 3 este prim in Z[i], iar 5=(1+2i)(1-2i), obtinem ca 1200 are urmatoarea descompunere in factori primi in Z[i] : 1200=3(-i)(1+i)(1+2i)(1-2i).
|
