FIsĂ DE LUCRU - DIVIZIBILITATE

Scrieti divizorii naturali ai numerelor 12, 72 si 90.

Determinati numarul de divizori naturali ai numarului 1440.

Care sunt divizorii numarului 96 care sunt multipli ai lui 3.

Câte numere naturale multipli de 7 sunt mai mari decât 100 si mai mici 20120m122u decât 150.

Determinati elementele multimilor D₁₄∩D₁₈ si D₁₈∩D₂₄∩D₅₆.

Enumerati primele cinci numere naturale care sunt multipli nenuli ai numarului 6.

Calculati M₄∩M₆

Calculati (a,b) si [a,b] si verificati relatia a∙b=(a,b)∙[a,b] pentru urmatoarele perechi de numere:

a)      a=192 si b=144

b)      a=450 si b=224

Daca a∙b=192 si (a,b)=4 atunci calculati [a,b].

Sa se determine multimea divizorilor proprii ai lui 36.

Sa se determine multimea divizorilor întregi ai lui 12.

Sa se determine :

a)      cel mai mic numar de trei cifre divizibil cu 3

b)      cel mai mare numar de trei cifre divizibil cu 2 si 3

c)      cel mai mare numar de trei cifre divizibil cu 3 si 5

Determinati astfel încât

a)      x+1 este divizor propriu al lui 6

b)      2x-1 este divizor impropriu al lui 29

Doua numere naturale mai mari decât 80 au c.m.m.d.c. 15 si c.m.m.m.c. 630. Calculati:

a)      produsul numerelor

b)      suma celor doua numere

Sa se arate ca pentru orice numar natural n, numerele urmatoare îndeplinesc conditiile alaturate:

a)      A=7ⁿ⁺²-7ⁿ⁺¹-7ⁿ,

b)      B=6∙3ⁿ⁺²-3ⁿ⁺¹-3ⁿ,

c)      C=15ⁿ⁺¹-3ⁿ⁺¹∙5ⁿ+3ⁿ∙5ⁿ⁺²,

d)      D=7ⁿ+7ⁿ⁺¹+7ⁿ⁺²+7ⁿ⁺³+7ⁿ⁺⁴-5602,

e)      S=1+3+3²+3³+3⁴+...+3³⁷⁵+3³⁷⁶+3³⁷⁷,

Determinati numerele:

a)      de forma divizibile cu 2

b)      de forma divizibile cu 2

c)      de forma divizibile cu 3

d)      de forma divizibile 3

e)      de forma divizibile cu 5 si cu suma cifrelor egala cu 12

Enumerati elementele multimilor urmatoare:

a)

b)

c)

d)

e)

Fie si . Determinati A∩B.

Fie si . Sa se calculeze AUB, A∩B, (A\B)U(B\A).

Suma a doua numere naturale este 132 iar c.m.m.d.c. al lor este 12.Aflati numerele.

Produsul a doua numere naturale este 726 iar c.m.m.d.c. al lor este 11.Aflati numerele.

Numerele 675, 262 si 885 împartite la acelasi numar natural dau resturile 12, 7, respectiv 1. Aflati numarul la care au fost împartite.

Care este cel mai mic numar natural pe care daca îl împartim pe rând la 7, 6, 5,4 obtinem resturile 6, 5, 4, respectiv 3.

Împartind numerele 1880 si 1568 la un numar natural n mai mare decât 300, se obtine de fiecare data restul 8. Determinati numarul n.

Determinati cel mai mic numar natural care împartit la 6, 8, 9 da câturi nenule si restul 3.

Care este probabilitatea ca înlocuind la întâmplare pe x cu o cifra, numarul sa fie divizibil cu 3.

Sa se arate ca oricare ar fi cifrele nenule a si b numarul natural n= este divizibil cu 77.

Determinati numerele naturale a si b prime între ele care au suma egala cu 6.

Sa se demonstreze ca daca si numai daca , unde a si b sunt doua numere naturale.

Scrieti divizorii întregi ai numarului .

Determinati astfel încât:

a)

b)

Aratati ca:

a)      numerele si nu sunt prime între ele oricare ar fi numarul natural n.

b)      fractia este ireductibila oricare ar fi numarul natural n.

Rezolvati ecuatia stiind ca .

DIVIZIBILITATE - suport teoretic

q       Teorema împartirii cu rest:Daca a,bZ, b0, atunci exista si sunt unice numerele c,r Z astfel încât a=b·c+r.

q       Definitia divizibilitatii: Daca a,bZ, b0, spunem ca a se divide cu b ( sau a este divyibil cu b sau b îl divide pe a, ) si notam (sau daca exista c Z astfel încât a=b·c.

a se numeste multiplu pentru b  b se numeste divizor pentru a

q       Proprietatile relatiei de divizibilitate:

1 si n se numesc divizori improprii ai lui n. Restul divizorilor lui n ( daca exista ) se numesc divizori proprii.

q       Criterii de divizibilitate

q       Definitie nr. prim: Un numar natural se numeste prim daca se divide numai cu 1 si cu el însusi.

Un numar natural care nu este prim se numeste numar compus.

q       Teorema: Orice numar compus se descompune în produs de factori primi.

Numarul divizorilor naturali ai numarului n este egal cu (a₁+1)(a₂+1).(a_k+1).

q       Cel mai mare divizor comun a doua numere naturale a si b este un numar natural d cu propritatile:

1) si 2) Orice alt divizor al lui a si b îl divide si pe d

notatii: d=(a,b)=c.m.m.d.c.(a,b)

q       Calculul c.m.m.d.c. al numerelor naturale a si b:

se descompun numerele a si b în produse de factori primi

înmultim factorii primi comuni la puterea cea mai mica

q       Cel mai mic multiplu comun a doua numere naturale a si b este un numar natural m cu propritatile:

1) si 2) Orice alt multiplu al lui a si b se divide cu m

notatii: m=[a,b]=c.m.m.m.c.(a,b)

q       Calculul c.m.m.m.c. al numerelor naturale a si b:

se descompun numerele a si b în produse de factori primi

înmultim factorii primi necomuni si factorii primi comuni la puterea cea mai mare

q       Teorema: Pentru orice a,bN avem: a·b=(a,b)·[a,b]

q       Definitie nr. prime înte ele: Numerele a,bN se numesc prime între ele daca (a,b)=1.