FUNCŢIA DE GRADUL II

4. FUNCŢIA DE GRADUL  II

f: |R |R, f(x)=ax²+bx+c    a, b, c |R, a

Forma canonica: f(x)=a(x+ )² .

Monotonie:

Semn:

daca D< ;

daca D ;

daca D>0 ;

daca a>0 ;

daca a<0 .

Intersectia cu axele:

Gf OX=;

Gf OY= .

Vârful parabolei:

V(,);

daca a>0 -" V_min - vârf minim;

daca a<0 -" V_max - vârf maxim. 

Grafic:

graficul functiei de gradul II este o parabola;

daca c=0 parabola trece prin originea axelor;

Ecuatia de gradul II:

ax²+bx+c=0   a, b, c |R, a

D=b²-4ac - discriminantul (delta);

daca ;

relatiile lui Francois Vičte sau relatii între radacini si coeficienti (D 0): ;

formarea ecuatiei de gradul al doilea când se cunosc radacinile: x² - sx + p = 0;

descompunerea trinomului de gradul II în produs de polinoame de gradul întâi: ax²+bx+c=a(x-x₁)(x-x₂);

daca b=2b₁ ax²+2b₁x+c=0 D =b₁²-ac>0, x₁,x₂=- formula pe jumatate;

daca ax²+bx+c=0 |:a x²+x+=0, =p, =q x²+px+q=0 - forma redusa;

discutia naturii si semnului radacinilor în functie de semnele lui D, s si p:

Inecuatia de gradul II:

ax²+bx+c<0   a, b, c |R, a

ax²+bx+c a, b, c |R, a

ax²+bx+c> a, b, c |R, a

ax²+bx+c a, b, c |R, a

se rezolva ecuatia de gradul II atasata, se studiaza semnul pe |R utilizând semnul functiei de gradul II;

solutia inecuatiei este acel interval sau reuniune de intervale care satisface cerintele (<, >,

Sisteme de inecuatii de gradul II:

sunt sisteme formate din doua sau mai multe inecuatii de gradul II;

solutia sistemului este intersectia tuturor solutiilor inecuatiilor din sistem.

Semnul unor expresii:

E(x)=,  a₁,a₂,b₁,b_2,,c₁,c₂ R,  a₁,a₂ 0, ;

se studiaza semnele functiilor , într-un tabel;

se tine cont de faptul ca o fractie este pozitiva numaratorul si numitorul au acelasi semn;

se tine cont de faptul ca o fractie este negativa numaratorul si numitorul au semne contrare;

tinând cont de semnele celor doua functii se determina semnul expresiei pe |R.

Inecuatii cu modul:

|ax²+bx+c|<m    a, b, c, m |R, a -m<ax²+bx+c<m se rezolva ca si sistemele de inecuatii.

Sisteme de ecuatii:

formate dintr-o ecuatie de gradul I si una de gradul II cu 2 necunoscute: , se rezolva prin metoda substitutiei;

sisteme omogene: se aduna ecuatiile ecuatia a doua se împarte cu x² (respectiv y²), dupa care se face substitutia (respectiv ) obtinându-se o ecuatie de gradul II 1 sau 2 sisteme formate dintr-o ecuatie de grad I si una de grad II;

sisteme simetrice: se noteaza , se utilizeaza identitatile: .